Cho phương trình: $\left( {{m^2} + 2} \right){\cos ^2}x - 2m\sin 2x + 1 = 0$. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là
A. $ - 1 \le m \le 1$.
B. $ - \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}$.
C. $ - \frac{1}{4} \le m \le \frac{1}{4}$.
D. $|m| \ge 1$.
A. $ - 1 \le m \le 1$.
B. $ - \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}$.
C. $ - \frac{1}{4} \le m \le \frac{1}{4}$.
D. $|m| \ge 1$.
Chọn D.
Cách 1 (Chuyển PT về dạng $a\sin x + b\cos x = c$)
Áp dụng công thức hạ bậc cho ${\cos ^2}x$, PT trở thành $\left( {{m^2} + 2} \right) + \left( {{m^2} + 2} \right)\cos 2x - 4m\sin 2x + 2 = 0$ <=>$4m\sin 2x - \left( {{m^2} + 2} \right)\cos 2x = {m^2} + 4$
ĐK PT có nghiệm ${\left( {4m} \right)^2} + {\left( {{m^2} + 2} \right)^2} \ge {\left( {{m^2} + 4} \right)^2}$ <=>${m^2} \ge 1$ <=> $\left| m \right| \ge 1$
Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một HSLG)
Ta có $\cos x = 0$ không là nghiệm PT. Chia hai vế PT cho ${\cos ^2}x$ ta được
${m^2} + 2 - 4m\tan x + 1 + {\tan ^2}x = 0$ <=>${\tan ^2}x - 4m\tan x + {m^2} + 3 = 0$
PT có nghiệm khi $\Delta ' \ge 0$ <=>$4{m^2} - {m^2} - 3 \ge 0$ <=>${m^2} \ge 1$ <=>$\left| m \right| \ge 1$
Cách 1 (Chuyển PT về dạng $a\sin x + b\cos x = c$)
Áp dụng công thức hạ bậc cho ${\cos ^2}x$, PT trở thành $\left( {{m^2} + 2} \right) + \left( {{m^2} + 2} \right)\cos 2x - 4m\sin 2x + 2 = 0$ <=>$4m\sin 2x - \left( {{m^2} + 2} \right)\cos 2x = {m^2} + 4$
ĐK PT có nghiệm ${\left( {4m} \right)^2} + {\left( {{m^2} + 2} \right)^2} \ge {\left( {{m^2} + 4} \right)^2}$ <=>${m^2} \ge 1$ <=> $\left| m \right| \ge 1$
Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một HSLG)
Ta có $\cos x = 0$ không là nghiệm PT. Chia hai vế PT cho ${\cos ^2}x$ ta được
${m^2} + 2 - 4m\tan x + 1 + {\tan ^2}x = 0$ <=>${\tan ^2}x - 4m\tan x + {m^2} + 3 = 0$
PT có nghiệm khi $\Delta ' \ge 0$ <=>$4{m^2} - {m^2} - 3 \ge 0$ <=>${m^2} \ge 1$ <=>$\left| m \right| \ge 1$