Bài tập trắc nghiệm phương trình mặt cầu

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0.\)
C. \(2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} - 1.\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:
(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);
(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.\)
B. \(2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1.\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 1 = 0.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 1 - 4x.\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là :
(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);
(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Tuy nhiên ở đáp án A thì phương trình: \(2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy - 2x + 1 = 0\) không đúng dạng phương trình mặt cầu.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 3. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.\)
C. \({\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x.\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:
(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);
(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Phương trình ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Ví dụ :
C. \({\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 3 = 0.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 4. Cho các phương trình sau: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1;\) \({x^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4;\) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 = 0;\) \({\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + 4{z^2} = 16.\)
Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + 4{z^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = 4\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) là phương trình của một mặt cầu.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 5. Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9\) có tâm là:
A. \(I\left( {1; - 2;0} \right).\)
B. \(I\left( { - 1;2;0} \right).\)
C. \(I\left( {1;2;0} \right).\)
D. \(I\left( { - 1; - 2;0} \right).\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 6. Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\) có tâm là:
A. \(I\left( {8; - 2;0} \right).\)
B. \(I\left( { - 4;1;0} \right).\)
C. \(I\left( { - 8;2;0} \right).\)
D. \(I\left( {4; - 1;0} \right).\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\), có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lựa chọn đáp án A.
Câu 7. Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 1 = 0\) có tọa độ tâm và bán kính R là:
A. \(I\left( {2;0;0} \right),{\rm{ }}R = \sqrt 3 .\)
B. \(I\left( {2;0;0} \right),{\rm{ }}R = 3.\)
C. \(I\left( {0;2;0} \right),{\rm{ }}R = \sqrt 3 .\)
D. \(I\left( { - 2;0;0} \right),{\rm{ }}R = \sqrt 3 .\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\), có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lựa chọn đáp án A.
Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 3\) là:
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.\)
B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 3.\)
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.\)
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.\)
Mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\), bán kính R = 3 có hương trình : \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 9. Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 1 - 4x\) có tâm là:
A. \(I\left( { - 2;0;0} \right).\)
B. \(I\left( {4;0;0} \right).\)
C. \(I\left( { - 4;0;0} \right).\)
D. \(I\left( {2;0;0} \right).\)
Biến đổi \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 1 - 4x \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 1 = 0\).
Vậy mặt cầu có tâm \(I\left( { - 2;0;0} \right).\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 10. Đường kính của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) bằng:
A. 4.
B. 2.
C. 8.
D. 16.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính R = 2 suy ra đường kính có độ dài: 2R = 4.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 11. Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là \(I\left( { - 1;1;0} \right){\rm{ }}?\)
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 1 = 0.\)
C. \(2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1 - 2xy.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 1 - 4x.\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\), có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lựa chọn đáp án A.
Câu 12. Mặt cầu \(\left( S \right):\) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y + 2 = 0\) có bán kính bằng:
A. \(\frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
B. \(\frac{{2\sqrt 7 }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt {21} }}{3}\).
D. $\sqrt {\frac{{13}}{3}} $.
Biến đổi \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + \frac{2}{3} = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2;0} \right)\), bán kính $R = \sqrt {\frac{{13}}{3}} $.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 13. Gọi I là tâm mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\). Độ dài \(\left| {\overrightarrow {OI} } \right|\) (O là gốc tọa độ) bằng:
A. 2.
B. 4.
C. 1.
D. \(\sqrt 2 .\)`
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \left( {0;0;2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OI} } \right| = 2.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 14. Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ?
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6z = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6y = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9.\)
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x = 0.\)
Mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính R=3 có phương trình: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 15. Mặt cầu \(\left( S \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 10y + 3z + 1 = 0\) đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?
A. \(\left( {2;1;9} \right).\)
B. \(\left( {3; - 2; - 4} \right).\)
C. \(\left( {4; - 1;0} \right).\)
D. \(\left( { - 1;3; - 1} \right).\)
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt cầu. Tọa độ điểm nào thỏa mãn phương trình thì điểm đó thuộc mặt cầu.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 16. Mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) có phương trình:
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 22.\)
B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 11.\)
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 22.\)
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 22.\)
Ta có : \(\overrightarrow {IA} = \left( {3; - 2;3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {22} \).
