Toán 12 Chuyên đề nguyên hàm

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT


1. Nguyên hàm
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x ∈ K.
Định lí:
1) Nếu là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng \(F\left( x \right) + C\), với C là một hằng số.
Do đó \(F\left( x \right) + C,C \in \mathbb{R}\) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}} = F\left( x \right) + C} \).

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
\({\left( {\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} } \right)^\prime } = f\left( x \right)\) và \(\int {f'\left( x \right)d{\rm{x}} = f\left( x \right)} + C\)
Tính chất 2: \(\int {kf\left( x \right)d{\rm{x}}} = k\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) với K là hằng số khác 0.
Tính chất 3: \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}} = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \pm \int {g\left( x \right)d{\rm{x}}} \)

3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp \(\left( {u = u\left( x \right)} \right)\)
\(\int {d{\rm{x}} = x + C} \) \(\int {d{\rm{u}} = u + C} \)
\(\int {{x^\alpha }d{\rm{x}} = \frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)} \) \(\int {{u^\alpha }d{\rm{u}} = \frac{1}{{\alpha + 1}}{u^{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)} \)
\(\int {\frac{1}{x}d{\rm{x}} = \ln \left| x \right|} + C\) \(\int {\frac{1}{u}d{\rm{u}} = \ln \left| u \right|} + C\)
\(\int {{e^x}d{\rm{x}} = {e^x} + C} \) \(\int {{e^u}d{\rm{u}} = {e^u} + C} \)
\(\int {{a^x}d{\rm{x}} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {a > 0,a \ne 1} \right)} \) \(\int {{a^u}d{\rm{u}} = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\left( {a > 0,a \ne 1} \right)} \)
\(\int {\sin x{\rm{dx}} = - \cos {\rm{x}} + C} \) \(\int {\sin u{\rm{du}} = - \cos {\rm{u}} + C} \)
\(\int {\cos {\rm{xdx}} = \sin x + C} \) \(\int {\cos {\rm{udu}} = \sin u + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}d{\rm{x}} = \tan x + C} \) F(x)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}d{\rm{x}} = - \cot x + C} \) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}d{\rm{u}} = - \cot u + C} \)

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1:
Nếu \(\int {f\left( u \right)du = F\left( u \right) + C} \) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
\(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)d{\rm{x}} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C} \)
Hệ quả: Nếu \(u = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) thì ta có\(\int {f\left( {ax + b} \right)d{\rm{x}} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right)} + C\)

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2:
Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên K thì
\(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)d{\rm{x}} = u\left( x \right)v\left( x \right) - } \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)d{\rm{x}}} \)
Hay \(\int {u{\rm{d}}v = uv - \int {v{\rm{d}}u} } \)
KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2\) là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x + C\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{3} + 3{x^2} + 2x + C\).
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x + C\).
D. \(F\left( x \right) = 3{x^2} + 3x + C\).
Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 2. Hàm số \(F\left( x \right) = 5{x^3} + 4{x^2} - 7x + 120 + C\) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. \(f\left( x \right) = 15{x^2} + 8x - 7\).
B. \(f\left( x \right) = 5{x^2} + 4x + 7\).
C. \(f\left( x \right) = \frac{{5{x^2}}}{4} + \frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{7{x^2}}}{2}\).
D. \(f\left( x \right) = 5{x^2} + 4x - 7\).
Lấy đạo hàm của hàm số F(x) ta được kết quả.
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: $y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}$là
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\).
B. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C$.
C. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C$.
D. $F\left( x \right) = 2x - 3 - \frac{1}{{{x^2}}} + C$.
Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
C. \(F\left( x \right) = 2x + 3 + C\).
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
\(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\). Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 5. Nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{5 - 2x}} + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}\) là hàm số nào?
