Toán 12 Chuyên đề logarit

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Cho hai số dương a, b với \(a \ne 1\). Số \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({\log _a}b\) . Ta viết: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b.\)
2. Các tính chất: Cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\), ta có:
  • \({\log _a}a = 1,\,\,\,{\log _a}1 = 0\)
  • \({a^{{{\log }_a}b}} = b,\,\,\,{\log _a}({a^\alpha }) = \alpha \)
3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương \(a,\,\,{b_1},\,\,{b_2}\) với \(a \ne 1\), ta có \({\log _a}({b_1}.{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\)
4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương \(a,\,\,{b_1},\,\,{b_2}\) với \(a \ne 1\), ta có
  • \({\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\)
  • Đặc biệt : với \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\) \({\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b\)
5. Lôgarit của lũy thừa: Cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\), với mọi \(\alpha \), ta có
  • \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)
  • Đặc biệt: \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\)
6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) với \(a \ne 1,c \ne 1\), ta có
  • \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\)
  • Đặc biệt : \({\log _a}c = \frac{1}{{{{\log }_c}a}}\) và \({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\) với \(\alpha \ne 0\).
  • Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên
  • Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết : \({\log _{10}}b = \log b = \lg b\)
  • Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e\) . Viết : \({\log _e}b = \ln b\)
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
  1. Tính giá trị biểu thức
  2. Rút gọn biểu thức
  3. So sánh hai biểu thức
  4. Biểu diễn giá trị logarit qua một hay nhiều giá trị logarit khác
C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Tính giá trị của một biểu thức chứa logarit
Ví dụ :
Cho \(a > 0,a \ne 1\), giá trị của biểu thức \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}\) bằng bao nhiêu ?
A. 16
B. 4
C. 8
D. 2
Ví dụ : Giá trị của biểu thức \(A = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 - {\log _2}15 - {\log _2}150\) bằng:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

2. Tính giá trị của biểu thức Logarit theo các biểu thức logarit đã cho
Ví dụ: Cho ${\log _2}\left( 5 \right) = a;\,{\log _3}\left( 5 \right) = b.$. Khi đó ${\log _6}5$ tính theo a và b là
A. $\frac{1}{{a + b}}$
B. $\frac{{a.b}}{{a + b}}$
C. a + b
D. ${a^2} + {b^2}$

3. Tìm các khẳng định đúng trong các biểu thức logarit đã cho.
Ví dụ: Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa điều kiện \({a^2} + {b^2} = 7ab\) .Khẳng định nào sau đây đúng:
A. $3\log \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)$
B. $\log (a + b) = \frac{3}{2}(\log a + \log b)$
C. $2(\log a + {\mathop{\rm logb}\nolimits} ) = log(7{\rm{a}}b)$
D. $\log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}(\log a + \log b)$

4. So sánh lôgarit với một số hoặc lôgarit với nhau
Ví dụ: Trong 4 số \({3^{{{\log }_3}4}};\,{3^{2{{\log }_3}2}};\,\,{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}};\,\,{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\) số nào nhỏ hơn 1
A. \({3^{{{\log }_3}4}}\)
B. \({3^{2{{\log }_3}2}}\)
C. \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}}\)
D.\({\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu
1. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _2}(2x - 1)\) xác định?
A.\(x \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
B.\(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\).
C.\(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
D.\(x \in ( - 1; + \infty )\).
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow 2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\) . Ta chọn đáp án A
Câu 2. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(f(x) = \ln (4 - {x^2})\) xác định?
A.\(x \in ( - 2;2)\).
B.\(x \in {\rm{[}} - 2;2]\).
C.\(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} - 2;2]\).
D.\(x \in \mathbb{R}\backslash ( - 2;2)\).
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow 4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \in ( - 2;2)\) . Ta chọn đáp án A
Câu 3. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{x - 1}}{{3 + x}}\) xác định?
A.\(x \in {\rm{[}} - 3;1]\).
B.\(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} - 3;1]\).
C.\(x \in \mathbb{R}\backslash ( - 3;1)\).
D.\(x \in ( - 3;1)\).
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{3 + x}} > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 3) \cup (1; + \infty )\) . Ta chọn đáp án B
Câu 4. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức: $f(x) = {\log _6}(2x - {x^2})$ xác định?
A. $0 < x < 2$.
B. $x > 2$.
C. $ - 1 < x < 1$.
D. $x < 3$.
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow 2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \in (0;2)\) . Ta chọn đáp án
A.
Câu 5. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức: $f(x) = {\log _5}({x^3} - {x^2} - 2x)$ xác định?
A. $x \in (0;1)$. B $x \in (1; + \infty )$.
C.$x \in ( - 1;0) \cup (2; + \infty )$.
D. $x \in (0;2) \cup (4; + \infty )$.
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow x \in ( - 1;0) \cup (2; + \infty )\). Ta chọn đáp án
C.
Câu 6. Cho \(a > 0,a \ne 1\), giá trị của biểu thức \(A = {a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}\) bằng bao nhiêu?
A.8.
B.16.
C.4.
D.2.
Ta có \(A = {a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{{{\log }_{{a^{1/2}}}}4}} = {a^{2{{\log }_a}4}} = {a^{{{\log }_a}16}} = 16\) . Ta chọn đáp án B
Câu 7. Giá trị của biểu thức \(B = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 - {\log _2}15 - {\log _2}150\) bằng bao nhiêu?
A.5.
B.2.
C.4.
D.3.
Ta nhập vào máy tính biểu thức \(2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 - {\log _2}15 - {\log _2}150\), bấm =, được kết quả \(B = 3\)
Ta chọn đáp án D
Câu 8. Giá trị của biểu thức $P = 22{\log _2}12 + 3{\log _2}5 - {\log _2}15 - {\log _2}150$ bằng bao nhiêu?
A. 2 .
B. 3.
C. 4 .
D. 5.
+Tự luận
$\begin{array}{l}P = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 - {\log _2}15 - {\log _2}150 = {\log _2}{12^2} + {\log _2}{5^3} - {\log _2}(15.150)\\ = lo{g_2}\frac{{{{12}^2}{{.5}^3}}}{{15.150}} = 3\end{array}$
Đáp án B.