Vậy \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 22\).
Lựa chọn đáp án A.
Câu 17. Cho hai điểm \(A\left( {1;0; - 3} \right)\) và \(B\left( {3;2;1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - y + z - 6 = 0.\)
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z + 6 = 0.\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt 6 \). Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB nên \(I\left( {2;1; - 1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 6 \).
Lựa chọn đáp án A.
Câu 18. Nếu mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua bốn điểm \(M\left( {2;2;2} \right),{\rm{ }}N\left( {4;0;2} \right),{\rm{ }}P\left( {4;2;0} \right)\) và \(Q\left( {4;2;2} \right)\) thì tâm \(I\) của \(\left( S \right)\) có toạ độ là:
A. \(\left( { - 1; - 1;0} \right).\)
B. \(\left( {3;1;1} \right).\)
C. \(\left( {1;1;1} \right).\)
D. \(\left( {1;2;1} \right).\)
Gọi phương trình mặt cầu (S) : ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$, \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\).
Do \(M\left( {2;2;2} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow \) \( - 4a - 4b - 4c + d = - 12\) (1)
\(N\left( {4;0;2} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow - 8a - 4c + d = - 20\) (2)
\(P\left( {4;2;0} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow \)\( - 8a - 4b + d = - 20\) (3)
\(Q\left( {4;2;2} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow - 8a - 4b - 4c + d = - 24\) (4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có \(a = 1,{\rm{ }}b = 2,{\rm{ }}c = 1,{\rm{ }}d = - 8\), suy ra mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 19. Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm \(M\left( {1;0;1} \right),{\rm{ }}N\left( {1;0;0} \right),{\rm{ }}P\left( {2;1;0} \right)\) và \(Q\left( {1;1;1} \right)\) bằng:
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
B. \(\sqrt 3 .\)
C. 1.
D. \(\frac{3}{2}.\)
Gọi phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Do \(\left( S \right)\) đi qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2c + d = - 2\\ - 2a + d = - 1\\ - 4a - 2b + d = - 5\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = 2\end{array} \right.\). Vậy \(R = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 20. Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4 = 0\) và 4 điểm \(M\left( {1;2;0} \right),{\rm{ }}N\left( {0;1;0} \right),{\rm{ }}\)\(P\left( {1;1;1} \right)\), \(Q\left( {1; - 1;2} \right)\). Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\)?
A. 2 điểm.
B. 4 điểm.
C. 1 điểm.
D. 3 điểm.
Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\), ta thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 21. Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 1 = 0\) có phương trình:
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{9}.\)
B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}.\)
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{3}.\)
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{{16}}{3}.\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{2}{3}.\)
\( \Rightarrow \left( S \right)\): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 22. Phương trình mặt cầu nào dưới đây có tâm \(I\left( {2;1;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 2 = 0\)?
A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.\)
B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4.\)
C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25.\)
D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.\)
Do mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow R = 4\).
\( \Rightarrow \left( S \right)\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 23. Mặt cầu S tâm \(I\left( {3; - 3;1} \right)\) và đi qua \(A\left( {5; - 2;1} \right)\)có phương trình:
A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5.\)
B. \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5.\)
C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt 5 .\)
D. \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt 5 .\)
Bán kính mặt cầu là: $R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 $
Vậy ph¬ương trình của mặt cầu là: \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
Lựa chọn đáp án A.
Câu 24. Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với \(A\left( {1;3;2} \right),{\rm{ }}B\left( {3;5;0} \right)\) là:
A. ${(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = 3.$
B. ${(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = 2.$
C. ${(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 1)^2} = 2.$
D. ${(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 1)^2} = 3.$
Trung điểm của đoạn thẳng AB là \(I\left( {2;4;1} \right)\), \(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} = 2\sqrt 3 \)
Mặt cầu đường kính AB có tâm \(I\left( {2;4;1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 3 \)
Vậy ph¬ương trình của mặt cầu là: ${(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = 3.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Ta có: \(2R = AB = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow R = \sqrt 3 .\)
\( \Rightarrow \) Các đáp án B và C bị loại.
