Cho phương trình: ${x^2} + x + m - 5 = 0$ (1) (m là tham số, x là ẩn). Giải phương trình (1) với m = 4.

Cho phương trình: ${x^2} + x + m - 5 = 0$ (1) (m là tham số, x là ẩn)
1) Giải phương trình (1) với $m = 4$.
2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \ne 0$ thỏa mãn:
$\frac{{6 - m - {x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{6 - m - {x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{10}}{3}$.
Giải
1) Phương trình có nghiệm $x = 3$
$ \Leftrightarrow {3^2} = 2.3 + m + 3 = 0 \Leftrightarrow 6 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 6$
Ta có: ${x_1} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow 3 + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = - 1$.
Vậy nghiệm còn lại là $x = - 1$.
2) $\Delta ' = 1 - \left( {m + 3} \right) = - m - 2$
Để phương trình có hai nghiệm $ \Leftrightarrow - m - 2 \ge 0 \Leftrightarrow m < - 2$
Khi đó: $x_1^3 + x_2^3 = 8 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = 8$
Áp dụng hệ thức Viet ta được: $2\left[ {{2^2} - 3\left( {m + 3} \right)} \right] = 8 \Leftrightarrow 2\left( {4 - 3m - 9} \right) = 8$
$ \Leftrightarrow 8 - 6m - 18 = 8 \Leftrightarrow - 6m - 18 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$ (thỏa mãn).
Vậy $m = - 3$ là giá trị cần tìm.