Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn ...

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Chất Của Tích Phân Và Nguyên Hàm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = {x^2},\forall x \in \mathbb{R}\) . Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx.\)
A. \(I = \frac{2}{3}\)
B. \(I = 1\)
C. \(I = 2\)
D. \(I = \frac{1}{3}\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = {x^2} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}} dx\)
Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1,t = 1}\\{x = 1,t = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)} dx = - \int\limits_1^{ - 1} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} \) \( = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx\)
Suy ra \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{2}{3} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{1}{3}.\)