casio Bài 21: Kỹ thuật casio tính thể tích tròn xoay

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Đề minh họa môn Toán Bộ GD-ĐT lần 1]
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\left( {x - 1} \right){e^x}$ , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi hình (H) quay xung quanh trục Ox
A. $V = 4 - 2e$
B. $V = \left( {4 - 2e} \right)\pi $
C. $V = {e^2} - 5$
D. $V = \left( {{e^2} - 5} \right)\pi $
Hình phẳng được giới hạn bởi trục tung $ \Rightarrow $ cận thứ nhất là: x=0
Trục hoành có phương trình y=0 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường cong $y = 2\left( {x - 1} \right){e^x}$ và trục hoành $ \Rightarrow $ $2\left( {x - 1} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ Vậy cận thứ 2 là: x=1
Thể tích $V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2\left( {x - 1} \right){e^x}} \right)}^2} - {0^2}} \right|} dx$
Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

$ \Rightarrow V = 7.5054... = \pi \left( {{e^2} - 5} \right)$
Vậy ta chọn đáp án D
Cách tham khảo : Tự luận
Thể tích $V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2\left( {x - 1} \right){e^x}} \right)}^2} - {0^2}} \right|} dx = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{e^x}dx} $
Vì biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $u\left( x \right).v'\left( x \right)$ nên ta sử dụng tích phân từng phần. Tuy nhiên làm dạng này rất mất thời gian. Tác giả khuyến khích bạn đọc làm theo casio, dành thời gian cho việc tư duy xây dựng công thức để bấm máy.
Bình luận: Qua ví dụ đầu tiên ta cũng đã thấy ngay sức mạnh của Casio khi xử lý các bài tích phân, các bài ứng dụng tích phân so với cách làm tự luận truyền thống.

Câu 2-[Thi thử Group Nhóm toán lần 3]
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \sqrt {1 - {x^2}} ;\,y = 0$ quanh trục Ox
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{4}\pi $
D. $\frac{4}{3}\pi $
Hàm thứ nhất : $y = \sqrt {1 - {x^2}} $ , hàm thứ hai : y=0
Giải phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt {1 - {x^2}} = 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 1
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow $ Cận thứ nhất : x=-1, cận thứ hai : x=1
Thể tích $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} - {0^2}} \right|} dx$
Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

$ \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi $
Vậy ta chọn đáp án D

Câu 3-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2]
Cho D là miền hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt {\sin x} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} y = 0;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} x = 0;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} x = \frac{\pi }{2}$ . Khi D quay quanh Ox tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay thu được là :
A. 1
B. $\pi $
C. $2\pi $
D. 2
Hàm thứ nhất : $y = \sqrt {\sin x} $ , hàm thứ hai : y=0
Cận thứ nhất : x=0, cận thứ hai: $x = \frac{\pi }{2}$
Thể tích $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\left( {\sqrt {\sin x} } \right)}^2} - {0^2}} \right|} dx$
Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

$ \Rightarrow V = \pi $
Vậy ta chọn đáp án B

Câu 4-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154]
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = \frac{{\sqrt {2y} }}{{{y^2} + 1}}$ và các đường thẳng y=0, y=1
A. $2\pi $
B. $3\pi $
C. $\frac{1}{2}\pi $
D. $\frac{3}{2}\pi $
Hàm thứ nhất $x = \frac{{\sqrt {2y} }}{{{y^2} + 1}}$, hàm thứ hai: x=0
Cận thứ nhất y=0 , cận thứ hai y=1
Thể tích $V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\frac{{\sqrt {2y} }}{{{y^2} + 1}}} \right)}^2} - {{\left( 0 \right)}^2}} \right|dy} $
Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