+Trắc nghiệm: Nhập biểu thức vào máy tính và nhấn calc ta thu được kết quả bằng 3.
Câu 9. Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(D = {\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
A.3.
B.\(\frac{1}{3}\).
C.\( - 3\).
D.\( - \frac{1}{3}\).
Ta có \(D = {\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\) . Ta chọn đáp án B
Câu 10. Giá trị của biểu thức \(C = \frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}\) bằng bao nhiêu ?
A.\( - 2\).
B.2.
C.\( - \frac{1}{2}\).
D.\(\frac{1}{2}\).
Ta nhập vào máy tính biểu thức: \(\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}\) bấm = , được kết quả \(C = - 2\). Ta chọn đáp án A
Câu 11. Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(E = {a^{4{{\log }_{{a^2}}}5}}\) có giá trị bằng bao nhiêu?
A.\(5\).
B.\(625\).
C.\(25\).
D.\({5^8}\).
Ta có \(E = {a^{4{{\log }_{{a^2}}}5}} = {a^{\frac{4}{2}{{\log }_a}5}} = {a^{{{\log }_a}25}} = 25\) . Ta chọn đáp án C
Câu 12. Trong các số sau, số nào lớn nhất?
A.\({\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {\frac{5}{6}} \).
B.\({\log _3}\frac{5}{6}\).
C.\({\log _{\frac{1}{3}}}\frac{6}{5}\).
D.\({\log _3}\frac{6}{5}\).
+ Tự luận: Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh
Ta thấy \({\log _3}\frac{6}{5} > {\log _3}\frac{5}{6} = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{6}{5} = {\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {\frac{5}{6}} \).Ta chọn đáp án D
+ Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, lấy 1 số bất kỳ trừ đi lần lượt các số còn lại, nếu kết quả \( > 0\) thì giữ nguyên số bị trừ và thay đổi số trừ là số mới; nếu kết quả \( < 0\) thì đổi số trừ thành số bị trừ và thay số trừ là số còn lại; lặp lại đến khi có kết quả.
Câu 13. Trong các số sau, số nào nhỏ nhất ?
A.\({\log _5}\frac{1}{{12}}\).
B.\({\log _{\frac{1}{5}}}9\).
C.\({\log _{\frac{1}{5}}}17\).
D.\({\log _5}\frac{1}{{15}}\).
+ Tự luận : Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh
Ta thấy \({\log _{\frac{1}{5}}}17 < {\log _{\frac{1}{5}}}15 = {\log _5}\frac{1}{{15}} < {\log _{\frac{1}{5}}}12 = {\log _5}\frac{1}{{12}} < {\log _{\frac{1}{5}}}9\).Ta chọn đáp án
C.
+ Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, lấy 1 số bất kỳ trừ đi lần lượt các số còn lại, nếu kết quả \( < 0\) thì giữ nguyên số bị trừ và thay đổi số trừ là số mới; nếu kết quả \( > 0\) thì đổi số trừ thành số bị trừ và thay số trừ là số còn lại; lặp lại đến khi có kết quả.
Câu 14. Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(A = {(\ln a + {\log _a}e)^2} + {\ln ^2}a - \log _a^2e\) có giá trị bằng
A.\(2{\ln ^2}a + 2\).
B.\(4\ln a + 2\).
C.\(2{\ln ^2}a - 2\).
D.\({\ln ^2}a + 2\).
+Tự luận :
Ta có \(A = {\ln ^2}a + 2\ln a.{\log _a}e + \log _a^2e + {\ln ^2}a - \log _a^2e = 2{\ln ^2}a + 2\ln e = 2{\ln ^2}a + 2\). Ta chọn đáp án A
+Trắc nghiệm : Sử dung máy tính, Thay \(a = 2\) rồi lấy biểu thức đã cho trừ đi lần lượt các biểu thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.
Câu 15. Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(B = 2\ln a + 3{\log _a}e - \frac{3}{{\ln a}} - \frac{2}{{{{\log }_a}e}}\) có giá trị bằng
A.\(4\ln a + 6{\log _a}4\).
B.\(4\ln a\).
C.\(3\ln a - \frac{3}{{{{\log }_a}e}}\).
D.\(6{\log _a}e\).
+Tự luận :
Ta có \(B = 2\ln a + 3{\log _a}e - 3{\log _a}e - 2\ln a = 0 = 3\ln a - \frac{3}{{{{\log }_a}e}}\). Ta chọn đáp án C
+Trắc nghiệm : Sử dung máy tính, Thay \(a = 2\) rồi lấy biểu thức đã cho trừ đi lần lượt các biểu thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.
Câu 16. Cho \(a > 0,b > 0\), nếu viết ${\log _3}{\left( {\sqrt[5]{{{a^3}b}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{5}{\log _3}a + \frac{y}{{15}}{\log _3}b$ thì \(x + y\) bằng bao nhiêu?
A.3.
B.5.
C.2.
D.4.
Ta có: ${\log _3}{\left( {\sqrt[5]{{{a^3}b}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {\log _3}{({a^3}b)^{\frac{2}{{15}}}} = \frac{2}{5}{\log _3}a + \frac{2}{{15}}{\log _3}b \Rightarrow x + y = 4$. Ta chọn đáp án D
Câu 17. Cho \(a > 0,b > 0\), nếu viết \({\log _5}{\left( {\frac{{{a^{10}}}}{{\sqrt[6]{{{b^5}}}}}} \right)^{ - 0,2}} = x{\log _5}a + y{\log _5}b\) thì \(xy\) bằng bao nhiêu ?
A.\(3\).
B.\(\frac{1}{3}\).
C.\( - \frac{1}{3}\).
D.\( - 3\).
Ta có : \({\log _5}{\left( {\frac{{{a^{10}}}}{{\sqrt[6]{{{b^5}}}}}} \right)^{ - 0,2}} = {\log _5}({a^{ - 2}}.{b^{\frac{1}{6}}}) = - 2{\log _5}a + \frac{1}{6}{\log _5}b \Rightarrow x.y = - \frac{1}{3}\). Ta chọn đáp án C
Câu 18. Cho \({\log _3}x = 3{\log _3}2 + {\log _9}25 - {\log _{\sqrt 3 }}3\). Khi đó giá trị của \(x\)là :
A.\(\frac{{200}}{3}\).
