Cho hàm số \(g\left( x \right) = \int\limits_{\sqrt x }^{{x^2}} {\sqrt t \sin t{\rm{dt}}} \) xác định với mọi \(x > 0.\) Tính \(g'\left( x \right)\) đ

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Chất Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Cho hàm số \(g\left( x \right) = \int\limits_{\sqrt x }^{{x^2}} {\sqrt t \sin t{\rm{dt}}} \) xác định với mọi \(x > 0.\) Tính \(g'\left( x \right)\) được kết quả:
A. \(g'\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\)
B. \(g'\left( x \right) = 2{x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\)
C. \(g'\left( x \right) = 2{x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\)
D. \(g'\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\)

Đặt \(f\left( t \right) = \sqrt t \sin t \Rightarrow g\left( x \right) = F\left( {{x^2}} \right) - F\left( {\sqrt x } \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2{\rm{x}}F'\left( {{x^2}} \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}F'\left( x \right)\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2{\rm{x}}f\left( {{x^2}} \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}f\left( {\sqrt x } \right) = 2{\rm{x}}.\left[ {x\sin \left( {{x^2}} \right)} \right] - \frac{1}{{2\sqrt x }}\left[ {\sqrt[4]{{\rm{x}}}.\sin \left( {\sqrt x } \right)} \right] = 2{{\rm{x}}^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}\)