casio Bài 23: Kỹ thuật casio giải bài toán tích phân chống lại casio

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1. Biết $\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{{x^2} + x}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5$ với a,b,c là các số nguyên. Tính S=a+b+c
A. S=6
B. S=2
C.S=-2
D. S=0
(Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017)
Tính tích phân $\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{{x^2} + x}}} $ và lưu vào biến A

Khi đó $A = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 \Leftrightarrow A = \ln \left( {{2^a}{{.3}^b}{{.5}^c}} \right) \Leftrightarrow {2^a}{.3^b}{.5^c} = {e^A} = \frac{{16}}{{15}}$

Dễ thấy $\frac{{16}}{{15}} = \frac{{2.2.2.2}}{{3.5}} = {2^4}{.3^{ - 1}}{.5^{ - 1}} = {2^a}{.3^b}{.5^c} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = - 1 \Rightarrow S = 2$
=> Đáp số chính xác là B
Câu 2. Cho $I = \int\limits_1^2 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} = a\ln 3 + b\ln 2 + c$ $\left( {a,b,c \in Z} \right)$ . Tính giá trị của biểu thức A=a+b+c
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_1^2 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} $ rồi lưu giá trị này vào biến A

Khi đó $a\ln 3 + b\ln 2 + c = A \Leftrightarrow \ln ({3^a}{.2^b}.{e^c}) = \ln {e^A} \Leftrightarrow {3^a}{.2^b}.{e^c} = {e^A} \Leftrightarrow {3^a}{.2^b} = \frac{{{e^A}}}{{{e^c}}}$
Để tính được ${3^a}{.2^b}$ ta sử dụng chức năng MODE 7 với hàm $f\left( X \right) = {3^a}{.2^b} = \frac{{{e^A}}}{{{e^c}}}$

Quan sát màn hình xem giá trị nào của f(X) (cũng là của ${3^a}{.2^b}$) là số hữu tỉ thì nhận
Dễ thấy với X=c=-1 thì ${3^a}{.2^b} = 6.75 = \frac{{27}}{4} = {3^3}{.2^{ - 2}}$ $ \Rightarrow a = 3;b = - 2$
Tóm lại a+b+c=3-2-1=0
=> Đáp án A là đáp án chính xác.

Câu 3. Cho $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = \left( {a + b} \right)\ln 3 + c\ln 2$ $\left( {a,b,c \in Q} \right)$ . Tính giá trị của biểu thức : A=a+b+c
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. 2
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $ rồi lưu giá trị này vào biến A

Khi đó $\left( {a + b} \right)\ln 3 + c\ln 2 = A \Leftrightarrow \ln ({3^{a + b}}{.2^c}) = \ln {e^A}$ . Mà ta tính được ${e^A} = \sqrt 2 $

$ \Rightarrow {3^{a + b}}{.2^c} = \sqrt 2 = {3^0}{.2^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow a + b = 0;c = \frac{1}{2}$
Tóm lại $a + b + c = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
=> Đáp án B là đáp án chính xác.

Câu 4 . Cho $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^4}xdx} = \pi a + b$ $\left( {a,b \in Q} \right)$ . Tính giá trị của biểu thức A=a+b
A. $\frac{{11}}{{32}}$
B. $ - \frac{5}{{32}}$
C. 4
D. 7
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_1^2 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} $ rồi lưu giá trị này vào biến A

Khi đó $\pi a + b = A$ . Nếu đáp số A đúng thì hệ $\left\{ \begin{array}{l}
\pi a + b = A\\
a + b = \frac{{11}}{{32}}
\end{array} \right.$ có nghiệm hữu tỉ (thuộc Q)

Rõ ràng $a = \frac{3}{{32}};b = - \frac{1}{4}$ là các số hữu tỉ
=> B là đáp án chính xác

Câu 5. Cho $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x\left( {1 + \sin 2x} \right)dx} = \frac{{{\pi ^2} + a}}{b} \to $ $\left( {a,b,c \in Z} \right)$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính biểu thức A=a+b
A. 20
B. 40
C. 60
D. 10
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x\left( {1 + \sin 2x} \right)dx} $ rồi lưu giá trị này vào biến A