B. \(\frac{{40}}{9}\).
C.\(\frac{{20}}{3}\).
D.$\frac{{25}}{9}$.
Ta có: ${\log _3}x = {\log _3}8 + {\log _3}5 - {\log _3}9 = {\log _3}\frac{{40}}{9} \Rightarrow x = \frac{{40}}{9}$. Ta chọn đáp án B
Câu 19. Cho \({\log _7}\frac{1}{x} = 2{\log _7}a - 6{\log _{49}}b\). Khi đó giá trị của \(x\) là :
A.\(2a - 6b\).
B.$x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}$.
C.$x = {a^2}{b^3}$.
D.$x = \frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}$.
Ta có: \({\log _7}\frac{1}{x} = 2{\log _7}a - 6{\log _{49}}b = {\log _7}{a^2} - {\log _7}{b^3} = {\log _7}\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} \Rightarrow x = \frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}\). Ta chọn đáp án D
Câu 20. Cho $a,b,c > 0;a \ne 1$ và số $\alpha \in \mathbb{R}$, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \({\log _a}{a^c} = c\).
B. \({\log _a}a = 1\).
C. \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\).
D. \({\log _a}(b - c) = {\log _a}b - {\log _a}c\).
Câu D sai, vì không có tính chất về logarit của một hiệu
Câu 21. Cho $a,b,c > 0;a \ne 1$, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\).
B. \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\).
C. \({\log _{{a^c}}}b = c{\log _a}b\).
D. \({\log _a}(b.c) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
câu C sai, vì ${\log _{{a^c}}}b = \frac{1}{c}{\log _a}b$
Câu 22. Cho $a,b,c > 0$và $a,b \ne 1$, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \({a^{{{\log }_a}b}} = b\).
B. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\).
C. \({\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\).
D. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
câu D sai, vì khẳng định đó chỉ đúng khi \(a > 1\), còn khi \(0 < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\)
Câu 23. Cho $a,b,c > 0$ và $a > 1$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \({\log _a}b < {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).
B. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
C. \({\log _a}b > c \Leftrightarrow b > c\).
D. \({a^b} > {a^c} \Leftrightarrow b > c\).
câu C sai, vì \({\log _a}b > c \Leftrightarrow b > {a^c}\)
Câu 24. Cho $a,b,c > 0$ và $a < 1$.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).
D. \({a^{\sqrt 2 }} < {a^{\sqrt 3 }}\).
C. \({\log _a}b < {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
D. \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1\).
câu D sai, vì \(\sqrt 2 < \sqrt 3 \Rightarrow {a^{\sqrt 2 }} > {a^{\sqrt 3 }}\,\,(do\,\,0 < a < 1)\)
Câu 25. Số thực a thỏa điều kiện ${\log _3}({\log _2}a) = 0$ là:
A. $\frac{1}{3}$.
B. 3.
C. $\frac{1}{2}$.
D. 2.
Ta có ${\log _3}({\log _2}a) = 0 \Rightarrow {\log _2}a = 1 \Rightarrow a = 2$. Ta chọn đáp án D
Câu 26. Biết các logarit sau đều có nghĩa. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\).
B. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\)
C. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).
D. \({\log _a}b + {\log _a}c < 0 \Leftrightarrow b + c < 0\).
Đáp án A đúng với mọi \(a,b,c\)khi các logarit có nghĩa
Câu 27. Cho $a,b,c > 0$ và $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. \({\log _a}(bc) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
B. \({\log _a}(\frac{b}{c}) = {\log _a}b - {\log _a}c\).
C. \({\log _a}b = c \Leftrightarrow b = {a^c}\).
D. \({\log _a}(b + c) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
Đáp án D sai, vì không có logarit của 1 tổng.
Câu 28. Số thực \(x\) thỏa mãn điều kiện ${\log _2}x + {\log _4}x + {\log _8}x = 11$ là :.
A. 64.
B. ${2^{\frac{{11}}{6}}}$.
C.8.
D. 4.
Sử dụng máy tính và dùng phím CALC : nhập biểu thức ${\log _2}X + {\log _4}X + {\log _8}X - 1$ vào máy và gán lần lượt các giá trị của x để chọn đáp án đúng. Với \(x = 64\) thì kquả bằng 0. Ta chọn D là đáp án đúng.
Câu 29. Số thực \(x\) thỏa mãn điều kiện ${\log _x}2\sqrt[3]{2} = 4$ là
A. $\sqrt[3]{2}$.
B. $\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$
C.4.
D. 2.
Sử dụng máy tính và dùng phím CALC : nhập biểu thức ${\log _x}2\sqrt[3]{2} - 4$ vào máy và gán lần lượt các giá trị của x để chọn đáp án đúng. Với .. thì kquả bằng 0. Ta chọn A là đáp án đúng.
Câu 30. Cho \(a,b > 0\) và $a,b \ne 1$. Biểu thức $P = {\log _{\sqrt a }}{b^2} + \frac{2}{{{{\log }_{\frac{a}{{{b^2}}}}}a}}$ có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 6.
B.3.
C.4.
D.2.
+Tự luận : Ta có $P = {\log _{\sqrt a }}{b^2} + \frac{2}{{{{\log }_{\frac{a}{{{b^2}}}}}a}} = 4{\log _a}b + 2{\log _a}\frac{a}{{{b^2}}} = 2$. Ta chọn đáp án
A.
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay \(a = b = 2\), rồi nhập biểu thức ${\log _{\sqrt a }}{b^2} + \frac{2}{{{{\log }_{\frac{a}{{{b^2}}}}}a}}$ vào máy bấm =, được kết quả \(P = 2\). Ta chọn đáp án
D.
Câu 31. Cho \(a,b > 0\)và $a,b \ne 1$, biểu thức $P = {\log _{\sqrt a }}{b^3}.{\log _b}{a^4}$ có giá trị bằng bao nhiêu?