A. \(F\left( x \right) = - \ln \left| {5 - 2x} \right| + 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{x} + C\).
B. \(F\left( x \right) = - \ln \left| {5 - 2x} \right| + 2\ln \left| x \right| + \frac{3}{x} + C\).
C. \(F\left( x \right) = \ln \left| {5 - 2x} \right| + 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{x} + C\).
D. \(F\left( x \right) = - \ln \left| {5 - 2x} \right| - 2\ln \left| x \right| + \frac{3}{x} + C\).
Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 6. Hãy chọn mệnh đề đúng
A. \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} \left( {0 < a \ne 1} \right)\).
B. \(\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C,\forall \alpha \in R\).
C. \(\int {f(x).g(x)dx = \int {f(x)dx.} } \int {g(x)dx} \).
D. \(\int {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}dx = \frac{{\int {f(x)dx} }}{{\int {g(x)dx} }}} \).
A đúng. B sai vì thiếu điều kiện \(\alpha \not = - 1\); C, D sai vì không có tính chất.
Câu 7. Hàm số \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 3 + \frac{1}{x}\) có nguyên hàm là
A. \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
B. \(F(x) = {x^4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
C. \(F(x) = 3{x^2} - 2x - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
D. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
\(F(x) = \int {({x^3} - {x^2} + 3 + \frac{1}{x})dx} = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\)
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁ C
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
B. \(\int {f(x).dx = \sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{6}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
\(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\int {\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)d\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = } } \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C\).
Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}\).
A. \(\int {f(x)dx = - \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} + C\).
B. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} + C\).
C. \(\int {f(x)dx = \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} + C\).
D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} + C\).
\(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}} = \int {\frac{{d\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}} = - \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + C\).
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x.\cos x\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C} \).
B. \(\int {f(x)dx = - \frac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
\(\int {{{\sin }^3}x.\cos x.dx = \int {{{\sin }^3}x.d(\sin x) = \frac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C} } \).
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\cos ^2}x.\sin x\).
A. \(\int {f(x)dx = - \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} \).
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
\(\int {{{\cos }^2}x\sin xdx = - \int {co{s^2}xd(\cos x) = - \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} } \)
Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x.\cos 2x.dx\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{ - 2{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C} \).
B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{6}\cos 3x + \frac{1}{2}\sin x + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{6}\cos 3x - \frac{1}{2}\sin x + C} \).
\(\int {\sin x.\cos 2xdx} = \int {\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\sin xdx} = - \int {\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)d\left( {\cos x} \right)} = \frac{{ - 2{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C\)
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin x.\cos 3x\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{2}} \cos 2x - \frac{1}{4}\cos 4x + C\).
B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{2}} \cos 2x + \frac{1}{4}\cos 4x + C\).
C. \(\int {f(x)dx = 2{{\cos }^4}x + 3{{\cos }^2}x + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = 3{{\cos }^4}x - 3{{\cos }^2}x + C} \).
$\int {2\sin x.\cos 3xdx} = \int {\left( {\sin 4x - \sin 2x} \right)dx} = \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{4}\cos 4x + C$.
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x.\sin 3x\).
A. $\int {f(x)dx = \frac{3}{8}\left( {\frac{{\sin 2x}}{2} - \frac{{\sin 4x}}{4}} \right) - \frac{1}{8}\left( {x - \frac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C} $.
B. $\int {f(x)dx = \frac{3}{8}\left( {\frac{{\sin 2x}}{2} - \frac{{\sin 4x}}{4}} \right) + \frac{1}{8}\left( {x - \frac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C} $.
C. $\int {f(x)dx = \frac{1}{8}\left( {\frac{{\sin 2x}}{2} - \frac{{\sin 4x}}{4}} \right) - \frac{3}{8}\left( {x - \frac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C} $.
D. $\int {f(x)dx = \frac{3}{8}\left( {\frac{{\sin 2x}}{2} + \frac{{\sin 4x}}{4}} \right) - \frac{1}{8}\left( {x + \frac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C} $.
\(\begin{array}{l}\int {{{\sin }^3}x.\sin 3xdx} = \int {\frac{{3\sin x - \sin 3x}}{4}.\sin 3xdx} \\ = \frac{3}{8}\int {2\sin x.\sin 3xdx} - \frac{1}{8}\int {2{{\sin }^2}3xdx} = \frac{3}{8}\int {\left( {\cos 2x - \cos 4x} \right)dx} - \frac{1}{8}\int {\left( {1 - \cos 6x} \right)dx} \\ = \frac{3}{8}\left( {\frac{{\sin 2x}}{2} - \frac{{\sin 4x}}{4}} \right) - \frac{1}{8}\left( {x - \frac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C\end{array}\)
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x.\cos 3x + {\cos ^3}x.\sin 3x\).