Khi đó $\frac{{{\pi ^2} + a}}{b} = A$ . Nếu đáp số A đúng thì $a + b = 20 \Rightarrow b = 20 - a$ $ \Rightarrow A = \frac{{{\pi ^2} + a}}{{20 - a}}$
Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE để tìm a (với a là số nguyên )

Kết quả không ra một số nguyên => Đáp số A sai
Nếu đáp số B đúng thì $a + b = 40 \Rightarrow b = 40 - a$ $ \Rightarrow A = \frac{{{\pi ^2} + a}}{{40 - a}}$

Vậy $a = 8 \Rightarrow b = 32$
=> Đáp án A là đáp án chính xác

Câu 6. Cho $I = \int\limits_1^2 {{x^3}{{\ln }^2}xdx} = \frac{{a{e^4} + b}}{c}$ $\left( {a,b,c \in Z} \right)$ với $\frac{a}{c};\frac{b}{c}$ là các phân số tối giản. Tính biểu thức A=a+b
A. 15
B. -28
C. 36
D. 46
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_1^2 {{x^3}{{\ln }^2}xdx} $ rồi lưu giá trị này vào biến A

Khi đó $\frac{{a{e^4} + b}}{c} = A$ . Nếu đáp số A đúng thì c=15-a-b $ \Rightarrow 15A - a.A - b.A = a.{e^4} + b$
$ \Rightarrow b = \frac{{15A - a.A - a.{e^4}}}{{A + 1}}$
Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm a (với a là số nguyên )

Kết quả không tìm ra một số nguyên => Đáp số A sai
Tương tự như vậy với đáp số C đúng thì $ \Rightarrow b = \frac{{36A - a.A - a.{e^4}}}{{A + 1}}$

Ta tìm được nghiệm a=129 là một số hữu tỉ
=> Đáp án C là đáp án chính xác

Câu 7. Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\sin x}}\sin 2xdx} $. Nếu đổi biến số t=sinx thì :
A. $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^t}.t.dt} $
B. $I = \int\limits_0^1 {{e^t}.t.dt} $
C. $I = 2\int\limits_0^1 {{e^t}.t.dt} $
D. $I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^t}.t.dt} $
(Trích đề thi ĐH khối B năm 2005)
Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\sin x}}\sin 2xdx} $

Nếu đáp án A đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài và cùng bằng 2. Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^t}.t.dt} $

Kết quả ra một số khác 2 => Đáp số A sai
Tương tự như vậy với đáp số C thì $I = 2\int\limits_0^1 {{e^t}.t.dt} = 2$

=> Đáp án C là đáp án chính xác
Chú ý: Đổi cận thì phải đổi biến => Dễ dàng loại được đáp án A và D

Câu 8. Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân $I = \int\limits_0^4 {\frac{{4x - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + 2}}dx} $ thành tích phân $\int\limits_3^5 {f\left( t \right)dt} $ . Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau ?
A. $f\left( t \right) = \frac{{2{t^2} - 3}}{{t + 2}}$
B. $f\left( t \right) = \frac{{\left( {2{t^2} - 8t + 3} \right)\left( {t + 2} \right)}}{t}$
C. $f\left( t \right) = \frac{{2{t^2} - 3}}{{2\left( {t + 2} \right)}}$
D. $f\left( t \right) = \frac{{\left( {2{t^2} - 8t + 3} \right)\left( {t + 2} \right)}}{{2t}}$
(Trích đề thi ĐH khối D năm 2011)
Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_0^4 {\frac{{4x - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + 2}}dx} $

Nếu đáp án A đúng thì $f\left( t \right) = \frac{{2{t^2} - 3}}{{t + 2}}$ và giá trị tích phân $I = \int\limits_3^5 {\frac{{2{t^2} - 3}}{{t + 2}}dt} = 6.2250...$ điều này là sai vì $I = \int\limits_3^5 {\frac{{2{t^2} - 3}}{{t + 2}}dt} = 9.6923...$