A.6.
B.24.
C.12.
D. 18.
+ Tự luận : Ta có $P = {\log _{\sqrt a }}{b^3}.{\log _b}{a^4} = 2.3.4 = 24$. Ta chọn đáp án
A.
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính Casio, Thay \(a = b = 2\), rồi nhập biểu thức ${\log _{\sqrt a }}{b^3}.{\log _b}{a^4}$ vào máy bấm =, được kết quả \(P = 24\). Ta chọn đáp án
B.
Câu 32. Giá trị của biểu thức ${4^{3{{\log }_8}3 + 2{{\log }_{16}}5}}$ là:
A. 20.
B.40.
C. 45.
D. 25 .
+ Tự luận : ${4^{3{{\log }_8}3 + 2{{\log }_{16}}5}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}3}}{{.2}^{{{\log }_2}\sqrt 5 }}} \right)^2} = 45$
+ Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, rồi nhập biểu thức ${4^{3{{\log }_8}3 + 2{{\log }_{16}}5}}$vào máy, bấm =, được kết quả bằng 45. Ta chọn đáp án C
Câu 33. Giá trị của biểu thức $P = {\log _a}\left( {{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}} \right)$ là
A. $\frac{{53}}{{30}}$.
B. $\frac{{37}}{{10}}$.
C.20.
D. $\frac{1}{{15}}$.
+Tự luận : ${\log _a}\left( {{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}} \right) = {\log _a}{a^{\frac{{37}}{{10}}}} = \frac{{37}}{{10}}$
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, Thay \(a = 2\), rồi nhập biểu thức ${\log _a}\left( {{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}} \right)$ vào máy bấm =, được kết quả \(P = \frac{{37}}{{10}}\). Ta chọn đáp án
B.
Câu 34. Giá trị của biểu thức $A = {\log _3}2.{\log _4}3.{\log _5}4...{\log _{16}}15$ là:
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{3}{4}$.
C. $1$.
D. $\frac{1}{4}$.
+Tự luận : $A = {\log _{16}}15.{\log _{15}}14...{\log _5}4.{\log _4}3.{\log _3}2 = {\log _{16}}2 = \frac{1}{4}$
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính Casio, rồi nhập biểu thức ${\log _3}2.{\log _4}3.{\log _5}4...{\log _{16}}15$ vào máy bấm =, được kết quả \(A = \frac{1}{4}\). Ta chọn đáp án
D.
Câu 35. Giá trị của biểu thức ${\log _{\frac{1}{a}}}\left( {\frac{{{a^3}\sqrt[3]{{{a^2}}}\sqrt[5]{{{a^3}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}} \right)$ là:.
A. $\frac{1}{5}$.
B. $\frac{3}{4}$.
C.$ - \frac{{211}}{{60}}$.
D. $\frac{{91}}{{60}}$.
+Tự luận : ${\log _{\frac{1}{a}}}\left( {\frac{{{a^3}\sqrt[3]{{{a^2}}}\sqrt[5]{{{a^3}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}} \right) = - {\log _a}{a^{\frac{{91}}{{60}}}} = - \frac{{91}}{{60}}$
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, Thay \(a = 2\), rồi nhập biểu thức ${\log _{\frac{1}{a}}}\left( {\frac{{{a^3}\sqrt[3]{{{a^2}}}\sqrt[5]{{{a^3}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}} \right)$ vào máy bấm =, được kết quả $ - \frac{{211}}{{60}}$. Ta chọn đáp án
C.
Câu 36. Trong 2 số ${\log _3}2$ và ${\log _2}3$, số nào lớn hơn 1?.
A. ${\log _2}3$.
B. ${\log _3}2$.
C. Cả hai số .
D. Đáp án khác.
Ta có: ${\log _3}2 < {\log _3}3 = 1,{\rm{ }}{\log _2}3 > {\log _2}2 = 1$
Câu 37. Cho 2 số ${\log _{1999}}2000$ và ${\log _{2000}}2001$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$.
B. Hai số trên nhỏ hơn 1.
C. Hai số trên lớn hơn 2.
D. ${\log _{1999}}2000 \ge {\log _{2000}}2001$.
${2000^2} > 1999.2001 \Rightarrow {\log _{2000}}{2000^2} > {\log _{2000}}2001.1999$
$ \Rightarrow 2 > {\log _{2000}}2001 + {\log _{2000}}1999 \Rightarrow {\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$
Câu 38. Các số ${\log _3}2$ , ${\log _2}3$, ${\log _3}11$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:
A. ${\log _3}2,{\rm{ }}{\log _3}11,{\rm{ }}{\log _2}3$.
B. ${\log _3}2,{\rm{ }}{\log _2}3,{\rm{ }}{\log _3}11$.
C. ${\log _2}3,{\rm{ }}{\log _3}2,{\rm{ }}{\log _3}11$.
D. ${\rm{ }}{\log _3}11,{\rm{ }}{\log _3}2,{\rm{ }}{\log _2}3$.
Ta có ${\log _3}2 < {\log _3}{\rm{3 = 1 = lo}}{{\rm{g}}_2}{\rm{2 < }}{\log _2}3 < {\log _3}11$
Câu 39. Số thực \(x\) thỏa mãn điều kiện ${\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3$ là:
A. $5$.
B. $ - 25$.
C. $25$.
D. $ - 3$.
${\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 2 = {3^3} \Leftrightarrow x = 25$
Câu 40. Số thực \(x\) thỏa mãn điều kiện ${\log _3}x + {\log _9}x = \frac{3}{2}$ là :
A. $ - 3$.
B. $25$.
C. $3$.
D. $9$.
${\log _3}x + {\log _9}x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _3}x + \frac{1}{2}{\log _3}x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = 3$
Câu 41. Cho ${\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$. Giá trị của \(x\) tính theo \(a,b\) là:
A. $ab$.
B. ${a^4}b$.
C. ${a^4}{b^7}$.
D. ${b^7}$.
Ta có \(4{\log _3}a + 7{\log _3}b = {\log _3}({a^4}{b^7}) \Rightarrow x = {a^4}{b^7}\). Ta chọn đáp án
C.