$ \Rightarrow V = \frac{1}{2}\pi $
Vậy ta chọn đáp án C

Câu 5-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154]
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x - {x^2}$ và các đường thẳng y=0, y=2 :
A. $\frac{5}{3}\pi $
B. $\frac{8}{3}\pi $
C. $\frac{7}{5}\pi $
D. $\frac{3}{5}\pi $
Xét $y = 2x - {x^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 - y$
Vì ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - y \ge 0 \Leftrightarrow y \le 1$ Khi đó $x - 1 = \pm \sqrt {1 - y} \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt {1 - y} $ hàm thứ nhất có dạng $x = 1 + \sqrt {1 - y} $, hàm thứ hai : $x = 1 - \sqrt {1 - y} $
Phương trình hoành độ giao điểm $1 + \sqrt {1 - y} = 1 - \sqrt {1 - y} \Leftrightarrow \sqrt {1 - y} = 0 \Leftrightarrow y = 1$
Vì $y \le 1$ $ \Rightarrow $ cận thứ nhất x=0 và cận thứ hai y=1
Thể tích $V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {2 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right|dy} $
Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

$ \Rightarrow V = 8,3775... = \frac{8}{3}{\pi ^2}$
Vậy ta chọn đáp án B

Câu 6-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154]
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tròn tâm I(2;0) bán kính R=1 :
A. $4\pi $
B. $4{\pi ^2}$
C. $5\pi $
D. $5{\pi ^2}$
Hàm thứ nhất là đừng tròn tâm I (2;0) bán kính R=1 có phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 1 - {y^2}$
Vì ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le y \le 1$ Khi đó $x - 2 = \pm \sqrt {1 - {y^2}} \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt {1 - {y^2}} $ hàm thứ nhất có dạng $x = 2 + \sqrt {1 - {y^2}} $, hàm thứ hai : $x = 2 - \sqrt {1 - {y^2}} $
Phương trình hoành độ giao điểm $2 + \sqrt {1 - {y^2}} = 2 - \sqrt {1 - {y^2}} \Leftrightarrow \sqrt {1 - {y^2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = - 1\\ y = 1 \end{array} \right.$
$ \Rightarrow $ Cận thứ nhất y=-1 cận thứ hai y=1
Thể tích $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {2 + \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2} - {{\left( {2 - \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2}} \right|dy} $
Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

$ \Rightarrow V = 39.4784... = 4{\pi ^2}$
Vậy ta chọn đáp án A

Câu 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3]
Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 , x=1 , biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ v $\left( {0 \le x \le 1} \right)$ là một tam giác đều có cạnh là $4\sqrt {\ln \left( {1 + x} \right)} $
A. $4\sqrt 3 \left( {2\ln 2 - 1} \right)$
B. $4\sqrt 3 \left( {2\ln 2 + 1} \right)$
C. $8\sqrt 3 \left( {2\ln 2 - 1} \right)$
D. $16\pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)$
Thiết diện của vật thể và mặt phẳng vuông góc với trục Ox là tam giác đều có diện tích $S = S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 {{\left( {4\sqrt {\ln \left( {1 + x} \right)} } \right)}^2}}}{4} = 4\sqrt 3 \ln \left( {1 + x} \right)$
Diện tích S=S(x) là một hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$ nên thể tích vật thể cần tìm được tính theo công thưc $V = \int\limits_0^1 {4\sqrt 3 \ln \left( {1 + x} \right)dx} = 2.7673... = 4\sqrt 3 \left( {2\ln 2 - 1} \right)$

Ta chọn đáp án A

Câu 8-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội]
Gọi (S) là miền giới hạn bởi đường cong $y = {x^2}$ , trục Ox và hai đường thẳng x=1, x=2 . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (S) quay quanh trục Ox :
A. $\frac{{31\pi }}{5} - \frac{1}{3}$
B. $\frac{{31\pi }}{5} + \frac{1}{3}$
C. $\frac{{31\pi }}{5}$
D. $\frac{{31\pi }}{5} + 1$
Đương cong thứ nhất $y = f\left( x \right) = {x^2}$ , đường thứ hai là trục hoành có phương trình y=g(x)=0
Hình phẳng giới hạn bởi đường cong thứ nhất $y = {x^2}$ , trục hoành y=0 và hai đường thẳng x=1, x=2 có thể tích là $V = \pi \int_1^2 {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} = \pi \int_1^2 {\left| {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - {0^2}} \right|dx} $

$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Chú ý: Chú ý công thức tính thể tích có $\pi $ và có bình phương của ${f^2}\left( x \right)$ , ${g^2}\left( x \right)$ . Rất nhiều học sinh thường quên những yếu tố này so với công thức tính diện tích.

