Kiến thức cần nhớ:
1. Định nghĩa:
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y = ax + b trong đó a và b là các số thực cho trước và $a \ne 0$.
+ Khi b = 0thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số $y = ax$, biểu thị tương quan tỉ lện thuận giữa y và x.
2. Tính chất:
a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị $x \in R$.
b) Trên tập số thực, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0.
3. Đồ thị hàm số y = ax + b với $\left( {a \ne 0} \right)$.
+ Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $ - \frac{b}{a}$.
+ a gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
4. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b.
+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.
+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ là $A\left( { - \frac{b}{a};0} \right),B\left( {0;b} \right)$.
+ Chú ý: Đường thẳng đi qua $M\left( {m;0} \right)$ song song với trục tung có phương trình: $x - m = 0$, đường thẳng đi qua $N\left( {0;n} \right)$ song song với trục hoành có phương trình: $y - n = 0$
5. Kiến thức bổ sung.
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} $.
Điểm $M\left( {x;y} \right)$ là trung điểm của $AB$ thì $x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};y = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}$.
6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông góc.
Cho hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = ax + b$ và đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):y = a'x + b'$ với $a,a' \ne 0$.
• $({d_1})//({d_2}) \Leftrightarrow a = a'$ và $b \ne b'$.
• $({d_1}) \equiv ({d_2}) \Leftrightarrow a = a'$ và $b = b'$.
• $\left( {{d_1}} \right)$ cắt $\left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow a \ne a'$.
• $({d_1}) \bot ({d_2}) \Leftrightarrow a.a' = - 1$
Chú ý: Gọi $\varphi $ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục $Ox$, nếu a > 0 thì $\tan \varphi = a$.
Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ:
Ví dụ 1) Cho đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = x + 2$ và đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m$.
a) Tìm m để $({d_1})//({d_2})$.
b) Gọi a là điểm thuộc đường thẳng $({d_1})$ có hoành độ $x = 2$. Viết phương trình đường thẳng $({d_3})$đi qua a vuông góc với $({d_1})$.
c) Khi $({d_1})//({d_2})$. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $({d_1}),\left( {{d_2}} \right)$.
d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $({d_1})$ và tính diện tích tam giác OMN vớiM, N lần lượt là giao điểm của $({d_1})$ với các trục tọa độ Ox,Oy.
Lời giải:
a) Đường thẳng $({d_1})//({d_2})$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.
Vậy với $m = - \frac{1}{2}$ thì $({d_1})//({d_2})$.
b) Vì a là điểm thuộc đường thẳng $({d_1})$ có hoành độ $x = 2$ suy ra tung độ điểm a l$y = 2 + 2 = 4 \Rightarrow A\left( {2;4} \right)$ .
Đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ có hệ số góc là $a = 1$, đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ có hệ số góc là $a' \Rightarrow a'.1 = - 1 \Rightarrow a' = - 1$ .
Đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ có dạng $y = - x + b$. Vì $\left( {{d_3}} \right)$ đi qua $A\left( {2;4} \right)$
suy ra $4 = - 2 + b \Rightarrow b = 6$.
Vậy đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ là $y = - x + 6$.
c)
Khi $({d_1})//({d_2})$ thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm $A,B$ lần lượt thuộc $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ sao cho $AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)$.
Hình vẽ:
Gọi b là giao điểm của đường thẳng
$({d_3})$ và $({d_2})$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d_2}} \right)$ và $\left( {{d_3}} \right)$ là:
$ - x + 6 = x - \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{25}}{8} \Rightarrow y = \frac{{23}}{8} \Rightarrow B\left( {\frac{{25}}{8};\frac{{23}}{8}} \right)$.
Vậy độ dài đoạn thẳng $AB$ là: $AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{25}}{8} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{23}}{8} - 4} \right)}^2}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{8}$.
d) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ với các trục tọa độ Ox,Oy.
Ta có:
Cho $y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right)$, cho $y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow N\left( { - 2;0} \right)$.