Câu 42. Cho ${\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 1 + {\log _2}xy{\rm{ }}\left( {xy > 0} \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
A. x > y.
B. x = y.
C. x D. $x = {y^2}$.
Ta có: ${\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 1 + {\log _2}xy \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\log _2}2xy \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2{\rm{x}}y \Leftrightarrow x = y$
Câu 43. Cho ${\log _{\frac{1}{4}}}\left( {y - x} \right) - {\log _4}\frac{1}{y}{\rm{ = 1 }}\left( {y > 0,y > x} \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. 3x = 4y.
B. $x = - \frac{3}{4}y$.
C. $x = \frac{3}{4}y$.
D. 3x = - 4y.
${\log _{\frac{1}{4}}}\left( {y - x} \right) - {\log _4}\frac{1}{y}{\rm{ = 1}} \Leftrightarrow {\log _4}\frac{y}{{y - x}} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}y$
Câu 44. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.${\log _a}{x^2} = 2{\log _a}x{\rm{ }}\left( {{x^2} > 0} \right)$.
B.${\log _a}xy = {\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|{\rm{ }}$.
C.${\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y{\rm{ }}\left( {xy > 0} \right)$.
D.${\log _a}xy = {\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|{\rm{ }}\left( {xy > 0} \right)$.
Do $\left| x \right|,{\rm{ }}\left| y \right| > 0 \Rightarrow {\log _a}xy = {\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|{\rm{ }}$, ta chọn đáp án
D.
Câu 45. Cho \(x,\,y > 0\) và ${x^2} + 4{y^2} = 12xy$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. ${\log _2}\left( {\frac{{x + 2y}}{4}} \right) = {\log _2}x - {\log _2}y$.
B. \({\log _2}(x + 2y) = 2 + \frac{1}{2}({\log _2}x + {\log _2}y)\).
C.\({\log _2}(x + 2y) = {\log _2}x + {\log _2}y + 1\).
D. \(4{\log _2}(x + 2y) = {\log _2}x + {\log _2}y\).
Ta có : Chọn B là đáp án đúng, vì
$\begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} = 12xy \Leftrightarrow {(x + 2y)^2} = 16{\rm{x}}y \Leftrightarrow {\log _2}{(x + 2y)^2} = {\log _2}16{\rm{x}}y\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}(x + 2y) = 4 + {\log _2}x + {\log _2}y \Leftrightarrow {\log _2}(x + 2y) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)\end{array}$
Câu 46. Cho \(a,b > 0\) và ${a^2} + {b^2} = 7ab$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.\(2\log (a + b) = \log a + \log b\).
B. \(4\log \left( {\frac{{a + b}}{6}} \right) = \log a + \log b\).
C. \(\log \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = \frac{1}{2}(\log a + \log b)\).
D. \(\log \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = 3(\log a + \log b)\).
Ta có: Chọn C là đáp án đúng, vì
$\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 9ab \Leftrightarrow \log {(a + b)^2} = \log 9ab\\ \Leftrightarrow 2\log (a + b) = \log 9 + \log a + \log b \Leftrightarrow \log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}(\log a + \log b)\end{array}$
Câu 47. Cho \({\log _2}6 = a\). Khi đó giá trị của \({\log _3}18\) được tính theo a là:
A. a.
B.\(\frac{a}{{a + 1}}\).
C. 2a + 3.
D.\(\frac{{2a - 1}}{{a - 1}}\).
+Tự luận : Ta có : \(a = {\log _2}6 = {\log _2}(2.3) = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _3}2 = \frac{1}{{a - 1}}\)
Suy ra \({\log _3}18 = {\log _3}({2.3^2}) = {\log _3}2 + 2 = \frac{1}{{a - 1}} + 2 = \frac{{2a - 1}}{{a - 1}}\). Ta chọn đáp án
A.
+Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán \({\log _2}6\) cho A
Lấy \({\log _3}18\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 48. Cho \({\log _2}5 = a\). Khi đó giá trị của \({\log _4}1250\) được tính theo a là :
A.\(\frac{{1 - 4a}}{2}\) .
B. 2(1 + 4a).
C. 1 + 4a.
D.\(\frac{{1 + 4a}}{2}\).
+Tự luận : Ta có : \({\log _4}1250 = {\log _{{2^2}}}({2.5^4}) = \frac{1}{2}{\log _2}({2.5^4}) = \frac{1}{2} + 2{\log _2}5 = \frac{{1 + 4a}}{2}\). Ta chọn đáp án
A.
+Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán \({\log _2}5\) cho A
Lấy \({\log _4}1250\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 49. Biết ${\log _7}2 = m$, khi đó giá trị của ${\log _{49}}28$ được tính theo \(m\) là:
A. $\frac{{m + 2}}{4}$.
B.$\frac{{1 + m}}{2}$.
C.$\frac{{1 + 4m}}{2}$.
D. $\frac{{1 + 2m}}{2}$.
Sử dụng máy tính: gán \({\log _7}2\) cho A
Lấy \({\log _{49}}28\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 50. Biết$a = {\log _2}5,\,b = {\log _5}3$; khi đó giá trị của ${\log _{10}}15$được tính theo a là:
A.$\frac{{a + b}}{{a + 1}}$.
B.$\frac{{ab + 1}}{{a + 1}}$.
C.$\frac{{ab - 1}}{{a + 1}}$.
D. $\frac{{a(b + 1)}}{{a + 1}}$.
Sử dụng máy tính: gán lần lượt \({\log _2}5;{\rm{ }}{\log _5}3\) cho A, B
Lấy \({\log _{10}}15\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 51. Cho \(a = {\log _3}15;b = {\log _3}10\). Khi đó giá trị của \({\log _{\sqrt 3 }}50\) được tính theo \(a,b\) là :
A. 2(a - b - 1).
B. 2(a + b - 1).
C. 2(a + b + 1).
D. 2(a - b + 1).
+Tự luận : Ta có : \(a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5) = 1 + {\log _3}5 \Rightarrow {\log _3}5 = a - 1\).
