Cho y=f(x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [-6;6]

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Chất Của Tích Phân Và Nguyên Hàm

Cho y=f(x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [-6;6]. Biết rằng \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx = 8 và \int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx} = 3. Tính I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .
A. I = 2
B. I = 5
C. I = 11
D. I = 14
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Ta có y=f(x) là hàm số chẵn nên f(2x)=f(-2x) suy ra \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)} dx = \int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)} dx = 3\)
Mặt khác:
Xét tích phân: \(\int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)} dx\)
Đặt: \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)
Đổi cận: \(x = 1 \Rightarrow t = 2;\,\,x = 3 \Rightarrow t = 6.\)
Nên: \(\int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)} dx = \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( t \right)dt = } \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} = 3\)(Tích phân không phụ thuộc vào biến).
\(\Rightarrow \int\limits_2^6 {f\left( x \right)} dx = 6.\)
Vậy \(I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx + \int\limits_2^6 {f\left( x \right)} } dx = 8 + 6 = 14\)