a) Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $a{x_1} + b{x_2} + c = 0$
Chứng minh rằng $ac\left( {a + c - 3b} \right) + {b^3} = 0$.
b) Giả sử $p,q$ là hai số nguyên dương khác nhau.
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm ${x^2} + px + q = 0;{x^2} + qx + p = 0$.
Giải
a) Vì $a \ne 0$ nên $ac\left( {a + c - 3b} \right) + {b^3} = a{c^2} + {a^2}c + {b^3} - 3abc = {a^3}\left[ {{{\left( {\frac{c}{a}} \right)}^2} + \frac{c}{a} - 3\frac{{bc}}{{{a^2}}}} \right]$(*).
Theo hệ thức Viet, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$.
Khi đó (*) thành: ${a^3}\left[ {x_1^2x_2^2 + {x_1}{x_2} - {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]$
$ = {a^3}\left[ {x_1^2x_2^2 + {x_1}{x_2} - \left( {x_1^3 + x_2^3} \right)} \right] = {a^3}\left( {x_1^2 - {x_2}} \right)\left( {x_2^2 - {x_1}} \right)$
$ \Rightarrow ac\left( {a + c - 3b} \right) + {b^3} = {a^3}\left( {x_1^2 - {x_2}} \right)\left( {x_2^2 - {x_1}} \right)$
Mà theo giả thiết ta có $ax_2^2 + b{x_2} + c = 0$ và $a{x_1} + b{x_2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$
Suy ra $b{x_2} + c = - ax_2^2 = - a{x_1} \Rightarrow x_2^2 - {x_1} = 0$.
Do đó $ac\left( {a + c - 3b} \right) + {b^3} = 0$
b) Vì $p,q$ nguyên dương khác nhau nên xảy ra hai trường hợp là $p > q$ hoặc $p < q$.
Nếu $p > q$ suy ra $p \ge q + 1$.Khi đó$\Delta = {p^2} - 4q \ge {\left( {q + 1} \right)^2} - 4q = {\left( {q - 1} \right)^2} \ge 0$.
Vậy trong trường hợp này phương trình ${x^2} + px + q = 0$ có nghiệm.
Tương tự trường hợp $p < q$ thì phương trình ${x^2} + qx + p = 0$ có nghiệm (đpcm).
Chứng minh rằng $ac\left( {a + c - 3b} \right) + {b^3} = 0$.
b) Giả sử $p,q$ là hai số nguyên dương khác nhau.
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm ${x^2} + px + q = 0;{x^2} + qx + p = 0$.
Giải
a) Vì $a \ne 0$ nên $ac\left( {a + c - 3b} \right) + {b^3} = a{c^2} + {a^2}c + {b^3} - 3abc = {a^3}\left[ {{{\left( {\frac{c}{a}} \right)}^2} + \frac{c}{a} - 3\frac{{bc}}{{{a^2}}}} \right]$(*).
Theo hệ thức Viet, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$.
Khi đó (*) thành: ${a^3}\left[ {x_1^2x_2^2 + {x_1}{x_2} - {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]$
$ = {a^3}\left[ {x_1^2x_2^2 + {x_1}{x_2} - \left( {x_1^3 + x_2^3} \right)} \right] = {a^3}\left( {x_1^2 - {x_2}} \right)\left( {x_2^2 - {x_1}} \right)$
$ \Rightarrow ac\left( {a + c - 3b} \right) + {b^3} = {a^3}\left( {x_1^2 - {x_2}} \right)\left( {x_2^2 - {x_1}} \right)$
Mà theo giả thiết ta có $ax_2^2 + b{x_2} + c = 0$ và $a{x_1} + b{x_2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$
Suy ra $b{x_2} + c = - ax_2^2 = - a{x_1} \Rightarrow x_2^2 - {x_1} = 0$.
Do đó $ac\left( {a + c - 3b} \right) + {b^3} = 0$
b) Vì $p,q$ nguyên dương khác nhau nên xảy ra hai trường hợp là $p > q$ hoặc $p < q$.
Nếu $p > q$ suy ra $p \ge q + 1$.Khi đó$\Delta = {p^2} - 4q \ge {\left( {q + 1} \right)^2} - 4q = {\left( {q - 1} \right)^2} \ge 0$.
Vậy trong trường hợp này phương trình ${x^2} + px + q = 0$ có nghiệm.
Tương tự trường hợp $p < q$ thì phương trình ${x^2} + qx + p = 0$ có nghiệm (đpcm).