Với đáp án D thì: ${(1 + 2)^2} + {(3 + 4)^2} + {(2 + 1)^2} = 3 \Leftrightarrow 67 = 3 \Rightarrow A \notin \left( S \right)$
\( \Rightarrow \) Đáp án D bị loại.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 25. Cho \(I\left( {1;2;4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 1 = 0\). Mặt cầu tâm \(I\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có phương trình là:
A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4.$
B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 1.$
C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4.$
D. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3.$
Bán kính mặt cầu là : \(R = d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.2 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu là: ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 4)^2} = 3$.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 26. Cho đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và điểm $A\left( {5;4; - 2} \right)$. Phương trình mặt cầu đi qua điểm $A$ và có tâm là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là:
A. $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 64.$
B. $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 9.$
C. $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 65.$
D. $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z + 2)^2} = 65.$
Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình $z = 0$
Tâm \(I\) là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$\( \Rightarrow I \in d \Rightarrow I\left( {t;1 + 2t; - 1 - t} \right)\)
\(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow - 1 - t = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow I\left( { - 1; - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {6;5; - 2} \right)\)
Bán kính mặt cầu là: $R = IA = \sqrt {{6^2} + {5^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {65} $
Vậy phương trình của mặt cầu là $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 65$.
Lựa chọn đáp án A.
Lưu ý : Để làm được bài này học sinh phải nhớ được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và loại ngay được đáp án D
Câu 27. Cho ba điểm \(A(6; - 2;3)\), \(B(0;1;6)\), \(C(2;0; - 1)\), \(D(4;1;0)\). Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có phương trình là:
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 3 = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 3 = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y - 3z - 3 = 0.\)
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - y + 3z - 3 = 0.\)
Phương trình mặt cầu S có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0\), ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}A(6; - 2;3) \in (S)\\B(0;1;6) \in (S)\\C(2;0; - 1) \in (S)\\D(4;1;0) \in (S)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49 - 12A + 4B - 6C + D = 0\,\,(1)\\37\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2B - 12C + D = 0\,\,(2)\\5 - 4A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2C + D = 0\,\,(3)\\17 - 8A - 2B\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + D = 0\,\,(4)\end{array} \right.\)
Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\); \(\left( 2 \right) - \left( 3 \right)\); \(\left( 3 \right) - \left( 4 \right)\)ta được hệ:
\(\,\left\{ \begin{array}{l} - 12A\,\, + 6B + 6C = - 12\\4A - 2B\,\, - 14C = - 32\\4A + 2B\,\, + 2C\,\,\, = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 2\\B = - 1\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \\C = 3\end{array} \right.D = - 3\)
Vậy phương trình măt cầu là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 3 = 0\) .
Lựa chọn đáp án A.
Lưu ý : Ở bài này máy tính Casio giúp chúng ta giải nhanh chóng hệ phương trình bậc nhất ba ấn được tạo ra để tìm các hệ số của phương trình mặt cầu tổng quát. (Ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ các điểm vào từng đáp án và tìm ra đáp án đúng)
Câu 28. Cho ba điểm \(A\left( {2;0;1} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 2 = 0\). Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm \(A,B,C\) và có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x + 2z + 1 = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - 2y + 1 = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 1 = 0.\)
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2z + 1 = 0.\)
Phương mặt cầu S có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0\), ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}A(2;0;1) \in (S)\\B(1;0;0) \in (S)\\C(1;1;1) \in (S)\\I \in (P)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2C + D = - 5\,{\rm{ }}\,(1)\\ - 2A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + D = - 1\,{\rm{ }}\,(2)\\ - 2A\, - 2B\, - 2C + D = - 3\,\,{\rm{ }}(3)\\A + B + C = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.$
Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\); \(\left( 2 \right) - \left( 3 \right)\); kết hợp (4) ta được hệ:
\(\,\left\{ \begin{array}{l} - 2A\, - 2C = - 4\\2B\,\, + 2C = 2\\A + B\, + C\, = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 1\\B = 0\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \\C = 1\end{array} \right.D = 1\).
Vậy phương trình mặt cầu là : \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2z + 1 = 0\).
Lựa chọn đáp án A.
Lưu ý : Ở câu này nếu nhanh trí chúng ta có thể sử dụng máy tính cầm tay thay ngay tọa độ tâm của các mặt cầu ở 4 đáp án trên vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) để loại ngay được các đáp án có tọa độ tâm không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Câu 29. Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và tiếp xúc với trục \(Oy\)là:
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.\)
B. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.$
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 8.\)
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10.\)
Gọi M là hình chiếu của \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) lên \(Oy\), ta có \(M\left( {0; - 2;0} \right)\).
\(\overrightarrow {IM} = \left( { - 1;0; - 3} \right) \Rightarrow R = IM = \sqrt {10} \) là bán kính mặt cầu cần tìm.
Vậy phương trình mặt cầu là : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10\).
Lựa chọn đáp án A.
Câu 30. Cho các điểm \(A\left( { - 2;4;1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua \(A,B\) và có tâm thuộc đường thẳng \(d\). Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng:
A. \(3\sqrt 3 .\)
B. \(\sqrt 6 .\)
C. 3.
D. \(2\sqrt 3 .\)
Tâm \(I \in d \Rightarrow I\left( {1 + t;1 + 2t; - 2 + t} \right)\).
\(\overrightarrow {AI} = \left( {3 + t; - 3 + 2t; - 3 + t} \right);{\rm{ }}\overrightarrow {BI} = \left( { - 1 + t;1 + 2t; - 5 + t} \right)\)
Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) nên ta có $\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 3 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 3 + t} \right)^2} = {\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 5 + t} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {3; - 3; - 3} \right)\end{array}$
Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\): \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 31. Cho điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}$. Phương trình mặt cầu tâm \(A\), tiếp xúc với \(d\) là:
A. ${\left( {x--1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z--3} \right)^2} = \sqrt {50} .$
B. ${\left( {x--1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z--3} \right)^2} = 5.$
C. ${\left( {x--1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z--3} \right)^2} = 50.$
D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 50.$
$d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow a } \right]} \right|}}{{\left| {\vec a} \right|}} = \frac{{\sqrt {4 + 196 + 100} }}{{\sqrt {4 + 1 + 1} }} = 5\sqrt 2 $. Trong đó $B\left( { - 1;2; - 3} \right) \in d$
Phương trình mặt cầu tâm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\), bán kính $R = 5\sqrt 2 $ là
$\left( S \right):{\left( {x--1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z--3} \right)^2} = 50$.
Lựa chọn đáp án C.
Câu 32. Cho đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 2 = 0\). Phương trình mặt cầu S có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) là:
A. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1.\)
B. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1.\)
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1.\)
D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1.\)
Gọi \(I\)là tâm của (S).
\(I \in d \Rightarrow I\left( {1 + 3t; - 1 + t;t} \right)\). Bán kính \(R = IA = \sqrt {11{t^2} - 2t + 1} \).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với S nên \(d(I,(P)) = \frac{{\left| {5t + 3} \right|}}{3} = R\) .
<=> \(37{t^2} - 24t = 0\)  \(\left[ \begin{array}{l}t = 0 & \Rightarrow R = 1\\t = \frac{{24}}{{37}} & \Rightarrow R = \frac{{77}}{{37}}\end{array} \right.\).
Vì S có bán kính nhỏ nhất nên chọn \(t = 0,R = 1\). Suy ra \(I\left( {1; - 1;0} \right)\).
Vậy phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1\).
Lựa chọn đáp án C.
