casio Bài 29: Kỹ thuật casio tính nhanh bài căn bản số phức

II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Đề minh họa THPT Quốc Gia lần 1]
Cho hai số phức ${z_1} = 1 + i$ và ${z_2} = 2 - 3i$.Tính Môđun của số phức ${z_1} + {z_2}$
A. $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {13} $
B. $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 5 $
C. $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 1$
D. $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 5$
Đăng nhập lệnh số phức

(Khi nào máy tính hiển thị chữ CMPLX thì bắt đầu tính toán số phức được)
Để tính Môđun của số phức ta nhập biểu thức vào máy tính rồi sử dụng lệnh SHIFT HYP

Vậy $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {13} $$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3]
Số phức liên hợp với số phức $z = {\left( {1 + i} \right)^2} - 3{\left( {1 + 2i} \right)^2}$ là :
A. -9-10i
B. 9+10i
C. 9-10i
D. -9+10i
Sử dụng máy tính Casio tính z

Z=9-10i
Số phức liên hợp của z=a+bi là $\overline z = a - bi$ :
Vậy $\overline z = 9 + 10i$ $ \Rightarrow $ Đáp án B là chính xác

Câu 3-[Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần thơ lần 1]
Cho số phức z = a+bi . Số phức ${z^2}$ có phần ảo là :
A. ${a^2}{b^2}$
B. $2{a^2}{b^2}$
C. 2ab
D. ab
Vì đề bài cho ở dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” bài toán bằng cách chọn giá trị cho a,b (lưu ý nên chọn các giá trị lẻ để tránh xảy ra trường hợp đặc biệt).
Chọn a=1.25 và b=2.1 ta có z=1.25+2.1i
Sử dụng máy tính Casio tính ${z^2}$

Vậy phần ảo là $\frac{{21}}{4}$
Xem đáp số nào có giá trị là $\frac{{21}}{4}$ thì đáp án đó chính xác. Ta có :

Vậy $2ab = \frac{{21}}{4}$$ \Rightarrow $ Đáp án C là chính xác

Câu 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Để số phức z=a+(a-1)i (a là số thực) có $\left| z \right| = 1$ thì :
A. $a = \frac{1}{2}$
B. $a = \frac{3}{2}$
C. $\left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
a = 1
\end{array} \right.$
D. $a = \pm 1$
Để xử lý bài này ta sử dụng phép thử, tuy nhiên ta chọn a sao cho khéo léo nhất để phép thử tìm đáp số nhanh nhất. Ta chọn a=1 trước, nếu a=1 đúng thì đáp án đúng chỉ có thể là C hoặc D, nếu a=1sai thì C và D đều sai.
Với a=1Sử dụng máy tính Casio tính z

Vậy $\left| z \right| = 1$$ \Rightarrow $ Đáp án đúng chỉ có thể là C hoặc D
Thử với a=0 Sử dụng máy tính Casio tính z:

Vậy $\left| z \right| = 1$$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C

Câu 5-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng – Đắc Nông lần 1]
Số phức $z = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{20}}$ có giá trị bằng :
A. $ - {2^{20}}$
B. $ - {2^{10}} + \left( {{2^{20}} + 1} \right)i$
C. ${2^{10}} + \left( {{2^{10}} + 1} \right)i$
D. ${2^{10}} + {2^{10}}i$
Nếu ta nhập cả biểu thức $1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{20}}$ vào máy tính Casio thì vẫn được, nhưng mất nhiều thao tác tay. Để rút ngắn công đoạn này ta tiến hành rút gọn biểu thức
Ta thấy các số hạng trong cùng biểu thức đều có chung một quy luật “số hạng sau bằng số hạng trước nhân với đại lượng 1+i “ vậy đây là cấp số nhân với công bội 1+i
$ \Rightarrow $ $1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{20}} = {U_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - 1}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {1 - i} \right)}^{21}}}}{{1 - \left( {1 - i} \right)}}$
Với $z = \frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{21}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}}$ Sử dụng máy tính Casio tính z

Ta thấy $z = - 1024 + 1025i = - {2^{10}} + \left( {{2^{10}} + 1} \right)i$
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là B

Câu 6-[Thi thử chuyên KHTN lần 1]
Nếu số phức z thỏa mãn $\left| z \right| = 1$ thì phần thực của $\frac{1}{{1 - z}}$ bằng :
A. $\frac{1}{2}$
B. $ - \frac{1}{2}$
C.2
D.Một giá trị khác
Đặt số phức z=a+bi thì Môđun của số phức z là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1$
Chọn a=0.5 $ \Rightarrow \sqrt {{{0.5}^2} + {b^2}} = 1$ . Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b

Lưu giá trị này vào b

Trở lại chế độ CMPLX để tính giá trị $\frac{1}{{1 - z}}$ :

Vậy phần thực của z là $\frac{1}{2}$$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là A

Câu 7-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3]
Tìm số phức z biết rằng : $\left( {1 + i} \right)z - 2\overline z = - 5 + 11i$
A.z=5-7i
B.z=2+3i
C.z=1+3i
D.z=2-4i
Với z=5-7i thì số phức liên hợp $\overline z = 5 + 7i$ . Nếu đáp án A đúng thì phương trình : (1+i)(5-7i)-2(5+7i)=-5+11i (1)
Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (1)

Vì $2 - 16i \ne - 5 + 11i$ nên đáp án A sai
Tương tự như vậy với đáp án B

Dễ thấy vế trái (1) = vế phải (1) = -5+11i
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

Câu 8-[Đề minh họa của bộ GD-ĐT lần 2]
Cho số phức z=a+bi thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z + 2\overline z = 3 + 2i$ . Tính P=a+b
A. $P = \frac{1}{2}$
B.P=1
C.P=-1
D. $P = - \frac{1}{2}$
Phương trình $ \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)z + 2\overline z - 3 - 2i = 0$ (1). Khi nhập số phức liên hợp ta nhấn lệnh

Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (1)

X là số phức nên có dạng X=a+bi .Nhập X=1000+100i(có thể thay a;b là số khác)

Vậy vế trái của (1) bằng 2897+898i . Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}
2897 = 3.1000 - 100 - 3 = 3a - b - 3\\
898 = 1000 - 100 - 2 = a - b - 2
\end{array} \right.$
Mặt khác đang muốn vế trái =0 $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - b - 3 = 0\\
a - b - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{1}{2};b = \frac{{ - 3}}{2}$
Vậy a+b=-1
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

Câu 9-Số phức $z = \frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 - 2i\sqrt 3 }}$có một Acgument là :
A. $\frac{\pi }{6}$
B. $\frac{\pi }{4}$
C. $\frac{\pi }{2}$
D. $\frac{{8\pi }}{3}$
Thu gọn z về dạng tối giản $ \Rightarrow z = - 1 + \sqrt 3 i$

Tìm Acgument của z với lệnh SHIFT 2 1

Vậy z có 1 Acgument là $\frac{{2\pi }}{3}$ . Tuy nhiên khi so sánh kết quả ta lại không thấy có giá trị nào là $\frac{{2\pi }}{3}$ . Khi đó ta nhớ đến tính chất “Nếu góc $\alpha $ là một Acgument thì góc $\alpha + 2\pi $ cũng là một Acgument”
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D vì $\frac{{2\pi }}{2} + 2\pi = \frac{{8\pi }}{3}$

Bài 10-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2]
Cho hai số phức ${z_1} = 1 + i,\,{z_2} = 2 + 3i$ . Tìm số phức \[w = {\left( {{z_1}} \right)^2}.{z_2}\]
A. w=6+4i B. w=6-4i C. w=-6-4i D. w=-6+4i
Sử dụng máy tính Casio với chức năng MODE 2 (CMPLX)

Vậy w=-6+4i ta chọn D là đáp án chính xác

Bài 11-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1]
Cho số phức z=a+bi . Số phức ${z^{ - 1}}$ có phần thực là :
A.a+b
B. $\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}$
C. $\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}$
D.a-b
Vì đề bài mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a=1, b=1.25.
Với ${z^{ - 1}} = \frac{1}{z}$ Sử dụng máy tính Casio