Câu 9-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1]
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \left( {2 - x} \right){e^{\frac{x}{2}}}$ và hai trục tọa độ
A. $2{e^2} - 10$
B. $2{e^2} + 10$
C. $\pi \left( {2{e^2} - 10} \right)$
D. $\pi \left( {2{e^2} + 10} \right)$
Hình phẳng được giới hạn bởi đường thứ nhất có phương trình $y = f\left( x \right) = \left( {2 - x} \right){e^{\frac{x}{2}}}$ và đường thứ hai là trục hoành có phương trình y=g(x)=0 .Hình phẳng được giới hạn bởi trục tung nên có cận thứ nhất x=0. Xét phương trình hoành độ giao điểm đường cong y= f(x) và trục hoành : $\left( {2 - x} \right){e^{\frac{x}{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2$$ \Rightarrow $ Cận thứ hai là x=2
Thể tích cần tìm là $V = \pi \int_1^2 {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} = \pi \int_0^2 {\left| {{{\left( {\left( {2 - x} \right){e^{\frac{x}{2}}}} \right)}^2} - {0^2}} \right|dx} $ $ = 15.0108... = \pi \left( {2{e^2} - 10} \right)$

Đáp số chính xác là C

Câu 10-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang]
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = \sin x;\,x = 0;x = \pi $ . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi mặt phẳng (H) quay quanh trục Ox bằng :
A. $2\pi $
B. $\frac{{{\pi ^2}}}{2}$
C. $\frac{{{\pi ^2}}}{4}$
D. $\frac{\pi }{2}$
Hàm thứ nhất y=f(x)=sinx , hàm thứ hai (của trục Ox) là y=0 . Cận thứ nhất x=0 , cận thứ hai $x = \pi $ .
Thể tích cần tìm $V = \pi \int_0^\pi {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} = \pi \int_0^\pi {\left| {{{\left( {\sin x} \right)}^2} - {0^2}} \right|dx} = 4.9348... = \frac{{{\pi ^2}}}{2}$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Chú ý: Để tính tích phân hàm lượng giác ta cần chuyển máy tính về chế độ Radian qw4

Câu 11-[Thi thử Trung tâm Diệu hiền – Cần Thơ lần 1]
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi $y = 2x - {x^2}$, y=0 . Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H) xuong quanh trục Ox ta được $V = \pi \left( {\frac{a}{b} + 1} \right)$ . Khi đó
A. a=1, b=15
B. a= -7, b=15
C. a=241, b=15
D. a=16, b=15
Phương trình hoành độ giao điểm $2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow $ cận thứ nhất x=0 cận thứ hai x=2
Ta được cận thứ nhất x=0 và cận thứ hai x=a . Khi đó diện tích hình phẳng là : $S = \int\limits_0^a {\left| {2\sqrt {ax} - 0} \right|} dx$
Tính thể tích $V = \pi \int_0^\pi {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} = \pi \int_0^\pi {\left| {{{\left( {2x - 2} \right)}^2} - {0^2}} \right|dx} = \frac{{16}}{{15}}\pi $
Mà $V = \pi \left( {\frac{a}{b} + 1} \right)$ $ \Rightarrow \frac{a}{b} + 1 = \frac{{16}}{{15}} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{15}} \Rightarrow a = 1;b = 15$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 12-[Câu 54b Sách bài tập giải tích nâng cao 12]
Tính thể tích Vcủa khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = {x^3}$ , trục tung và hai đường thẳng y=1, y=2 quanh trục Oy. Khẳng định nào đúng ?
A. V>5
B. V<2
C. V>4
D. V<3
Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường thứ nhất $x = f\left( y \right) = \sqrt[3]{y}$ và đường thứ hai (trục tung) : x=0 .Cận thứ nhất y=1 và cận thứ hai y=2 .
Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy : $V = \pi \int\limits_1^2 {\left[ {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( x \right)} \right]} dy$
$ = \pi \int\limits_1^2 {\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} - {0^2}} \right]dy} = 4.099... > 4$