Kết quả ra một số khác 2 => Đáp số A sai
Tương tự như vậy với đáp số B chính xác

Câu 9. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, ta đặt $t = \sqrt[3]{{1 + \ln x}}$ thì nguyên hàm của $\int {\frac{{\ln x.\sqrt[3]{{1 + \ln x}}}}{x}dx} $ có dạng :
A. $\int {3{t^3}\left( {{t^3} - 1} \right)dt} $
B. $\int {{t^3}\left( {{t^3} - 1} \right)dt} $
C. $\int {3{t^3}\left( {{t^3} + 1} \right)dt} $
D. $\int {{t^3}\left( {{t^3} + 1} \right)dt} $
Để có thể sử dụng máy tính Casio ta phải tiến hành chọn cận để đưa nguyên hàm (tích phân bất định) trở thành tích phân (tích phân xác định) Ta chọn hai cận là 1 và ${e^7}$ . Tính giá trị tích phân
$\int\limits_1^{{e^7}} {\frac{{\ln x.\sqrt[3]{{1 + \ln x}}}}{x}dx} = 43.1785...$

Khi tiến hành đổi biến thì ta phải đổi cận : $\left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow t = \sqrt[3]{{1 + \ln 1}} = 1\\
x = {e^7} \Rightarrow t = \sqrt[3]{{1 + \ln {3^7}}} = 2
\end{array} \right.$ Nếu đáp án A đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài . Tính $I = \int\limits_1^2 {3{t^3}\left( {{t^3} - 1} \right)dt} $

Kết quả ra một số khác 2 => Đáp số A sai
Tương tự như vậy với đáp số C thì $I = 2\int\limits_0^1 {{e^t}.t.dt} = 2$

=> Đáp án A là đáp án chính xác
Chú ý: Ta có thể chọn cận nào cũng được không nhất thiết phải là 1 và ${e^7}$ (chỉ cần thỏa mãn tập xác định của hàm số là được)

Câu 10. Cho tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx = a + b\pi } $ a . Tính giá trị của biểu thức P=a+b
A. $P = \frac{5}{4}$
B. $P = \frac{3}{4}$
C. $P = \frac{1}{4}$
D. $P = \frac{{11}}{4}$
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx} $ rồi lưu vào biến A

Nếu đáp số A đúng ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
a + b\pi = A\\
a + b = \frac{5}{4}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $ a=1.7334 không phải là số hữu tỉ => Đáp số A sai

Tương tự như vậy với đáp án B ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
a + b\pi = A\\
a + b = \frac{3}{4}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2
\end{array} \right.$. => B là đáp số chính xác

Câu 11. Cho tích phân $\left( {a,b \in Q} \right)$ $\int\limits_1^2 {\frac{{1 - x}}{{{x^2}}}{e^x}dx} = a.{e^2} + b.e$ $\left( {a,b \in Q} \right)$ . Tính giá trị của biểu thức P=a+b
A. P=-1
B. P=0.5
C. P=1
D. P=2
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $\int\limits_1^2 {\frac{{1 - x}}{{{x^2}}}{e^x}dx} $ rồi lưu vào biến A

Với đáp số A ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
a{e^2} + be = A\\
a + b = 0.5
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 0.5\\
b = 1
\end{array} \right.$

=> Đáp số A chính xác

Câu 12. Cho tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos 3x + 2\cos x}}{{2 + 3\sin x - \cos 2x}}dx = a\ln 2 + b\ln 3 + c} $ $\left( {a,b,c \in Z} \right)$. Tính P=a+b+c
A. P=-3
B. P=-2
C. P=2
D. P=1
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos 3x + 2\cos x}}{{2 + 3\sin x - \cos 2x}}dx} $ rồi lưu vào biến A

Vậy $a\ln 2 + b\ln 3 + c = A \Leftrightarrow \ln \left( {{2^a}{{.3}^b}.{e^c}} \right) = \ln \left( {{e^A}} \right)$ $ \Leftrightarrow {2^a}{.3^b} = \frac{{{e^A}}}{{{e^c}}}$ . Tìm ${2^a}{.3^b}$ bằng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với biến X=c

Ta được ${2^a}{.3^b} = 18$ với X=c=-2 . Vậy $18 = {2.3^2} = {2^a}{.3^b} \Rightarrow a = 1;b = 2$
$ \Rightarrow P = a + b + c = 1 + 2 - 2 = 1$ => Đáp số chính xác là D