A. $\int {f(x)dx = \frac{{ - 3}}{{16}}\cos 4x + C} $.
B. $\int {f(x)dx = \frac{3}{{16}}\cos 4x + C} $.
C. $\int {f(x)dx = \frac{{ - 3}}{{16}}\sin 4x + C} $.
D. $\int {f(x)dx = \frac{3}{{16}}\sin 4x + C} $.
\(\int {\left( {{{\sin }^3}x.\cos 3x + {{\cos }^3}x.\sin 3x} \right).} dx\)\( = \int {\left( {\frac{{3\sin x - \sin 3x}}{4}.\cos 3x + \frac{{\cos 3x + 3\cos x}}{4}.\sin 3x} \right)dx} \) \( = \int {\left( {\frac{3}{4}\sin x.\cos 3x - \sin 3x.\cos 3x + \frac{3}{4}\sin 3x.\cos x + \sin 3x.\cos 3x} \right)dx} \) \( = \frac{3}{4}\int {\left( {\sin x.\cos 3x + \sin 3x.\cos x} \right)dx} = \frac{3}{4}\int {\sin 4xdx} = \frac{{ - 3}}{{16}}\cos 4x + C\)
Câu 16. Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2}\) biết \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).
A. \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + \frac{1}{2}\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin x}}{2} + \frac{3}{2}\).
C. \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin x}}{2} + \frac{1}{2}\).
D. \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin x}}{2} + \frac{5}{2}\).
• \(F(x) = \int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\int {\left( {1 - \cos x} \right)dx} } = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\sin x + C\)
• \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{2} + C = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\)
4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}{.3^{ - 2{\rm{x}}}}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 - \ln 9}} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\frac{9}{2}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 - \ln 9}} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 - \ln 9}} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 + \ln 9}} + C\).
\(\int {{2^x}{{.3}^{ - 2{\rm{x}}}}d{\rm{x}} = \int {{{\left( {\frac{2}{9}} \right)}^x}d{\rm{x}} = } } {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 - \ln 9}} + C\)
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số\(f(x) = {e^x}(3 + {e^{ - x}})\) là
A. \(F(x) = 3{e^x} + x + C\).
B. \(F(x) = 3{e^x} + {e^x}\ln {e^x} + C\).
C. \(F(x) = 3{e^x} - \frac{1}{{{e^x}}} + C\).
D. \(F(x) = 3{e^x} - x + C\).
\(F(x) = \int {{e^x}(3 + {e^{ - x}})} dx = \int {(3{e^x} + 1)dx = 3{e^x}} + x + C\)
Câu 19. Hàm số \(F\left( x \right) = 7{e^x} - \tan x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {7 - \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\).
B. \(f\left( x \right) = 7{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
C. \(f\left( x \right) = 7{e^x} + {\tan ^2}x - 1\).
D. \(f\left( x \right) = 7\left( {{e^x} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\).
Ta có \(g'(x) = 7{e^x} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {e^x}(7 - \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}) = f(x)\)
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {{e^{4{\rm{x}} - 2}}} \).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}} - 1}} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}} - 1}} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}{e^{4{\rm{x}} - 2}} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{e^{2{\rm{x}} - 1}}} + C\).
\(\int {\sqrt {{e^{4{\rm{x}} - 2}}} d{\rm{x}}} = \int {{e^{2{\rm{x}} - 1}}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}} - 1}} + C\).
Câu 21. Hàm số\(f(x) = {e^x}\left( {\ln 2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{si{n^2}x}}} \right)\) có họ nguyên hàm là
A. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 - \cot x + C\).
B. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 + \cot x + C\).
C. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + C\).
D. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + C\).