Ta thấy phần thực số phức ${z^{ - 1}}$ là : $\frac{{16}}{{41}}$ đây là 1 giá trị dương. Vì ta chọn b>a>0 nên ta thấy ngay đáp số C và D sai.
Thử đáp số A có $a + b = 1 + 1.25 = \frac{9}{4} \ne \frac{{16}}{{41}}$ vậy đáp số A cũng sai $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là B

Bài 13-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 1]
Tìm môđun của số phức $z = 2 - \sqrt 3 i\left( {\frac{1}{2} + \sqrt 3 i} \right)$ là :
A. $\frac{{\sqrt {103} }}{2}$
B. $\frac{{3\sqrt {103} }}{2}$
C. $\frac{{5\sqrt {103} }}{2}$
D. Đáp án khác
Tính số phức $z = 2 - \sqrt 3 i\left( {\frac{1}{2} + \sqrt 3 i} \right)$

Vậy $z = 5 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
Dùng lệnh SHIFT HYP tính Môđun của số phức z ta được

Vậy $\left| z \right| = \frac{{\sqrt {103} }}{2}$$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Bài 14-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3]
Cho số phức $z = {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{22}}$ . Phần thực của số phức là :
A. $ - {2^{11}}$
B. $ - {2^{11}} + 2$
C. $ - {2^{11}} - 2$
D. ${2^{11}}$
Dãy số trên là một cấp số nhân với ${U_1} = {\left( {1 + i} \right)^2}$ , số số hạng là 21 và công bội là 1+i . Thu gọn z ta được : $z = {U_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = {\left( {1 + i} \right)^2}.\frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{21}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}}$
Sử dụng máy tính Casio tính z

Vậy z=+2050-2048i
$ \Rightarrow $ Phần ảo số phức z là $ - 2050 = - {2^{11}} - 2$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

Bài 15-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3]
Cho số phức z=2-3i . Phần ảo của số phức $w = \left( {1 + i} \right)z - \left( {2 - i} \right)\overline z $ là :
A.-9i B.-9 C.-5 D. -5i
Dãy số trên là một cấp số nhân với ${U_1} = {\left( {1 + i} \right)^2}$ , số số hạng là 21 và công bội là 1+i . Thu gọn z ta được : $z = {U_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = {\left( {1 + i} \right)^2}.\frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{21}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}}$
Sử dụng máy tính Casio tính z

Vậy Z=+2050-2048i
$ \Rightarrow $ Phần ảo số phức z là $ - 2048 = - {2^{11}}$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Bài 16-[Đề thi Đại học –Cao đẳng khối A năm 2009]
Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện $\left( {2 - 3i} \right)z + \left( {4 + i} \right)\overline z = - {\left( {1 + 3i} \right)^2}$ .Tìm P=2a+b
A.3
B.-1
C.1
D. Đáp án khác
Phương trình $ \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)z + \left( {4 + i} \right)\overline z + {\left( {1 + 3i} \right)^2} = 0$
Nhập vế trái vào máy tính Casio và CALC với X=1000+100i

Vậy vế trái =6392-2194i với $\left\{ \begin{array}{l}
6392 = 6.1000 + 4.100 - 8 = 6a + 4b - 8\\
2194 = 2.1000 + 2.100 - 6 = 2a + 2b - 6
\end{array} \right.$
Để vế trái =0 thì $\left\{ \begin{array}{l}
6a + 4b - 8 = 0\\
2a + 2b - 6 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow a = - 2;b = 5$
Vậy z=-2++5i => P=2a+b=1$ \Rightarrow $Đáp số chính xác là C

Bài 17-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2]
Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện $\left( {2 - 3i} \right)z + \left( {4 + i} \right)\overline z = - {\left( {1 + 3i} \right)^2}$ . TìmP=2a+b
A.3
B.-1
C.1
D. Đáp án khác
Phương trình $ \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)z + \left( {4 + i} \right)\overline z + {\left( {1 + 3i} \right)^2} = 0$
Nhập vế trái vào máy tính Casio và CALC với X=1000+100i

Vậy vế trái =6392-2194i với $\left\{ \begin{array}{l}
6392 = 6.1000 + 4.100 - 8 = 6a + 4b - 8\\
2194 = 2.1000 + 2.100 - 6 = 2a + 2b - 6
\end{array} \right.$.