Câu 13. Cho tích phân $\int\limits_1^4 {\frac{{dx}}{{2{x^2} + 5x + 3}}} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11$ $\left( {a,b,c \in Z} \right)$ . Tính giá trị của biểu thức P=a+b+c
A. P=1
B. P=-3
C. 2
D. 0
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $\int\limits_1^4 {\frac{{dx}}{{2{x^2} + 5x + 3}}} = $ rồi lưu vào biến A

Vậy $a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11 = A \Leftrightarrow \ln \left( {{2^a}{{.5}^b}{{.11}^c}} \right) = \ln \left( {{e^A}} \right)$ $ \Leftrightarrow {2^a}{.5^b}{.11^c} = {e^A} = \frac{{25}}{{22}} = \frac{{5.5}}{{2.11}} = {5^2}{.2^{ - 1}}{.11^{ - 1}}$ .
Rõ ràng a=-1, b=2, c=-1 $ \Rightarrow P = a + b + c = 1 + 2 - 2 = 1$
=> Đáp số chính xác là D

Câu 14. Cho tích phân $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{{x^2} + x}}} dx = a\ln 2 + b\ln 3 + c$ $\left( {a,b,c \in Z} \right)$ . Tính giá trị của biểu thức P=a+b+c
A. P=3
B. P=-2
C. 4
D. -1
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $\int\limits_1^4 {\frac{{dx}}{{2{x^2} + 5x + 3}}} = $ rồi lưu vào biến A

Vậy $a\ln 2 + b\ln 3 + c = A \Leftrightarrow \ln \left( {{2^a}{{.3}^b}.{e^c}} \right) = \ln \left( {{e^A}} \right)$ $ \Leftrightarrow {2^a}{.3^b}.{e^c} = {e^A} \Leftrightarrow {2^a}{.3^b} = \frac{{{e^A}}}{{{e^c}}}$ . Tìm ${2^a}{.3^b}$ bằng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với biến X=c .

Ta được ${2^a}{.3^b} = 2.66\left( 6 \right) = \frac{8}{3} = {2^3}{.3^{ - 1}} \Rightarrow a = 3;b = - 1$ với X=c=1 .
$ \Rightarrow P = a + b + c = 3 - 1 + 1 = 3$ => Đáp số chính xác là A

Câu 15. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ $t = \sqrt {{x^2} - 1} $ đưa tích phân $I = \int\limits_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 } {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}} $ thành tích phân nào sau đây ?
A. $\int\limits_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 } {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} $
B. $\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} $
C. $\int\limits_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 } {\frac{{dt}}{{t\left( {{t^2} + 1} \right)}}} $
D. $\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{dt}}{{t\left( {{t^2} + 1} \right)}}} $
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 } {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}} = \frac{\pi }{{12}}$

Tích phân nào có giá trị bằng $\frac{\pi }{{12}}$ thì đó là đáp án đúng. Ta có đáp án B có giá trị : $\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} = \frac{\pi }{{12}}$

=> Đáp số chính xác là A
Chú ý: Giá trị tích phân không thay đổi theo phép đổi biến (đặt ẩn phụ)

Câu 16: Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t=1+3cosx đưa nguyên hàm $I = \int {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} $ thành nguyên hàm nào sau đây ?
A. $\int {\frac{{ - 2{t^2} - 1}}{{\sqrt t }}dt} $
B. $\frac{1}{9}\int {\frac{{ - 2{t^2} - 1}}{{\sqrt t }}dt} $
C. $\int {\frac{{ - 2t - 1}}{{\sqrt t }}dt} $
D. $\frac{1}{9}\int {\frac{{ - 2t - 1}}{{\sqrt t }}dt} $
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Chọn cận 0và $\frac{\pi }{2}$. Tính giá trị tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} $

Tiến hành đổi biến thì phải đổi cận $\left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 1 + \cos 3x = 4\\
x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1
\end{array} \right.$
Với đáp số D ta có $ - \frac{1}{9}\int\limits_4^1 {\frac{{2t + 1}}{{\sqrt t }}dt} $

=> Đáp số chính xác là D
Chú ý: Chọn cận thế nào cũng được tuy nhiên nên chọn cận sao cho đẹp.