$\int {f(x)} dx = \int {\left( {{e^x}\ln 2 + \frac{1}{{si{n^2}x}}} \right)} dx = {e^x}\ln 2 - \cot x + C$
Câu 22. Hàm số \(f(x) = {3^x} - {2^x}{.3^x}\) có nguyên hàm bằng
A. \(\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\).
B. ...
C. \(\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{{{3^x}{{.2}^x}}}{{\ln 6}} + C\).
D. $\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{{{6^x}}}{{\ln 3.\ln 2}} + C$.
\(\int {f(x)dx = } \int {\left( {{3^x} + {6^x}} \right)} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\)
Câu 23. Một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {({e^{ - x}} + {e^x})^2}\) thỏa mãn điều kiện \(F(0) = 1\) là
A. \(F(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + 1\).
B. \(F(x) = - 2{e^{ - 2x}} + 2{e^{2x}} + 2x + 1\).
C. \(F(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x\).
D. \(F(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - 1\).
Ta có\(F(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + C,F(0) = 1 \Leftrightarrow C = 1\)
Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
A. $F\left( x \right) = 2{\rm{x}} - 3\ln \left| {x + 1} \right| + C$.
B. \(F\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3\ln \left| {x + 1} \right| + C\).
C. \(F\left( x \right) = 2{\rm{x}} - \ln \left| {x + 1} \right| + C\).
D. \(F\left( x \right) = 2{\rm{x + }}\ln \left| {x + 1} \right| + C\).
\(\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {2 - \frac{3}{{x + 1}}} \right)d{\rm{x}}} = 2{\rm{x}} - 3\ln \left| {x + 1} \right| + C\)
Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}}{{2x + 1}}\).
A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \frac{5}{4}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + 5\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
C. \(F\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
D. \(F\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} - \ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
$\int {\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 3}}{{2{\rm{x}} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {\frac{{2x + 1}}{2} + \frac{5}{{2\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \frac{5}{4}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C$
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}\).
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
C. \(F\left( x \right) = {x^2} - \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
D. \(F\left( x \right) = {x^2} + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
\(\int {\frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {x - \frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{{{x^2}}}{2} - \int {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)
Câu 27. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x\ln {\rm{x}} + x}}\).
A. \(F\left( x \right) = \ln \left| {\ln {\rm{x}} + 1} \right| + C\).
B. \(F\left( x \right) = \ln \left| {\ln {\rm{x}} - 1} \right| + C\).
C. \(F\left( x \right) = \ln \left| {{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
D. \(F\left( x \right) = \ln {\rm{x}} + 1 + C\).
\(\int {\frac{1}{{x\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}}d{\rm{x}}} = \int {\frac{{d\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}}} = \ln \left| {\ln {\rm{x}} + 1} \right| + C\)
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{e^{2{\rm{x}}}}}}{{{e^x} + 1}}\).
A. \(F\left( x \right) = {e^x} - \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
B. \(F\left( x \right) = {e^x} + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
C. \(F\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
D. \(F\left( x \right) = {e^{2x}} - {e^x} + C\).
\(\int {\frac{{{e^{2{\rm{x}}}}}}{{{e^x} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {{e^x} - \frac{{{e^{\rm{x}}}}}{{{e^x} + 1}}} \right)d{\rm{x}}} = {e^x} - \int {\frac{{d\left( {{e^{\rm{x}}} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}}} = {e^x} - \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\)
4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
Câu 29. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }}\) là
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }}{2} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 2\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + C\).
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }}d{\rm{x}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} + C} } \).
Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 2\sqrt {3 - x} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \sqrt {3 - x} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt {3 - x} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 3\sqrt {3 - x} + C\).
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}d{\rm{x}} = - \int {\frac{{d\left( {3 - x} \right)}}{{\sqrt {3 - x} }} = - 2\sqrt {3 - x} + C} } \).
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2{\rm{x}} + 1} \).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{1}{3}\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
Đặt \(t = \sqrt {2x + 1} \Rightarrow d{\rm{x}} = t{\rm{d}}t\)
$ \Rightarrow \int {\sqrt {2{\rm{x}} + 1} d{\rm{x = }}\int {{t^2}dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C} = \frac{1}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C} $.
Câu 32. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {5 - 3{\rm{x}}} \).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{2}{9}\left( {5 - 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 - 3{\rm{x}}} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{2}{3}\left( {5 - 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 - 3{\rm{x}}} \).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{9}\left( {5 - 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 - 3{\rm{x}}} \).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{2}{3}\sqrt {5 - 3{\rm{x}}} + C\).