Đáp số chính xác là C
Chú ý: Để tính thể tích hình phẳng xoay quanh trục Oy thì phải chuyển phương trình đường cong về dạng x= f( y ) và x=g( y )

Câu 13-Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi các đường $y = 2x - {x^2}$ (C) , trục tung . Khi quay hình (S) quanh trục Oy sẽ tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?
A. $V = \frac{{5\pi }}{2}$
B. $V = \frac{{9\pi }}{4}$
C. $V = \frac{{11\pi }}{4}$
D. $V = \frac{{8\pi }}{3}$
Xét $y = 2x - {x^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 - y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt {1 - y} \,\,\left( {AO} \right)\\
x = 1 - \sqrt {1 - y} \,\,\left( {AB} \right)
\end{array} \right.$ với $y \le 1$ . Đường cong © chia làm 2 nhánh.
Phương trình tung độ giao điểm hai nhánh : $1 + \sqrt {1 - y} = 1 - \sqrt {1 - y} \Leftrightarrow \sqrt {1 - y} = 0 \Leftrightarrow y = 1$

Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy : $V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right]} dy = 8.3775... = \frac{{8\pi }}{3}$

Đáp số chính xác là D

Câu 14-Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm I(2;1) bán kính R=1 quay quanh trục Oy
A. $V = 4\pi $
B. $V = \frac{{11}}{2}\pi $
C. $V = \frac{{11{\pi ^2}}}{2}$
D. $V = 4{\pi ^2}$
Phương trình đường tròn $\left( {I;R} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 1 - {y^2}$ $ \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt {1 - {y^2}} $ . Đường tròn (C) chia làm 2 nhánh. $\left[ \begin{array}{l}
x = 2 + \sqrt {1 - {y^2}} \,\,\,\left( {CB} \right)\\
x = 2 - \sqrt {1 - {y^2}} \,\,\,\left( {CA} \right)
\end{array} \right.$

Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy : $V = 2\pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2} - {{\left( {2 - \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2}} \right]} dy = 39.4784... = 4{\pi ^2}$

Đáp số chính xác là A

Câu 15-[Câu 29 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12]
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x= -1, x=1 . Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( { - 1 \le x \le 1} \right)$ là một hình vuông có cạnh là $2\sqrt {1 - {x^2}} $
A. $\frac{{17}}{4}$
B. $\frac{9}{2}$
C. $\frac{{16}}{3}$
D. 5
Thiết diện của vật thể tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là hình vuông . $ \Rightarrow $ Diện tích thiết diện $S = S\left( x \right) = 4\left( {1 - {x^2}} \right)$ .
Vì hàm S=S(x) liên tục trên $\left[ { - 1;1} \right]$ nên vật thể có thể tích là : $V = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \frac{{16}}{3}$

Đáp số chính xác là C

Câu 16-[Câu 30 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12]
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0, $x = \pi $ . Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( {0 \le x \le \pi } \right)$ là một tam giác đều có cạnh là $2\sqrt {\sin x} $
A. $\pi \sqrt 3 $
B. $2\pi \sqrt 3 $
C. $\sqrt 3 $
D. $2\sqrt 3 $
Thiết diện của vật thể tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là tam giác đều $ \Rightarrow $ Diện tích thiết diện $S = S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 {{\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)}^2}}}{4} = \sqrt 3 \sin x$ .
Vì hàm S=S(x) liên tục trên $\left[ {0;\pi } \right]$ nên vật thể có thể tích là : $V = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin x} dx = \frac{{16}}{3}$

$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D.