Từ đó suy ra $OM = ON = 2$ $ \Rightarrow MN = 2\sqrt 2 $.Tam giác OMN vuông cân tại O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên $MN$ ta có $OH = \frac{1}{2}MN = \sqrt 2 $ và ${S_{OMN}} = \frac{1}{2}OM.ON = 2$ ( đvdt).
Chú ý 1: Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O ta có thể tính $OH$ theo cách:
Trong tam giác vuông OMN ta có:
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}$ (*).
Từ đó để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d)ta làm theo cách:
+ Tìm các giao điểmM, N của (d) với các trục tọa độ
+ Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH.
Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:
Cho $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và đường thẳng $ax + by + c = 0$.
Khoảng cách từ điểm m đến đường thẳng là:
$d = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng $mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0$ (d).
a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại $A,B$ sao cho tam giác OAB cân.
Lời giải:
a) Gọi $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m khi đó
ta có: $m{x_0} + \left( {2 - 3m} \right){y_0} + m - 1 = 0\forall m$$ \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 3{y_0} + 1} \right) + 2{y_0} - 1 = 0\forall m$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.$.
Hay$\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{2}\\{y_0} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).
Ta có: $OH \le OI$ suy ra $OH$ lớn nhất bằng $OI$ khi và chỉ khi $H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)$.
Đường thẳng qua O có phương trình: $y = ax$ do $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \frac{1}{2} = a.\frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x$.
Đường thẳng (d) được viết lại như sau: $mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y = - mx + 1 - m$. + Đế ý rằng với $m = \frac{2}{3}$ thì đường thẳng $(d):x - \frac{1}{2} = 0$ song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d) là $\frac{1}{2}$. + Nếu $m \ne \frac{2}{3}$ đường thẳng (d) có thể viết lại: $y = \frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}}$.
Điều kiện để $(d) \bot OI$ là $\frac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$. Khi đó khoảng cách $OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. Vậy $m = \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.
c) Ta có thể giải bài toán theo 2 cách sau:
+ Cách 1: Dễ thấy $m = \frac{2}{3}$ không thỏa mãn điều kiện (Do (d) không cắt $Oy$).
Xét $m \ne \frac{2}{3}$, đường thẳng (d) cắt Ox,Oy tại các điểm $A,B$ tạo thành tam giác cân OAB , do góc $\widehat {AOB} = {90^0} \Rightarrow \Delta OAB$ vuông cân tại O.
Suy ra hệ số góc của đường thẳng (d) phải bằng 1 hoặc - 1 và đường thẳng (d) không đi qua gốc O.
$\left[ \begin{array}{l}\frac{m}{{3m - 2}} = 1\\\frac{m}{{3m - 2}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Ta thấy chỉ có giá trị $m = \frac{1}{2}$ là thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cách 2: Dễ thấy $m = \frac{2}{3},m = 0$ không thỏa mãn điều kiện
Xét $m \ne 0;\frac{2}{3}$, đường thẳng (d) có thể viết lại: $y = \frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}}$.
Đường thẳng (d) cắt trục $Ox$ tại điểm a có tung độ bằng $0$ nên $\frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 - m}}{m} \Rightarrow A\left( {\frac{{1 - m}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right|$, đường thẳng (d) cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng $0$ nên $y = \frac{{m - 1}}{{3m - 2}} \Rightarrow B\left( {0;\frac{{m - 1}}{{3m - 2}}} \right) \Rightarrow OB = \left| {\frac{{m - 1}}{{3m - 2}}} \right|$.
Điều kiện để tam giác OAB cân là $OA = OB \Leftrightarrow \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right| = \left| {\frac{{m - 1}}{{3m - 2}}} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\\left| m \right| = \left| {3m - 2} \right|\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Giá trị $m = 1$ không thỏa mãn , do đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ.
Kết luận: $m = \frac{1}{2}$.
Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng $({d_1}) : mx + (m - 1)y - 2m + 1 = 0,({d_2}) : (1 - m)x + my - 4m + 1 = 0$
a) Tìm các điểm cố định mà $({d_1})$, $({d_2})$ luôn đi qua.
b) Tìm m để khoảng cách từ điểm $P(0;4)$ đến đường thẳng $({d_1})$ là lớn nhất.
c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I .Tìm quỹ tích điểm I khi m thay đổi.
d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $IAB$ với $A,B$ lần lượt là các điểm cố định mà $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ đi qua.
Lời giải:
a) Ta viết lại $({d_1}):mx + (m - 1)y - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 2} \right) + 1 - y = 0$.
Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng $({d_{1)}}$ luôn đi qua điểm cố định: $A\left( {1;1} \right)$.
Tương tự viết lại $({d_2}) : (1 - m)x + my - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {y - x - 4} \right) + 1 + x = 0$ suy ra $({d_2})$ luôn đi qua điểm cố định: $B\left( { - 1;3} \right)$.
b) Để ý rằng đường thẳng $({d_1})$ luôn đi qua điểm cố định: $A\left( {1;1} \right)$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $({d_1})$ thì khoảng cách từ a đến $({d_1})$ là $PH \le PA$.
Suy ra khoảng cách lớn nhất là $PA$ khi $P \equiv H \Leftrightarrow PH \bot \left( {{d_1}} \right)$.
Gọi y = ax + b là phương trình đường thẳng đi qua $P\left( {0;4} \right),A\left( {1;1} \right)$ ta có hệ :$\left\{ \begin{array}{l}a.0 + b = 4\\a.1 + b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = - 3\end{array} \right.$
suy ra phương trình đường thẳng $PA:y = - 3x + 4$.
Xét đường thẳng $({d_1}):$$:mx + (m - 1)y - 2m + 1 = 0$. Nếu $m = 1$ thì $\left( {{d_1}} \right):x - 1 = 0$ không thỏa mãn điều kiện.
Khi $m \ne 1$ thì: $\left( {{d_1}} \right):y = \frac{m}{{1 - m}}x + \frac{{2m - 1}}{{m - 1}}$.
Điều kiện để $({d_1}) \bot PA$ là $\frac{m}{{1 - m}}\left( { - 3} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$.
c) Nếu $m = 0$ thì $\left( {{d_1}} \right):$$y - 1 = 0$ và $\left( {{d_2}} \right):x + 1 = 0$ suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại $I\left( { - 1;1} \right)$.
Nếu $m = 1$ thì $\left( {{d_1}} \right):$$x - 1 = 0$ và $\left( {{d_2}} \right):y - 3 = 0$ suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại $I\left( {1;3} \right)$.
Nếu $m \ne \left\{ {0;1} \right\}$ thì ta viết lại $\left( {{d_1}} \right):y = \frac{m}{{1 - m}}x + \frac{{2m - 1}}{{m - 1}}$ và $\left( {{d_2}} \right):y = \frac{{m - 1}}{m}x + \frac{{4m - 1}}{m}$.
Ta thấy $\left( {\frac{m}{{1 - m}}} \right)\left( {\frac{{m - 1}}{m}} \right) = - 1$ nên $\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)$.
Do đó hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại 1 điểm I .
Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ luôn vuông góc và cắt nhau tại 1 điểm I .
Mặt khác theo câu a) ta có $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ lần lượt đi qua 2
điểm cố định $A,B$ suy ra tam giác $IAB$ vuông tại a. Nên I nằm trên đường tròn đường kính $AB$.
d) Ta có $AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 $. Dựng $IH \bot AB$ thì ${S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB \le \frac{1}{2}IK.AB = \frac{1}{2}\frac{{AB}}{2}.AB = \frac{{A{B^2}}}{4} = 2$. Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $IAB$ là 2 khi và chỉ khi $IH = IK$. Hay tam giác $IAB$ vuông cân tại I .