Khi đó : \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 2{\log _3}(5.10) = 2({\log _3}5 + {\log _3}10) = 2(a - 1 + b)\) Ta chọn đáp án
B.
+Trắc nghiệm
Sử dụng máy tính: gán lần lượt \({\log _3}15;{\log _3}10\) cho A,
B.
Lấy \({\log _{\sqrt 3 }}50\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án B
Câu 52. Biết ${\log _5}3 = a$, khi đó giá trị của ${\log _{15}}75$được tính theo a là:
A.$\frac{{2 + a}}{{1 + a}}$.
B.$\frac{{1 + 2a}}{{a + 1}}$.
C.$\frac{{1 + a}}{{2 + a}}$.
D.$2$.
Sử dụng máy tính: Gán \({\log _5}3\) cho A
Lấy \({\log _{15}}75\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án A
Câu 53. Biết ${\log _4}7 = a$, khi đó giá trị của ${\log _2}7$ được tính theo a là:
A.$2a$.
B.$\frac{1}{2}a$.
C.$\frac{1}{4}a$.
D.$4a$.
Ta có:${\log _2}7 = 2.\frac{1}{2}{\log _2}7 = 2{\log _4}7 = 2a$. Ta chọn đáp án A
Câu 54. Biết ${\log _5}3 = a$, khi đó giá trị của ${\log _3}\frac{{27}}{{25}}$ được tính theo a là:
A.$\frac{3}{{2a}}$.
B.$\frac{{3a}}{2}$.
C.$\frac{{3a - 2}}{a}$.
D.$\frac{a}{{3a - 2}}$.
Ta có: ${\log _3}\frac{{27}}{{25}} = {\log _3}27 - {\log _3}25 = 3 - 2{\log _3}5 = 3 - \frac{2}{a} = \frac{{3{\rm{a}} - 2}}{a}$. Ta chọn đáp án
C.
Câu 55. Biết $a = {\log _2}5,b = {\log _5}3$. Khi đó giá trị của ${\log _{24}}15$ được tính theo a là :
A.$\frac{{ab + 1}}{b}$.
B.$\frac{{ab + 1}}{{a + 1}}$.
C.$\frac{{b + 1}}{{a + 1}}$.
D.$\frac{{a(b + 1)}}{{3 + ab}}$.
Sử dụng máy tính: Gán lần lượt ${\log _2}5;{\log _5}3$ cho A, B
Lấy \({\log _{24}}15\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án
D.
Câu 56. Cho ${\log _{12}}27 = a$. Khi đó giá trị của ${\log _6}16$ được tính theo a là:
A. $\frac{{4\left( {3 + a} \right)}}{{3 - a}}$.
B.$\frac{{4\left( {3 - a} \right)}}{{3 + a}}$.
C. $\frac{{4a}}{{3 - a}}$.
D. $\frac{{2a}}{{3 + a}}$.
Ta có: $a = {\log _{12}}27 = \frac{{{{\log }_2}27}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{3{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}} \Rightarrow {\log _2}3 = \frac{{2{\rm{a}}}}{{3 - a}} \Rightarrow {\log _6}16 = \frac{{4\left( {3 - a} \right)}}{{3 + a}}$
Câu 57. Cho $\lg 3 = a,{\rm{ }}\lg 2 = b$. Khi đó giá trị của ${\log _{125}}30$ được tính theo a là:
A. $\frac{{1 + a}}{{3\left( {1 - b} \right)}}$.
B. $\frac{{4\left( {3 - a} \right)}}{{3 - b}}$.
C. $\frac{a}{{3 + b}}$.
D. $\frac{a}{{3 + a}}$.
Ta có: ${\log _{125}}30 = \frac{{\lg 30}}{{\lg 125}} = \frac{{1 + \lg 3}}{{3\left( {1 - \lg 2} \right)}} = \frac{{1 + a}}{{3\left( {1 - b} \right)}}$
Câu 58. Cho ${\log _a}b = \sqrt 3 $ . Giá trị của biểu thức $A = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt a }}$ được tính theo a là:
A.$ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$.
C. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$
D. $ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.
Ta có : ${\log _a}b = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt b }}{a} = {a^{\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1}} = {a^\alpha } \Rightarrow \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt a }} = {a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}\alpha }} \Rightarrow A = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Câu 59. Cho ${\log _{27}}5 = a,{\rm{ lo}}{{\rm{g}}_8}7 = b,{\rm{ lo}}{{\rm{g}}_2}3 = c$. Giá trị của ${\log _6}35$ được tính theo \(a,b,c\) là:
A. $\frac{{ac}}{{1 - c}}$.
B. $\frac{{ac}}{{1 + b}}$.
C. $\frac{{3\left( {{\rm{a}}c + b} \right)}}{{1 + c}}$.
D. $\frac{{3ac + 3b}}{{3 + a}}$.
Ta có ${\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\rm{ }}{\log _3}5 = 3a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _3}7 = \frac{{3b}}{c} \Rightarrow {\log _2}5 = 3ac$
$ \Rightarrow {\log _6}35 = \frac{{3\left( {{\rm{a}}c + b} \right)}}{{1 + c}}$
Câu 60. Cho $x = 2000!$. Giá trị của biểu thức $A = \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{2000}}x}}$ là:
A.$1$.
B. $ - 1$.
C. $\frac{1}{5}$.
D. $2000$.
Ta có: $A = {\log _x}2 + {\log _x}3 + ... + {\log _x}2000 = {\log _x}\left( {1.2.3...2000} \right) = {\log _x}x = 1$
Câu 61. Biết$a = {\log _7}12,b = {\log _{12}}24$. Khi đó giá trị của ${\log _{54}}168$ được tính theo a là:
D.$\frac{{a(8 - 5b)}}{{1 + ab - a}}$.
B.$\frac{{ab + 1 - a}}{{a(8 - 5b)}}$.
C.$\frac{{a(8 - 5b)}}{{1 + ab}}$.
A.$\frac{{ab + 1}}{{a(8 - 5b)}}$.