Đặt \(t = \sqrt {5 - 3{\rm{x}}} \Rightarrow d{\rm{x}} = - \frac{{2t{\rm{d}}t}}{3}\)
\(\int {\sqrt {5 - 3{\rm{x}}} d{\rm{x}} = - \frac{2}{9}\left( {5 - 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 - 3{\rm{x}}} + C} \).
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{x - 2}}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{3}{4}\left( {x - 2} \right)\sqrt[3]{{x - 2}} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{3}{4}\left( {x - 2} \right)\sqrt[3]{{x - 2}} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{3}\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} \).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{3}{\left( {x - 2} \right)^{ - \frac{2}{3}}} + C\).
Đặt \(t = \sqrt[3]{{x - 2}} \Rightarrow d{\rm{x}} = 3{t^2}dt\). Khi đó \(\int {\sqrt[3]{{x - 2}}d{\rm{x}} = \frac{3}{4}\left( {x - 2} \right)\sqrt[3]{{x - 2}} + C} \)
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{1 - 3{\rm{x}}}}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{1}{4}\left( {1 - 3{\rm{x}}} \right)\sqrt[3]{{1 - 3{\rm{x}}}} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{3}{4}\left( {1 - 3{\rm{x}}} \right)\sqrt[3]{{1 - 3{\rm{x}}}} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{4}\left( {1 - 3{\rm{x}}} \right)\sqrt[3]{{1 - 3{\rm{x}}}} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - {\left( {1 - 3{\rm{x}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} + C\).
Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - 3{\rm{x}}}} \Rightarrow d{\rm{x}} = - {t^2}dt\). Khi đó \(\int {\sqrt[3]{{1 - 3{\rm{x}}}}d{\rm{x}} = - \frac{1}{4}\left( {1 - 3{\rm{x}}} \right)\sqrt[3]{{1 - 3{\rm{x}}}} + C} \)
Câu 35. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} \).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{3}{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{3\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{2} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{2{e^{\frac{{3{\rm{x}} + 2}}{2}}}}}{{3{\rm{x}} + 2}} + C\)
\(\int {\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} d{\rm{x}} = \frac{2}{3}\int {{e^{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}}}.d\left( {\frac{{3{\rm{x}}}}{2}} \right) = \frac{2}{3}.{e^{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}}} + C = \frac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C} } \)
Câu 36. Hàm số \(F\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt {x + 1} + 2016\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. \(f\left( x \right) = \frac{5}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} \)
B. \(f\left( x \right) = \frac{5}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C\)
C. \(f\left( x \right) = \frac{2}{5}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} \)
D. \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C\)
\(F'\left( x \right) = \frac{5}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} \)
Câu 37. Biết một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }} + 1\) là hàm số F(x) thỏa mãn \(F\left( { - 1} \right) = \frac{2}{3}\). Khi đó F(x) là hàm số nào sau đây?
A. \(F\left( x \right) = x - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3{\rm{x}}} + 3\)
B. \(F\left( x \right) = x - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3{\rm{x}}} - 3\)
C. \(F\left( x \right) = x - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3{\rm{x}}} + 1\)
D. \(F\left( x \right) = 4 - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3{\rm{x}}} \)
\(F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - 3{\rm{x}}} }} + 1} \right)} d{\rm{x}} = - \frac{1}{3}\int {\frac{{d\left( {1 - 3{\rm{x}}} \right)}}{{\sqrt {1 - 3{\rm{x}}} }} + x = x - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3{\rm{x}}} + C} \)
\(F\left( { - 1} \right) = \frac{2}{3} \Rightarrow C = 3 \Rightarrow F\left( x \right) = x - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3{\rm{x}}} + 3\)
Câu 38. Biết \(F(x) = 6\sqrt {1 - x} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{a}{{\sqrt {1 - x} }}\). Khi đó giá trị của \(a\) bằng
A. - 3.
B. 3.
C. \(6\).
D. \(\frac{1}{6}\) .
\(F'(x) = {\left( {6\sqrt {1 - x} } \right)^\prime } = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {1 - x} }}\)\( \Rightarrow a = - 3\)
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt x - 2\ln \left( {1 + \sqrt x } \right) + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt x + 2\ln \left( {1 + \sqrt x } \right) + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \ln \left( {1 + \sqrt x } \right) + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2 + 2\ln \left( {1 + \sqrt x } \right) + C\).
