Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Khối đa diện |Xác định Góc Và Khoảng Cách Trong Khối đa Diện|
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích \(V = \frac{{\sqrt 2 }}{6}.\) Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Biết \(SB\perp SD\). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (MAC).
A. \(d = \frac{1}{2}.\)
B. \(d = \frac{2}{\sqrt{3}}.\)
C. \(d = \frac{3}{4}.\)
D. \(d = \frac{1}{\sqrt{2}}.\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
\(\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Giả sử cạnh của hình vuông ABCD là a
\(\Rightarrow BD = a\sqrt 2 \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Khi đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{\sqrt 2 }}{6} \Rightarrow a = 1.\)
Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt OD tại H.
\(\Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Kẻ \(HK\perp MO\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot HO\\ AC \bot {\rm{S}}O \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SOH} \right)\)
\(\Rightarrow AC \bot HK\) mà \(HK \bot OM \Rightarrow HK \bot \left( {MAC} \right)\)
Ta có: \(OH = \frac{1}{4}BD = \frac{{\sqrt 2 }}{4};\,\,MH = \frac{1}{2}SO = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{O^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = 16 \Rightarrow HK = \frac{1}{4}.\)
Ta có: \(d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {MAC} \right)} \right) = 2HK = \frac{1}{2}.\)