1. Định nghĩa:
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y = ax + b trong đó a và b là các số thực cho trước và $a \ne 0$.
+ Khi b = 0thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số $y = ax$, biểu thị tương quan tỉ lện thuận giữa y và x.
2. Tính chất:
a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị $x \in R$.
b) Trên tập số thực, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0.
3. Đồ thị hàm số y = ax + b với $\left( {a \ne 0} \right)$.
+ Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $ - \frac{b}{a}$.
+ a gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
4. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b.
+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.
+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ là $A\left( { - \frac{b}{a};0} \right),B\left( {0;b} \right)$.
+ Chú ý: Đường thẳng đi qua $M\left( {m;0} \right)$ song song với trục tung có phương trình: $x - m = 0$, đường thẳng đi qua $N\left( {0;n} \right)$ song song với trục hoành có phương trình: $y - n = 0$
5. Kiến thức bổ sung.
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} $.
Điểm $M\left( {x;y} \right)$ là trung điểm của $AB$ thì $x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};y = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}$.
6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông góc.
Cho hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = ax + b$ và đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):y = a'x + b'$ với $a,a' \ne 0$.
• $({d_1})//({d_2}) \Leftrightarrow a = a'$ và $b \ne b'$.
• $({d_1}) \equiv ({d_2}) \Leftrightarrow a = a'$ và $b = b'$.
• $\left( {{d_1}} \right)$ cắt $\left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow a \ne a'$.
• $({d_1}) \bot ({d_2}) \Leftrightarrow a.a' = - 1$
Chú ý: Gọi $\varphi $ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục $Ox$, nếu a > 0 thì $\tan \varphi = a$.
Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ:
Ví dụ 1) Cho đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = x + 2$ và đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m$.
a) Tìm m để $({d_1})//({d_2})$.
b) Gọi a là điểm thuộc đường thẳng $({d_1})$ có hoành độ $x = 2$. Viết phương trình đường thẳng $({d_3})$đi qua a vuông góc với $({d_1})$.
c) Khi $({d_1})//({d_2})$. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $({d_1}),\left( {{d_2}} \right)$.
d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $({d_1})$ và tính diện tích tam giác OMN vớiM, N lần lượt là giao điểm của $({d_1})$ với các trục tọa độ Ox,Oy.
Lời giải:
a) Đường thẳng $({d_1})//({d_2})$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.
Vậy với $m = - \frac{1}{2}$ thì $({d_1})//({d_2})$.
b) Vì a là điểm thuộc đường thẳng $({d_1})$ có hoành độ $x = 2$ suy ra tung độ điểm a l$y = 2 + 2 = 4 \Rightarrow A\left( {2;4} \right)$ .
Đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ có hệ số góc là $a = 1$, đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ có hệ số góc là $a' \Rightarrow a'.1 = - 1 \Rightarrow a' = - 1$ .
Đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ có dạng $y = - x + b$. Vì $\left( {{d_3}} \right)$ đi qua $A\left( {2;4} \right)$
suy ra $4 = - 2 + b \Rightarrow b = 6$.
Vậy đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ là $y = - x + 6$.
c)
Khi $({d_1})//({d_2})$ thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm $A,B$ lần lượt thuộc $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ sao cho $AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)$.
Hình vẽ:
Gọi b là giao điểm của đường thẳng
$({d_3})$ và $({d_2})$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d_2}} \right)$ và $\left( {{d_3}} \right)$ là:
$ - x + 6 = x - \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{25}}{8} \Rightarrow y = \frac{{23}}{8} \Rightarrow B\left( {\frac{{25}}{8};\frac{{23}}{8}} \right)$.
Vậy độ dài đoạn thẳng $AB$ là: $AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{25}}{8} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{23}}{8} - 4} \right)}^2}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{8}$.
d) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ với các trục tọa độ Ox,Oy.
Ta có:
Cho $y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right)$, cho $y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow N\left( { - 2;0} \right)$.