Đặt \(t = 1 + \sqrt x \Rightarrow x = {\left( {t - 1} \right)^2} \Rightarrow dx = 2\left( {t - 1} \right)dt\).
Khi đó \(\int {\frac{1}{{1 + \sqrt x }}d{\rm{x}}} = \int {\frac{{2\left( {t - 1} \right)dt}}{t} = 2\int {\left( {1 - \frac{1}{t}} \right)dt = 2\left( {t - \ln \left| t \right|} \right) + {C_1}} } \)
... (Với \(C = 2 + {C_1}\) và \(1 + \sqrt x > 0\))
Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{3}\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 1} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 1} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{x}{{2\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} }} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \sqrt {x + 1} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + C\).
\(\int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}d{\rm{x}}} = \int {\left( {\sqrt {x + 1} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)d\left( {x + 1} \right) = \frac{2}{3}\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 1} } + C\)
Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {1 - x} }}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{2}{3}\left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 - x} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{3}\left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 - x} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{2}{3}\left( {2x - 1} \right)\sqrt {1 - x} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 2\sqrt {1 - x} + \frac{1}{{\sqrt {1 - x} }} + C\).
\(\begin{array}{l}\int {\frac{{2x - 1}}{{\sqrt {1 - x} }}d{\rm{x}}} = - \int {\left( { - 2\sqrt {1 - x} + \frac{1}{{\sqrt {1 - x} }}} \right)d\left( {1 - x} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{3}{\left( {1 - x} \right)^{\frac{3}{2}}} - 2{\left( {1 - x} \right)^{\frac{1}{2}}} + C = - \frac{2}{3}\left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 - x} + C\end{array}\)
Câu 42. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \frac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{6}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
\(\int {\frac{x}{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} }}d{\rm{x}}} = \frac{1}{6}\int {\frac{{d\left( {3{{\rm{x}}^2} + 2} \right)}}{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} }} = \frac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C} \)
4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 43. Tính \(F(x) = \int {x\sin xdx} \) bằng
A. \(F(x) = \sin x - x\cos x + C\).
B. \(F(x) = x\sin x - \cos x + C\).
C. \(F(x) = \sin x + x\cos x + C\).
D. \(F(x) = x\sin x + \cos x + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) - f(x)\), CALC ngẫu nhiên tại một số điểm \({x_0}\) thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng
phương pháp nguyên hàm từng phần_45.png

Vậy \(F(x) = \sin x - x\cos x + C\).
Câu 44. Tính \(\int {x{{\ln }^2}xdx} \). Chọn kết quả đúng:
A. \(\frac{1}{4}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x - 2\ln x + 1} \right) + C\).
B. \(\frac{1}{2}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x - 2\ln x + 1} \right) + C\).
C. \(\frac{1}{4}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x + 2\ln x + 1} \right) + C\).
D. \(\frac{1}{2}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x + 2\ln x + 1} \right) + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.
Phương pháp trắc nghiệm
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) - f(x) = 0\).
Nhập máy tính \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) - f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:
phương pháp nguyên hàm từng phần_46.png

Do đó \(\int {x{{\ln }^2}xdx} = \frac{1}{2}{x^2}{\ln ^2}x - \frac{1}{2}{x^2}\ln x + \frac{1}{4}{x^2} + C\)=\(\frac{1}{4}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x - 2\ln x + 1} \right) + C\).
Câu 45. Tính \(F(x) = \int x \sin x\cos xdx\). Chọn kết quả đúng:
A. \(F(x) = \frac{1}{8}\sin 2x - \frac{x}{4}\cos 2x + C\).
B. \(F(x) = \frac{1}{4}\cos 2x - \frac{x}{2}\sin 2x + C\).
C. \(F(x) = \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{x}{8}\cos 2x + C\).
D. \(F(x) = \frac{{ - 1}}{4}\sin 2x - \frac{x}{8}\cos 2x + C\).
Phương pháp tự luận: Biến đổi \(\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\) rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) - f(x) = 0\)
Nhập máy tính \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) - f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 46. Tính \(F(x) = \int {x{e^{\frac{x}{3}}}dx} \). Chọn kết quả đúng
A. \(F(x) = 3(x - 3){e^{\frac{x}{3}}} + C\)
B. \(F(x) = (x + 3){e^{\frac{x}{3}}} + C\)
C. \(F(x) = \frac{{x - 3}}{3}{e^{\frac{x}{3}}} + C\)
D. \(F(x) = \frac{{x + 3}}{3}{e^{\frac{x}{3}}} + C\)
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = x,dv = {e^{\frac{x}{3}}}dx\).
