Cho phương trình bậc hai: ${x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0$ (m là tham số). Giải phương trình khi m = 2.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
1) Cho phương trình bậc hai: ${x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0$ (m là tham số).
a) Giải phương trình khi $m = 2$.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = 3{x_1}{x_2} - 1$.
Giải
a) Khi $m = 2$ ta có phương trình: ${x^2} - 4x + 3 = 0$$ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.
Phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ {1;3} \right\}$
b) Ta có $\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - m + 1} \right) = m - 1$.
Để phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm phân biệt
${x_1},{x_2}$ thì $\Delta ' > 0$$ \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$.
Khi đó theo hệ thức Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.$.
Theo bài ra: $x_1^2 + x_2^2 = 3{x_1}{x_2} - 1$$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 3{x_1}{x_2} - 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2} + 1 = 0 \Rightarrow 4{m^2} - 5\left( {{m^2} - m + 1} \right) + 1 = 0$$ \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.$
Đối chiếu điều kiện $m > 1$ ta có $m = 4$ thỏa mãn bài toán.