Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} = 1\) và \(\int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 3.\) Tính ...

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Chất Của Tích Phân Và Nguyên Hàm

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} = 1\) và \(\int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 3.\) Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} .\)
A. \(\frac{1}{2}.\)
B. \(\frac{{13}}{2}.\)
C. \(\frac{{11}}{2}.\)
D. \(\frac{7}{2}.\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Xét tích phân: \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} \)
Đặt \(v = 2u \Rightarrow dv = 2du;\,\,u = 0 \Rightarrow v = 0;u = 1 \Rightarrow v = 2\)
Vậy: \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f(v)dv} = 1 \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(v)dv} = \int\limits_0^2 {f(x)dx} = 2\)
Xét tích phân: \({I_2} = \int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 3\)
Đặt: \(v = \frac{t}{2} \Rightarrow dv = \frac{1}{2}dt;\,\,t = 2 \Rightarrow v = 1;t = 4 \Rightarrow v = 2\)
Vậy: \({I_2} = \int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 2\int\limits_1^2 {f(v)dv} = 3 \Rightarrow \int\limits_1^2 {f(v)dv} = \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{3}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f(x)dx} = \int\limits_0^2 {f(x)dx} - \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{1}{2}.\end{array}\)