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) - f(x) = 0\).
Nhập máy tính \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) - f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 47. Tính \(F(x) = \int {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} \). Chọn kết quả đúng
A. \(F(x) = x\tan x + \ln |\cos x| + C\).
B. \(F(x) = - x\cot x + \ln |\cos x| + C\).
C. \(F(x) = - x\tan x + \ln |\cos x| + C\).
D. \(F(x) = - x\cot x - \ln |\cos x| + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = x,dv = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}dx\)
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) - f(x) = 0\).
Nhập máy tính \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) - f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 48. Tính \(F(x) = \int {{x^2}\cos x} dx\). Chọn kết quả đúng
A. \(F(x) = ({x^2} - 2)\sin x + 2x\cos x + C\).
B. \(F(x) = 2{x^2}\sin x - x\cos x + \sin x + C\).
C. \(F(x) = {x^2}\sin x - 2x\cos x + 2\sin x + C\).
D. \(F(x) = (2x + {x^2})\cos x - x\sin x + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với \(u = {x^2};dv = \cos xdx\), sau đó \({u_1} = x;d{v_1} = \sin xdx\).
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) - f(x) = 0\)
Nhập máy tính \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) - f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 49. Hàm số \(F(x) = x\sin x + \cos x + 2017\) là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. \(f(x) = x\cos x\).
B. \(f(x) = x\sin x\).
C. \(f(x) = - x\cos x\).
D. \(f(x) = - x\sin x\).
Phương pháp tự luận: Tính \(F'(x)\) có kết quả trùng với đáp án chọn.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) - f(x) = 0\)
Nhập máy tính \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) - f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 chọn.
Câu 50. Tính \(\int {\frac{{1 + \ln (x + 1)}}{{{x^2}}}dx} \). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\frac{{ - 1 + \ln (x + 1)}}{x} + \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right| + C\)
B. \( - \frac{{1 + \ln (x + 1)}}{x} + \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right| + C\)
C. \( - \frac{{x + 1}}{x}\left( {1 + \ln (x + 1)} \right) + \ln |x| + C\)
D. \( - \frac{{1 + \ln (x + 1)}}{x} - \ln \left| {x + 1} \right| + \ln \left| x \right| + C\)
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = 1 + \ln (x + 1);dv = - \frac{1}{{{x^2}}}dx\) hoặc biến đổi rồi đặt \(u = \ln (x + 1);dv = = - \frac{1}{{{x^2}}}dx\).
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.
Câu 51. Tính \(F\left( x \right) = \int {(2x - 1){e^{1 - x}}dx} = {e^{1 - x}}(Ax + B) + C\). Giá trị của biểu thức \(A + B\) bằng:
A. - 3 .
B. 3.
C. 0.
D. 5.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.
phương pháp nguyên hàm từng phần_54.png

Do đó \(F(x) = - (2x - 1){e^{1 - x}} - 2{e^{1 - x}} + C = {e^{1 - x}}( - 2x - 1) + C\).
Vậy \(A + B = - 3\).
Câu 52. Tính \(F(x) = \int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}(A\cos x + B\sin x) + C\). Giá trị của biểu thức \(A + B\) bằng
A. 1.
B. -1.
C. 2.
D. -2.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
phương pháp nguyên hàm từng phần_55.png

Do đó \(F(x) = {e^x}\sin x + {e^x}\cos x - F(x) + {C_1}\) hay \(F(x) = \frac{1}{2}\left( {{e^x}\sin x + {e^x}\cos x} \right) + C\).
Vậy \(A + B = 1\).
