a) Cho $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$, biết rằng phương trình $f\left( x \right) = x$ vô nghiệm.
chứng minh rằng phương trình $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = x$ vô nghiệm.
b) Cho các số ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ sao cho các phương trình sau vô nghiệm: ${x^2} + {a_1}x + {b_1} = 0$ và ${x^2} + {a_2}x + {b_2} = 0$.
Hỏi phương trình ${x^2} + \frac{1}{2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)x + \frac{1}{2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = 0$ có nghiệm hay không? Vì sao?
Giải
a) Vì phương trình $f\left( x \right) = x$ vô nghiệm, nên suy ra $f\left( x \right) > x$ hoặc $f\left( x \right) < x,\forall x \in \mathbb{R}$
Khi đó $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x,\forall x \in \mathbb{R}$ hoặc $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x,\forall x \in \mathbb{R}$.
Tức là phương trình $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = x$ vô nghiệm.
b) Từ giả thiết suy ra $a_1^2 - 4{b_1} < 0$ và $a_2^2 - 4{b_2} < 0$.
Do đó ${x^2} + {a_1}x + {b_1} = {\left( {x + \frac{{{a_1}}}{2}} \right)^2} - \frac{{a_1^2 - 4{b_1}}}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ .
và ${x^2} + {a_2}x + {b_2} = \left( {x + \frac{{{a_2}}}{2}} \right) - \frac{{a_2^2 - 4{b_2}}}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
nên ${x^2} + \frac{1}{2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)x + \frac{1}{2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x^2} + {a_1}x + {b_1}} \right) + \left( {{x^2} + {a_2}x + {b_2}} \right)} \right] > 0$.
Do vậy phương trình ${x^2} + \frac{1}{2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)x + \frac{1}{2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = 0$ vô nghiệm.
chứng minh rằng phương trình $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = x$ vô nghiệm.
b) Cho các số ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ sao cho các phương trình sau vô nghiệm: ${x^2} + {a_1}x + {b_1} = 0$ và ${x^2} + {a_2}x + {b_2} = 0$.
Hỏi phương trình ${x^2} + \frac{1}{2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)x + \frac{1}{2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = 0$ có nghiệm hay không? Vì sao?
Giải
a) Vì phương trình $f\left( x \right) = x$ vô nghiệm, nên suy ra $f\left( x \right) > x$ hoặc $f\left( x \right) < x,\forall x \in \mathbb{R}$
Khi đó $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x,\forall x \in \mathbb{R}$ hoặc $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x,\forall x \in \mathbb{R}$.
Tức là phương trình $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = x$ vô nghiệm.
b) Từ giả thiết suy ra $a_1^2 - 4{b_1} < 0$ và $a_2^2 - 4{b_2} < 0$.
Do đó ${x^2} + {a_1}x + {b_1} = {\left( {x + \frac{{{a_1}}}{2}} \right)^2} - \frac{{a_1^2 - 4{b_1}}}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ .
và ${x^2} + {a_2}x + {b_2} = \left( {x + \frac{{{a_2}}}{2}} \right) - \frac{{a_2^2 - 4{b_2}}}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
nên ${x^2} + \frac{1}{2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)x + \frac{1}{2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x^2} + {a_1}x + {b_1}} \right) + \left( {{x^2} + {a_2}x + {b_2}} \right)} \right] > 0$.
Do vậy phương trình ${x^2} + \frac{1}{2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)x + \frac{1}{2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = 0$ vô nghiệm.