Câu 33. Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là:
A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 6z - 10 = 0.$
B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 10 = 0.$
C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z + 10 = 0.$
D. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 6z - 10 = 0.$
Gọi Mlà hình chiếu của \(I\left( {1;2;3} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), ta có: \(M\left( {1;0;3} \right)\).
\(\overrightarrow {IM} = \left( {0; - 2;0} \right) \Rightarrow R = IM = 2\) là bán kính mặt cầu cần tìm.
Vậy phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)
Hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 10 = 0.$
Lựa chọn đáp án B.
Câu 34. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 3;2} \right)\) tại điểm \(M\left( {7; - 1;5} \right)\) có phương trình là:
A. 6x + 2y + 3z + 55 = 0.
B. 3x + y + z - 22 = 0.
C. 6x + 2y + 3z - 55 = 0.
D. 3x + y + z + 22 = 0.
Mặt cầu S có tâm \(I\left( {1; - 3;2} \right)\)
Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm M nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\left( {7; - 1;5} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IM} = \left( {6;2;3} \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 2y + 3z - 55 = 0\).
Lựa chọn đáp án C.
Lưu ý : Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(M\left( {7; - 1;5} \right)\) nên điểm M thuộc mặt phẳng cần tìm hơn nữa khoảng cách từ tâm \(I\left( {1; - 3;2} \right)\) đến mặt phẳng cần tìm bằng IM cũng chính là bán kính mặt cầu. Từ các nhận xét đó để tìm ra đáp án của bài này ta có thể làm như sau:
B1: Thay tọa độ M vào các đáp án để loại ra mặt phẳng không chứa M
B2: Tính IM và \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) và kết luận
Câu 35. Cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \((\alpha ):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Mặt phẳng tiếp xúc với S và song song với \((\alpha )\) có phương trình là:
A. 4x + 3y - 12z + 78 = 0.
B. 4x + 3y - 12z - 78 = 0 hoặc 4x + 3y - 12z + 26 = 0.
C. 4x + 3y - 12z - 26 = 0.
D. 4x + 3y - 12z + 78 = 0 hoặc 4x + 3y - 12z - 26 = 0.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} + 2} = 4\)
Gọi (β)\) là mặt phẳng tiếp xúc với S và song song với \((\alpha )\).
Vì (β)//(\alpha ) \Rightarrow (\beta ):4x + 3y - 12z + D = 0{\rm{ (D}} \ne {\rm{10)}}\)
Mặt phẳng (β)\) tiếp xúc với mặt cầu S \( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( \beta \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + D} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 4\)
\( \Leftrightarrow \left| {D - 26} \right| = 52 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 78\\D = - 26\end{array} \right.\) ( thỏa điều kiện)
Vậy phương trình mặt phẳng (β):4x + 3y - 12z + 78 = 0\) hoặc (β):4x + 3y - 12z - 26 = 0\).
Lựa chọn đáp án D.
Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học bài toán được thì ta có thể dự đoán được có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 36. Cho mặt cầu \((S):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 14\). Mặt cầu S cắt trục Oz tại \(A\) và \(B\) \(({z_A} < 0)\). Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của S tại \(B\):
A. 2x - y - 3z + 9 = 0.
B. 2x - y - 3z - 9 = 0.
C. x - 2y - z - 3 = 0.
D. x - 2y + z + 3 = 0.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {2; - 1;0} \right)\)
Vì \(A \in Oz \Rightarrow A\left( {0;0;{z_A}} \right)\) \(({z_A} < 0)\)
\(A \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {0 - 2} \right)^2} + {\left( {0 + 1} \right)^2} + {z_A}^2 = 14 \Rightarrow {z_A}^2 = 9 \Rightarrow {z_A} = - 3\)
Nên mặt cầu S cắt trục Oz tại \(A\left( {0;0; - 3} \right)\) và \(B\left( {0;0;3} \right)\)
Gọi \((\alpha )\) là tiếp diện của mặt cầu S tại \(B\).
Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(B\left( {0;0;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IB} = \left( { - 2;1;3} \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha ):2x - y - 3z + 9 = 0.\)
Lựa chọn đáp án A.
 
Loading...
Loading...