Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn

1. Các kiến thức cần nhớ
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B $, tức là

• Nếu $A \ge 0$ và $B \ge 0$ thì $\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B $
• Nếu $A < 0$ và $B \ge 0$ thì $\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B $

Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ ta có $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $
• Với $A < 0$ và $B \ge 0$ ta có $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $

Khử mẫu của biểu thức lấy căn: Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}$
Trục căn thức ở mẫu

• Với các biểu thức $A,B$ mà $B > 0$, ta có $\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}$
• Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$
• Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$ ta có

$\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$; $\dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$

2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Phương pháp:
Sử dụng các công thức
* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
* Đưa thừa số vào trong dấu căn

• $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$
• $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai
Phương pháp: Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ
$0 \le A < B \Leftrightarrow \sqrt A < \sqrt B $

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Phương pháp: Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$.
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu

Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu
Phương pháp:
Sử dụng các công thức

• Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}$
• Với các biểu thức $A,B$ mà $B > 0$, ta có $\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}$
• Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$
• Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$ ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$; $\dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$

Dạng 5: Giải phương trình
Phương pháp:

• Tìm điều kiện
• Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản
• So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.