Cho các số a,b,c thỏa mãn $a > 0,bc = 4{a^2},2a + b + c = abc$. Chứng minh rằng $a \ge \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
a) Cho các số a,b,c thỏa mãn $a > 0,bc = 4{a^2},2a + b + c = abc$. Chứng minh rằng $a \ge \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.
b) Cho a,b,c là ba số khác nhau và $c \ne 0$. Chứng minh rằng nếu các phương trình ${x^2} + ax + bc = 0$ và ${x^2} + bx + ac = 0$ có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của phương trình ${x^2} + cx + ab = 0$.
Giải
a) Từ giả thiết ta có: $bc = 4{a^2}$ và $b + c = abc - 2a = 4{a^3} - 2a = 2a\left( {2{a^2} - 1} \right)$.
Suy ra $b,c$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - \left( {4{a^3} - 2a} \right)x + 4{a^2} = 0$.
Khi đó $\Delta ' = {a^2}{\left( {2{a^2} - 1} \right)^2} - 4{a^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2{a^2} - 1} \right)^2} \ge 4 \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$ (vì a > 0).
b) Giả sử ${x_0}$ là nghiệm chung, tức là $\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + a{x_0} + bc = 0\\x_0^2 + b{x_0} + ca = 0\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left( {a - b} \right){x_0} - c\left( {a - b} \right) \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{x_0} - c} \right) = 0$.
Vì $a \ne b$ nên ${x_0} = c$. Khi đó ta có: ${c^2} + bc + ca = 0 \Leftrightarrow c\left( {a + b + c} \right) = 0,$
Do $c \ne 0$ nên $a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = - c$.
Mặt khác theo định lý Viet, phương trình ${x^2} + ax + bc = 0$ còn có nghiệm $x = b;
$ phương trình ${x^2} + bx + ac = 0$ còn có nghiệm $x = a$.
Theo định lý đảo của định lý Viet, hai số a và b là nghiệm của phương trình:
${x^2} - \left( {a + b} \right)x + ab = 0$ hay ${x^2} + cx + ab = 0$ (đpcm).