Từ đó suy ra $OM = ON = 2$ $ \Rightarrow MN = 2\sqrt 2 $.Tam giác OMN vuông cân tại O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên $MN$ ta có $OH = \frac{1}{2}MN = \sqrt 2 $ và ${S_{OMN}} = \frac{1}{2}OM.ON = 2$ ( đvdt).
Chú ý 1: Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O ta có thể tính $OH$ theo cách:
Trong tam giác vuông OMN ta có:
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}$ (*).
Từ đó để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d)ta làm theo cách:
+ Tìm các giao điểmM, N của (d) với các trục tọa độ
+ Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH.
Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:
Cho $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và đường thẳng $ax + by + c = 0$.
Khoảng cách từ điểm m đến đường thẳng là:
$d = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng $mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0$ (d).
a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại $A,B$ sao cho tam giác OAB cân.
Lời giải:
a) Gọi $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m khi đó
ta có: $m{x_0} + \left( {2 - 3m} \right){y_0} + m - 1 = 0\forall m$$ \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 3{y_0} + 1} \right) + 2{y_0} - 1 = 0\forall m$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.$.
Hay$\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{2}\\{y_0} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).
Ta có: $OH \le OI$ suy ra $OH$ lớn nhất bằng $OI$ khi và chỉ khi $H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)$.
Đường thẳng qua O có phương trình: $y = ax$ do $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \frac{1}{2} = a.\frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x$.
Đường thẳng (d) được viết lại như sau: $mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y = - mx + 1 - m$. + Đế ý rằng với $m = \frac{2}{3}$ thì đường thẳng $(d):x - \frac{1}{2} = 0$ song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d) là $\frac{1}{2}$. + Nếu $m \ne \frac{2}{3}$ đường thẳng (d) có thể viết lại: $y = \frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}}$.
Điều kiện để $(d) \bot OI$ là $\frac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$. Khi đó khoảng cách $OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. Vậy $m = \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.
c) Ta có thể giải bài toán theo 2 cách sau:
+ Cách 1: Dễ thấy $m = \frac{2}{3}$ không thỏa mãn điều kiện (Do (d) không cắt $Oy$).
Xét $m \ne \frac{2}{3}$, đường thẳng (d) cắt Ox,Oy tại các điểm $A,B$ tạo thành tam giác cân OAB , do góc $\widehat {AOB} = {90^0} \Rightarrow \Delta OAB$ vuông cân tại O.
Suy ra hệ số góc của đường thẳng (d) phải bằng 1 hoặc - 1 và đường thẳng (d) không đi qua gốc O.
$\left[ \begin{array}{l}\frac{m}{{3m - 2}} = 1\\\frac{m}{{3m - 2}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Ta thấy chỉ có giá trị $m = \frac{1}{2}$ là thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cách 2: Dễ thấy $m = \frac{2}{3},m = 0$ không thỏa mãn điều kiện
Xét $m \ne 0;\frac{2}{3}$, đường thẳng (d) có thể viết lại: $y = \frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}}$.
Đường thẳng (d) cắt trục $Ox$ tại điểm a có tung độ bằng $0$ nên $\frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 - m}}{m} \Rightarrow A\left( {\frac{{1 - m}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right|$, đường thẳng (d) cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng $0$ nên $y = \frac{{m - 1}}{{3m - 2}} \Rightarrow B\left( {0;\frac{{m - 1}}{{3m - 2}}} \right) \Rightarrow OB = \left| {\frac{{m - 1}}{{3m - 2}}} \right|$.
Điều kiện để tam giác OAB cân là $OA = OB \Leftrightarrow \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right| = \left| {\frac{{m - 1}}{{3m - 2}}} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\\left| m \right| = \left| {3m - 2} \right|\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Giá trị $m = 1$ không thỏa mãn , do đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ.
Kết luận: $m = \frac{1}{2}$.
Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng $({d_1}) : mx + (m - 1)y - 2m + 1 = 0,({d_2}) : (1 - m)x + my - 4m + 1 = 0$
a) Tìm các điểm cố định mà $({d_1})$, $({d_2})$ luôn đi qua.
b) Tìm m để khoảng cách từ điểm $P(0;4)$ đến đường thẳng $({d_1})$ là lớn nhất.
c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I .Tìm quỹ tích điểm I khi m thay đổi.
d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $IAB$ với $A,B$ lần lượt là các điểm cố định mà $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ đi qua.
Lời giải:
a) Ta viết lại $({d_1}):mx + (m - 1)y - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 2} \right) + 1 - y = 0$.
Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng $({d_{1)}}$ luôn đi qua điểm cố định: $A\left( {1;1} \right)$.
Tương tự viết lại $({d_2}) : (1 - m)x + my - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {y - x - 4} \right) + 1 + x = 0$ suy ra $({d_2})$ luôn đi qua điểm cố định: $B\left( { - 1;3} \right)$.
b) Để ý rằng đường thẳng $({d_1})$ luôn đi qua điểm cố định: $A\left( {1;1} \right)$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $({d_1})$ thì khoảng cách từ a đến $({d_1})$ là $PH \le PA$.
Suy ra khoảng cách lớn nhất là $PA$ khi $P \equiv H \Leftrightarrow PH \bot \left( {{d_1}} \right)$.
Gọi y = ax + b là phương trình đường thẳng đi qua $P\left( {0;4} \right),A\left( {1;1} \right)$ ta có hệ :$\left\{ \begin{array}{l}a.0 + b = 4\\a.1 + b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = - 3\end{array} \right.$
suy ra phương trình đường thẳng $PA:y = - 3x + 4$.
Xét đường thẳng $({d_1}):$$:mx + (m - 1)y - 2m + 1 = 0$. Nếu $m = 1$ thì $\left( {{d_1}} \right):x - 1 = 0$ không thỏa mãn điều kiện.
Khi $m \ne 1$ thì: $\left( {{d_1}} \right):y = \frac{m}{{1 - m}}x + \frac{{2m - 1}}{{m - 1}}$.
Điều kiện để $({d_1}) \bot PA$ là $\frac{m}{{1 - m}}\left( { - 3} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$.
c) Nếu $m = 0$ thì $\left( {{d_1}} \right):$$y - 1 = 0$ và $\left( {{d_2}} \right):x + 1 = 0$ suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại $I\left( { - 1;1} \right)$.
Nếu $m = 1$ thì $\left( {{d_1}} \right):$$x - 1 = 0$ và $\left( {{d_2}} \right):y - 3 = 0$ suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại $I\left( {1;3} \right)$.
Nếu $m \ne \left\{ {0;1} \right\}$ thì ta viết lại $\left( {{d_1}} \right):y = \frac{m}{{1 - m}}x + \frac{{2m - 1}}{{m - 1}}$ và $\left( {{d_2}} \right):y = \frac{{m - 1}}{m}x + \frac{{4m - 1}}{m}$.
Ta thấy $\left( {\frac{m}{{1 - m}}} \right)\left( {\frac{{m - 1}}{m}} \right) = - 1$ nên $\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)$.
Do đó hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại 1 điểm I .
Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ luôn vuông góc và cắt nhau tại 1 điểm I .
Mặt khác theo câu a) ta có $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ lần lượt đi qua 2
điểm cố định $A,B$ suy ra tam giác $IAB$ vuông tại a. Nên I nằm trên đường tròn đường kính $AB$.
d) Ta có $AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 $. Dựng $IH \bot AB$ thì ${S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB \le \frac{1}{2}IK.AB = \frac{1}{2}\frac{{AB}}{2}.AB = \frac{{A{B^2}}}{4} = 2$. Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $IAB$ là 2 khi và chỉ khi $IH = IK$. Hay tam giác $IAB$ vuông cân tại I .
Đính kèm
-
aa.png
Sửa lần cuối: