Chứng minh rằng mỗi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho Parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = - \frac{2}{3}\left( {m + 1} \right)x + \frac{1}{3}$ (m là tham số).
1) Chứng minh rằng mỗi giá trị của m thì $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
2) Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ giao điểm $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$, đặt $f\left( x \right) = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} - x$.
Chứng minh rằng: $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = - \frac{1}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3}$.(Trích đề thi vào lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2013)
Giải
a) Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\y = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{3} + \frac{1}{3}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 1 = 10\end{array} \right.$ $\begin{array}{l}\\\left( 1 \right)\end{array}$
(1) Có hệ số a và $c$ trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt mọi m nên $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m.
b) Theo hệ thức Viet: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 = \frac{{ - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{2}\\3{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.$
Ta có: $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = x_1^3 - x_2^3 + \left( {m + 1} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - {x_1} + {x_2}$
$ \Rightarrow 2\left( {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right) = 2x_1^3 - 2x_2^3 - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - 2{x_1} + 2{x_2}$
$\begin{array}{*{20}{l}}
{ = - x_1^3 + x_2^3 + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}\\
{ = - x_1^3 + x_2^3 + \left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}\\
{ = - \left( {x_1^3 - x_2^3 - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right)}\\
{ = \left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}} \right)} \right] = - {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^3}.}
\end{array}$
Nên $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{ - 1}}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3}$.
 
Sửa lần cuối: