Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là
A. \(R\sqrt 3 \).
B. \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\frac{{4R\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).
A. \(R\sqrt 3 \).
B. \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\frac{{4R\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).
Giả sử \(2x\) là chiều cao hình trụ \((0 < x < R)\) (xem hình vẽ)
Bán kính của khối trụ là \(r = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \). Thể tích khối trụ là: \(V = \pi ({R^2} - {x^2})2x\). Xét hàm số \(V(x) = \pi ({R^2} - {x^2})2x,\,\,0 < x < R\)
Ta có \(V'(x) = 2\pi ({R^2} - 3{x^2}) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}\) .
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là \(\frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\); \({V_{\max }} = \frac{{4\pi {R^3}\sqrt 3 }}{9}\).
Bán kính của khối trụ là \(r = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \). Thể tích khối trụ là: \(V = \pi ({R^2} - {x^2})2x\). Xét hàm số \(V(x) = \pi ({R^2} - {x^2})2x,\,\,0 < x < R\)
Ta có \(V'(x) = 2\pi ({R^2} - 3{x^2}) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}\) .
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là \(\frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\); \({V_{\max }} = \frac{{4\pi {R^3}\sqrt 3 }}{9}\).