Câu 53. Tính \(F(x) = \int {2x{{(3x - 2)}^6}dx} = A{(3x - 2)^8} + Bx{(3x - 2)^7} + C\). Giá trị của biểu thức \(12A + 11B\) là
A. 1.
B. -1.
C. \(\frac{{12}}{{11}}\).
D. \( - \frac{{12}}{{11}}\).
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
phương pháp nguyên hàm từng phần_56.png

Do đó \(F(x) = \frac{2}{{21}}x{(3x - 2)^7} - \frac{1}{{252}}{(3x - 2)^8} + C\). Vậy \(12A + 11B = 1\).
Câu 54. Tính \(F(x) = \int {{x^2}\sqrt {x - 1} dx} = a{x^2}(x - 1)\sqrt {x - 1} + bx{(x - 1)^2}\sqrt {x - 1} + c{(x - 1)^3}\sqrt {x - 1} + C\). Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng:
A. \(\frac{2}{7}\)
B. \(\frac{{ - 2}}{7}\)
C. \(\frac{{142}}{{105}}\)
D. \(\frac{{ - 142}}{{105}}\)
Phương pháp tự luận:
Đặt \(u = {x^2},dv = \sqrt {x - 1} dx\) ta được
\(F(x) = \int {{x^2}\sqrt {x - 1} dx} = \frac{2}{3}{x^2}(x - 1)\sqrt {x - 1} - \frac{8}{{15}}x{(x - 1)^2}\sqrt {x - 1} + \frac{{16}}{{105}}{(x - 1)^3}\sqrt {x - 1} + C\)
Vậy \(a + b + c = \frac{{ - 82}}{{105}}\).
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
phương pháp nguyên hàm từng phần_57.png

\(F(x) = \int {{x^2}\sqrt {x - 1} dx} = \frac{2}{3}{x^2}(x - 1)\sqrt {x - 1} - \frac{8}{{15}}x{(x - 1)^2}\sqrt {x - 1} + \frac{{16}}{{105}}{(x - 1)^3}\sqrt {x - 1} + C\)
Vậy \(a + b + c = \frac{2}{7}\).
Câu 55. Tính \(F\left( x \right) = \int {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \). Chọn kết quả đúng:
A. \(F(x) = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} + C\).
B. \(F(x) = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\).
C. \(F(x) = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) + \sqrt {1 + {x^2}} + C\).
D. \(F(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - x\sqrt {1 + {x^2}} + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right);dv = dx\)
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
phương pháp nguyên hàm từng phần_58.png
Câu 56. có đạo hàm \(f'(x) = {x^3}{e^{{x^2}}}\) và đồ thị hàm số \(f(x)\) đi qua gốc tọa độ \(O\). Chọn kết quả đúng:
A. \(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} - \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + \frac{1}{2}\).
B. \(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} + \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} - \frac{1}{2}\).
C. \(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} - \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} - \frac{1}{2}\).
D. \(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} + \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + \frac{1}{2}\).
Phương pháp tự luận: Đặt \(u = {x^2},dv = x{e^{{x^2}}}\) chọn \(du = 2xdx,v = \frac{1}{2}{e^{{x^2}}}\) ta được \(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} - \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C\). Đồ thị đi qua \(O(0;0)\) nên \(C = \frac{1}{2}\).
Phương pháp trắc nghiệm:
phương pháp nguyên hàm từng phần_59.png

\(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} - \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C\). Đồ thị đi qua \(O(0;0)\) nên \(C = \frac{1}{2}\).
Câu 57. Tính \(F(x) = \int {\sqrt {{x^2} - 1} dx} \) bằng:
A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} - 1} - \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right| + C\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} - 1} + \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right| + C\).
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} - 1} - \frac{1}{2}\ln \left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right| + C\).
D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} - 1} + \frac{1}{2}\ln \left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right| + C\).
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) - f(x) = 0\)
Nhập máy tính \(\frac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) - f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Đặt \(u = \sqrt {{x^2} - 1} ,dv = dx\) ta được\(F(x) = x\sqrt {{x^2} - 1} - F(x) - J(x)\)
với \(J(x) = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^1} - 1} }}} \), bằng cách đặt \(u = x + \sqrt {{x^2} - 1} \) ta được \(J(x) = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right| + C\)
Vậy \(F(x) = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} - 1} - \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right| + C\).
 
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...