Sử dụng máy tính: Gán lần lượt ${\log _7}12;{\log _{12}}24$ cho A, B
Lấy \({\log _{54}}168\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 62. Biết ${\log _a}b = 2,{\log _a}c = - 3$. Khi đó giá trị của bieeur thức ${\log _a}\frac{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{b^3}}}{{{c^4}}}$ bằng:
A. 20.
B. -2/3.
C.- 1.
D. 1,5.
Ta có ${\log _a}\frac{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{b^3}}}{{{c^4}}} = {\log _a}{a^2} + {\log _a}{b^3} - {\log _a}{c^4} = 2 + 3.2 - 4.( - 3) = 20$. Ta chọn đáp án
A.
Câu 63. Biết ${\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 4$. Khi đó giá trị của biểu thức ${\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{b}{c^2}} \right)$ bằng:
A.$ - \frac{{16\sqrt 3 }}{3}$.
B. - 5.
C. - 16.
D. - 48.
Ta có ${\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{b}{c^2}} \right) = 2{\log _a}a + \frac{1}{3}{\log _a}b + 2{\log _a}c = 2 + \frac{1}{3}.3 + 2.( - 4) = - 5$. Ta chọn đáp án
B.
Câu 64. Rút gọn biểu thức $A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}$, ta được kết quả là:
A. $\frac{{37}}{{10}}$.
B. $\frac{{35}}{{10}}$.
C. $\frac{3}{{10}}$.
D. $\frac{1}{{10}}$.
Thay a = c, rồi sử dụng máy tính sẽ được kết quả A = 37/10. Ta chọn đáp án
A.
Câu 65. Rút gọn biểu thức $B = {\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}$, ta được kết quả là :
A. $ - \frac{{91}}{{60}}$.
B. $\frac{{60}}{{91}}$.
C. $\frac{{16}}{5}$.
D. $ - \frac{5}{{16}}$.
Thay \(a = e\), rồi sử dụng máy tínhsẽ được kết quả \(B = - \frac{{91}}{{60}}\). Ta chọn đáp án A
Câu 66. Biết$a = {\log _2}5,b = {\log _3}5$. Khi đó giá trị của ${\log _6}5$ được tính theo \(a,b\) là :
A.$\frac{{ab}}{{a + b}}$.
B.$\frac{1}{{a + b}}$.
C.$a + b$.
D.${a^2} + {b^2}$.
Ta có: ${\log _6}5 = \frac{1}{{{{\log }_5}6}} = \frac{1}{{{{\log }_5}(2.3)}} = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}} = \frac{{{{\log }_2}5.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}5 + {{\log }_3}5}} = \frac{{ab}}{{a + b}}$
Câu 67. Cho \(a = {\log _2}3;b = {\log _3}5;c = {\log _7}2\). Khi đó giá trị của biểu thức \({\log _{140}}63\) được tính theo \(a,b,c\) là:
A.\(\frac{{2ac - 1}}{{abc + 2c + 1}}\).
B.\(\frac{{abc + 2c + 1}}{{2ac + 1}}\).
C.\(\frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\).
D. \(\frac{{ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\).
Sử dụng máy tính: gán lần lượt \({\log _2}3;{\log _3}5;{\log _7}2\) cho A, B, C
Lấy \({\log _{140}}63\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án C
Câu 68. Cho \(a = {\log _5}2;b = {\log _5}3\). Khi đó giá trị của \({\log _5}72\) được tính theo \(a,b\) là :
A. 3a + 2b.
B.\({a^3} + {b^2}\).
C. 3a – 2b.
D. 6ab.
Sử dụng máy tính: gán lần lượt \({\log _5}2;{\log _5}3\) cho A, B
Lấy \({\log _5}72\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
D. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án A
Câu 69. Biết$a = {\log _{12}}18,b = {\log _{24}}54$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.$ab + 5(a - b) = - 1$.
B.$5ab + a + b = 1$.
C.$ab + 5(a - b) = 1$.
D.$5ab + a - b = 0$.
Sử dụng máy tính Casio, gán lần lượt ${\log _{12}}18;{\log _{24}}54$ cho A và
B.
Với đáp án C nhập vào máy : \(AB + 5(A - B) - 1\), ta được kết quả bằng \(0\). Vậy C là đáp án đúng
Câu 70. Biết ${\log _3}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_2}y} \right)} \right) = 0$, khi đó giá trị của biểu thức \(A = 2y + 1\) là:
A.33.
B. 17.
C. 65.
D. 133.
Vì ${\log _3}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_2}y} \right)} \right) = 0$ nên ${\log _4}({\log _2}y) = 1 \Rightarrow {\log _2}y = 4 \Rightarrow y = {2^4} \Rightarrow 2y + 1 = 33$.
Đáp án A.
Câu 71. Cho ${\log _5}x > 0$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.${\log _x}5 \le {\log _x}4$.
B.${\log _x}5 > {\log _x}6$.
C.${\log _5}x = {\log _x}5{\rm{ }}$.
D.${\log _5}x > {\log _6}x$.
Vì ${\log _5}x > 0 \Rightarrow x > 1$ . Khi đó ${\log _5}x > {\log _6}x$. Chọn đáp án
D.
Câu 72. Cho $0 < x < 1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.$\sqrt[3]{{{{\log }_x}5}} + \sqrt[3]{{{{\log }_{\frac{1}{2}}}5}} < 0$
B. $\sqrt[3]{{{{\log }_x}5}} > \sqrt {{{\log }_x}\frac{1}{2}} $
C.$\sqrt {{{\log }_x}\frac{1}{2}} < {\log _5}\frac{1}{2}.$
D. $\sqrt {{{\log }_x}\frac{1}{2}} .\sqrt[3]{{{{\log }_x}5}} > 0$
Sử dụng máy tính Casio, Chọn $x = 0,5$ và thay vào từng đáp án, ta được đáp án
A.
Câu 73. Trong bốn số ${3^{{{\log }_3}4}},\,\,{3^{2{{\log }_3}2}},\,\,{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}},\,\,{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}$số nào nhỏ hơn 1?
A. ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}$.
B. ${3^{2{{\log }_3}2}}$.
C. ${3^{{{\log }_3}4}}$.
D. ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}}$.
+Tự luận:
Ta có: ${3^{{{\log }_3}4}} = 4;{3^{2{{\log }_3}2}} = {3^{{{\log }_3}4}} = 4;\,\,{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {2^{ - 2{{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{5^{ - 2}}}} = {5^{ - 2}} = \frac{1}{{25}}\,$,
${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}} = {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{ - {{\log }_2}2}} = {2^{{{\log }_2}{2^4}}} = {2^4} = 16$.
Chọn : Đáp án D.
Trắc nghiệm: nhập vào máy tính từng biểu thức tính kết quả, chọn kết quả nhỏ hơn 1.
Câu 74. Gọi $M = {3^{{{\log }_{0,5}}4}}{\rm{ ; N = }}{{\rm{3}}^{{{\log }_{0,5}}13}}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. M < 1 < N.
B. N < M < 1.
C. M < N < 1.
D. N < 1 < M.
+Tự luận:
Ta có ${\log _{0,5}}13 < {\log _{0,5}}4 < 0 \Rightarrow {3^{{{\log }_{0,5}}13}} < {3^{{{\log }_{0,5}}4}} < 1 \Rightarrow N < M < 1$.
Chọn : Đáp án B.
+ Trắc nghiệm: Nhập các biểu thức vào máy tính, tính kết quả rồi so sánh, ta thấy đáp án B đúng.
Câu 75. Biểu thức ${\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}} \right) + {\log _2}\left( {\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)$ có giá trị bằng:
A. -2.
B. -1.
C.1.
D.${\log _2}\sqrt 3 - 1$.
Ta có ${\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}} \right) + {\log _2}\left( {\cos \frac{\pi }{{12}}} \right) = {\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right) = {\log _2}\left( {\sin \frac{\pi }{6}} \right) = {\log _2}\frac{1}{2} = - 1$
Chọn: Đáp án B.
Câu 76. Với giá trị nào của \(m\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _{\sqrt 5 }}(x - m)\) xác định với mọi \(x \in ( - 3; + \infty )\)?
A.\(m > - 3\).
B.\(m < - 3\).
C.\(m \le - 3\).
D.\(m \ge - 3\).
Biểu thức \(f(x)\) xác định $ \Leftrightarrow $ \(x - m > 0 \Leftrightarrow x > m\).
Để \(f(x)\) xác định với mọi \(x \in ( - 3; + \infty )\) thì \(m \le - 3\) Ta chọn đáp án C.
Câu 77. Với giá trị nào của \(m\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x)(x + 2m)\) xác định với mọi \(x \in {\rm{[}} - 4;2]\)?
A.\(m \ge 2\).
B.\(m \ge \frac{3}{2}\).
C.m > 2 .
D.\(m \ge - 1\).
Thay \(m = 2\) vào điều kiện \((3 - x)(x + 2m) > 0\) ta được \((3 - x)(x + 4) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - 4;3)\) mà \({\rm{[}} - 4;2] \not\subset ( - 4;3)\) nên các đáp án B, A, D loại. Ta chọn đáp án đúng là
C.
Câu 78. Với giá trị nào của \(m\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _3}\sqrt {(m - x)(x - 3m)} \) xác định với mọi \(x \in ( - 5;4]\)?
A.\(m \ne 0\).
B.\(m > \frac{4}{3}\).
C.\(m < - \frac{5}{3}\).
D.\(m \in \emptyset \).
- Thay \(m = 2\) vào điều kiện \((m - x)(x - 3m) > 0\) ta được \((2 - x)(x - 6) > 0 \Leftrightarrow x \in (2;6)\) mà \(( - 5;4] \not\subset (2;6)\) nên các đáp án B, A loại.
- Thay \(m = - 2\) vào điều kiện\((m - x)(x - 3m) > 0\) ta được \(( - 2 - x)(x + 6) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - 6; - 2)\) mà \(( - 5;4] \not\subset ( - 6; - 2)\) nên các đáp án C loại. Do đó Ta chọn đáp án đúng là D
Câu 79. Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn: ${a^{{{\log }_3}7}} = 27,{b^{{{\log }_7}11}} = 49,{c^{{{\log }_{11}}25}} = \sqrt {11} $. Giá trị của biểu thức $A = {a^{{{({{\log }_3}7)}^2}}} + {b^{^{{{({{\log }_7}11)}^2}}}} + {c^{^{{{({{\log }_{11}}25)}^2}}}}$là:
A. 519.
B.729.
C. 469.
D.129.
Ta có
$\begin{array}{l}{\left( {{a^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {{b^{{{\log }_7}11}}} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {{c^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{^{{{\log }_{11}}25}}} = {27^{{{\log }_3}7}} + {49^{{{\log }_7}11}} + {\left( {\sqrt {11} } \right)^{{{\log }_{11}}25}}\\ = {7^3} + {11^2} + {25^{\frac{1}{2}}} = 469\end{array}$
Suy ra : Đáp án C.
Câu 80. Kết quả rút gọn của biểu thức \(C = \sqrt {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 2} \left( {{{\log }_a}b - {{\log }_{ab}}b} \right)\sqrt {{{\log }_a}b} \) là:
A.$\sqrt[3]{{{{\log }_a}b}}$.
B. \(.\sqrt {{{\log }_a}b} \).
C.\({\left( {\sqrt {{{\log }_a}b} } \right)^3}\).
D.${\log _a}b$.
\(C = \sqrt {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 2} \left( {{{\log }_a}b - {{\log }_{ab}}b} \right)\sqrt {{{\log }_a}b} \)
\( = \sqrt {\frac{{{{\left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}^2}}}{{\log _a^2b}}} \left( {{{\log }_a}b - \frac{{{{\log }_a}b}}{{1 + {{\log }_a}b}}} \right)\sqrt {{{\log }_a}b} = \frac{{\left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}}{{{{\log }_a}b}}\left( {\frac{{\log _a^2b}}{{1 + {{\log }_a}b}}} \right)\sqrt {{{\log }_a}b} = {\left( {\sqrt {{{\log }_a}b} } \right)^3}\)
 
Sửa lần cuối: