Các bài toán giải được bằng hằng đẳng thức thường có dạng:
\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e\left( {fx + h} \right)\sqrt {px + q} \)
hoặc \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e\sqrt[3]{{p{x^3} + q{x^2} + rx + s}}\)
Phương pháp chung để giải các bài toán này là:
Đặt \(\sqrt[n]{{f\left( x \right)}} = y\) với \(n = 2\) hoặc \(n = 3\).
Đưa phương trình ban đầu về dạng \(m{\left( {Ax + B} \right)^3} + n\left( {Ax + B} \right) = m{y^3} + ny\)
Ví dụ 1:
a) \(8{x^3} - 36{x^2} + 53x - 25 = \sqrt[3]{{3x - 5}}\)
b) \(8{x^3} - 13{x^2} + 7x = 2\sqrt[3]{{{x^2} + 3x - 3}}\)
c) \(\sqrt[3]{{24x - 11}} - 16x\sqrt {2x - 1} - 1 = 0\).
d) \({x^3} = 6\sqrt[3]{{6x + 4}} + 4\)
e) \({x^3} + 1 = 2\sqrt[3]{{2x - 1}}\)
f) \(\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - x} \right)\sqrt {5 - 2x} \)
Giải:
Những phương trình có dạng: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \left( {ex + h} \right)\sqrt {px + q} \) (1)
Hoặc: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e\sqrt[3]{{p{x^3} + q{x^2} + rx + h}}\) (2)
ta thường giải theo cách:
Đối với (1): Đặt \(\sqrt {px + q} = y\) khi đó $x = \frac{{{y^2} - p}}{q}$
thay vào phương trình ta đưa về dạng: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = A{y^3} + By\).
Sau đó biến đổi phương trình thành: \(A.{\left[ {u(x)} \right]^3} + B.u(x) = A{y^3} + By\)
Đối với (2): Đặt \(g\sqrt[3]{{p{x^3} + q{x^2} + rx + h}} = y\)
sau đó tạo ra hệ tạm:
\(\left\{ \begin{array}{l}a{x^3} + b{x^2} + cx + d = s.y\\{g^3}\left( {p{x^3} + q{x^2} + rx + h} \right) = {y^3}\end{array} \right.\)
cộng hai phương trình ta thu được:
\(A{x^3} + B{x^2} + Cx + D = s.y + {y^3}\) sau đó đưa phương trình về dạng:
\({\left[ {u(x)} \right]^3} + s.\left[ {u(x)} \right] = {y^3} + s.y\)
Ta xét các ví dụ sau:
a) Đặt \(\sqrt[3]{{3x - 5}} = y\) ta có hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}8{x^3} - 36{x^2} + 53x - 25 = y\\3x - 5 = {y^3}\end{array} \right.\) (I)
Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta thu được:
\(8{x^3} - 36{x^2} + 56x - 30 = {y^3} + y\) (*).
Ta nghỉ đến việc biến đổi vế trái thành:
\({\left[ {A(x)} \right]^3} + A(x)\) để phương trình có dạng: \({\left[ {A(x)} \right]^3} + A(x) = {y^3} + y\)
Giả sử: \(8{x^3} - 36{x^2} + 56x - 30 = {(2x + a)^3} + (2x + a)\).
Đồng nhất hệ số của \({x^2} \Rightarrow a = - 3\)
Như vậy phương trình \((*)\) có dạng: ${(2x - 3)^3} + (2x - 3) = {y^3} + y$(1)
Đặt $z = (2x - 3)$. Từ phương trình ta suy ra ${z^3} + z = {y^3} + y$
$({z^3} + z = {y^3} + y \Leftrightarrow \left( {z - y} \right)\left( {{z^2} + zy + {y^2} + 1} \right) = 0.
Do\,({z^2} + zy + {y^2} + 1 = {\left( {z + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{y^2} + 1 > 0,\forall y,z \Rightarrow PT \Leftrightarrow y = z$
\( \Leftrightarrow y = 2x - 3 \Leftrightarrow 8{x^3} - 36{x^2} + 53x - 25 = 2x - 3\)\( \Leftrightarrow 8{x^3} - 36{x^2} + 51x - 22 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 \pm \sqrt 3 }}{4}\\x = 2\end{array} \right.\)
Qua ví dụ trên ta thấy việc chuyển qua hệ tạm (I) giúp ta hình dung bài toán được dễ dàng hơn.
b) Đặt \(\sqrt[3]{{{x^2} + 3x - 3}} = y\) ta thu được hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}8{x^3} - 13{x^2} + 7x = 2y\\{x^2} + 3x - 3 = {y^3}\end{array} \right.\).
Cộng hai phương trình của hệ ta thu được:
\(8{x^3} - 12{x^2} + 10x - 3 = {y^3} + 2y \Leftrightarrow {(2x - 1)^3} + 2(2x - 1) = {y^3} + 2y\) (*)
Đặt \(z = 2x - 1\) ta thu được phương trình:
\({z^3} + 2z = {y^3} + 2y\) \( \Leftrightarrow \left( {z - y} \right)\left( {{z^2} + zy + {y^2} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow z = y \Leftrightarrow y = 2x - 1 \Leftrightarrow 8{x^3} - 13{x^2} + 7x = 4x - 2\)\( \Leftrightarrow 8{x^3} - 13{x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{5 \pm \sqrt {89} }}{{16}}\end{array} \right.\)
c) Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}\).
Ta đặt \(\sqrt {2x - 1} = a \ge 0\)
thì phương trình đã cho trở thành: \(\sqrt[3]{{12{a^2} + 1}} - 8{a^3} - 8a - 1 = 0 \Leftrightarrow 8{a^3} + 8a + 1 = \sqrt[3]{{12{a^2} + 1}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{{12{{\rm{a}}^2} + 1}} = y\)
ta thu được hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}8{a^3} + 8a + 1 = y\\12{a^2} + 1 = {y^3}\end{array} \right.\).
Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta thu được: ${(2a + 1)^3} + (2a + 1) = {y^3} + y$ (*)
Đặt $2a + 1 = z$ ta có: ${z^3} + z = {y^3} + y$.
Tương tự như các bài toán trên ta suy ra \(z = y\).
Theo (*) ta có $ \Leftrightarrow y = 2a + 1 \Rightarrow 8{a^3} + 8a + 1 = 2a + 1 \Leftrightarrow a = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
Kết luận: \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm duy nhất của phương trình:
d) Đặt \(y = \sqrt[3]{{6x + 4}}\)
ta có hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 4 = 6y\\6x + 4 = {y^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^3} + 6x = {y^3} + 6y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\)
Thay vào phương trình ta có: \({x^3} - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1 + \sqrt 3 \\x = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
e) Đặt \(y = \sqrt[3]{{2x - 1}}\) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 1 = 2y\\2x = {y^3} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^3} + 2x = {y^3} + 2y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\)
Suy ra \({x^3} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
f) \(\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - x} \right)\sqrt {5 - 2x} \)
Đặt \(\sqrt {5 - 2x} = y \ge 0 \Rightarrow x = \frac{{5 - {y^2}}}{2}\)
thay vào ta có:
\(\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - \frac{{5 - {y^2}}}{2}} \right)y \Leftrightarrow 8{x^3} + 2x = {y^3} + 2y \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {4{x^2} + 2x.y + {y^2} + 2} \right) = 0\)\(y = 2x \Leftrightarrow 4{x^2} + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\)
Thử lại ta thấy chỉ có \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e\left( {fx + h} \right)\sqrt {px + q} \)
hoặc \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e\sqrt[3]{{p{x^3} + q{x^2} + rx + s}}\)
Phương pháp chung để giải các bài toán này là:
Đặt \(\sqrt[n]{{f\left( x \right)}} = y\) với \(n = 2\) hoặc \(n = 3\).
Đưa phương trình ban đầu về dạng \(m{\left( {Ax + B} \right)^3} + n\left( {Ax + B} \right) = m{y^3} + ny\)
Ví dụ 1:
a) \(8{x^3} - 36{x^2} + 53x - 25 = \sqrt[3]{{3x - 5}}\)
b) \(8{x^3} - 13{x^2} + 7x = 2\sqrt[3]{{{x^2} + 3x - 3}}\)
c) \(\sqrt[3]{{24x - 11}} - 16x\sqrt {2x - 1} - 1 = 0\).
d) \({x^3} = 6\sqrt[3]{{6x + 4}} + 4\)
e) \({x^3} + 1 = 2\sqrt[3]{{2x - 1}}\)
f) \(\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - x} \right)\sqrt {5 - 2x} \)
Giải:
Những phương trình có dạng: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \left( {ex + h} \right)\sqrt {px + q} \) (1)
Hoặc: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = e\sqrt[3]{{p{x^3} + q{x^2} + rx + h}}\) (2)
ta thường giải theo cách:
Đối với (1): Đặt \(\sqrt {px + q} = y\) khi đó $x = \frac{{{y^2} - p}}{q}$
thay vào phương trình ta đưa về dạng: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = A{y^3} + By\).
Sau đó biến đổi phương trình thành: \(A.{\left[ {u(x)} \right]^3} + B.u(x) = A{y^3} + By\)
Đối với (2): Đặt \(g\sqrt[3]{{p{x^3} + q{x^2} + rx + h}} = y\)
sau đó tạo ra hệ tạm:
\(\left\{ \begin{array}{l}a{x^3} + b{x^2} + cx + d = s.y\\{g^3}\left( {p{x^3} + q{x^2} + rx + h} \right) = {y^3}\end{array} \right.\)
cộng hai phương trình ta thu được:
\(A{x^3} + B{x^2} + Cx + D = s.y + {y^3}\) sau đó đưa phương trình về dạng:
\({\left[ {u(x)} \right]^3} + s.\left[ {u(x)} \right] = {y^3} + s.y\)
Ta xét các ví dụ sau:
a) Đặt \(\sqrt[3]{{3x - 5}} = y\) ta có hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}8{x^3} - 36{x^2} + 53x - 25 = y\\3x - 5 = {y^3}\end{array} \right.\) (I)
Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta thu được:
\(8{x^3} - 36{x^2} + 56x - 30 = {y^3} + y\) (*).
Ta nghỉ đến việc biến đổi vế trái thành:
\({\left[ {A(x)} \right]^3} + A(x)\) để phương trình có dạng: \({\left[ {A(x)} \right]^3} + A(x) = {y^3} + y\)
Giả sử: \(8{x^3} - 36{x^2} + 56x - 30 = {(2x + a)^3} + (2x + a)\).
Đồng nhất hệ số của \({x^2} \Rightarrow a = - 3\)
Như vậy phương trình \((*)\) có dạng: ${(2x - 3)^3} + (2x - 3) = {y^3} + y$(1)
Đặt $z = (2x - 3)$. Từ phương trình ta suy ra ${z^3} + z = {y^3} + y$
$({z^3} + z = {y^3} + y \Leftrightarrow \left( {z - y} \right)\left( {{z^2} + zy + {y^2} + 1} \right) = 0.
Do\,({z^2} + zy + {y^2} + 1 = {\left( {z + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{y^2} + 1 > 0,\forall y,z \Rightarrow PT \Leftrightarrow y = z$
\( \Leftrightarrow y = 2x - 3 \Leftrightarrow 8{x^3} - 36{x^2} + 53x - 25 = 2x - 3\)\( \Leftrightarrow 8{x^3} - 36{x^2} + 51x - 22 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 \pm \sqrt 3 }}{4}\\x = 2\end{array} \right.\)
Qua ví dụ trên ta thấy việc chuyển qua hệ tạm (I) giúp ta hình dung bài toán được dễ dàng hơn.
b) Đặt \(\sqrt[3]{{{x^2} + 3x - 3}} = y\) ta thu được hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}8{x^3} - 13{x^2} + 7x = 2y\\{x^2} + 3x - 3 = {y^3}\end{array} \right.\).
Cộng hai phương trình của hệ ta thu được:
\(8{x^3} - 12{x^2} + 10x - 3 = {y^3} + 2y \Leftrightarrow {(2x - 1)^3} + 2(2x - 1) = {y^3} + 2y\) (*)
Đặt \(z = 2x - 1\) ta thu được phương trình:
\({z^3} + 2z = {y^3} + 2y\) \( \Leftrightarrow \left( {z - y} \right)\left( {{z^2} + zy + {y^2} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow z = y \Leftrightarrow y = 2x - 1 \Leftrightarrow 8{x^3} - 13{x^2} + 7x = 4x - 2\)\( \Leftrightarrow 8{x^3} - 13{x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{5 \pm \sqrt {89} }}{{16}}\end{array} \right.\)
c) Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}\).
Ta đặt \(\sqrt {2x - 1} = a \ge 0\)
thì phương trình đã cho trở thành: \(\sqrt[3]{{12{a^2} + 1}} - 8{a^3} - 8a - 1 = 0 \Leftrightarrow 8{a^3} + 8a + 1 = \sqrt[3]{{12{a^2} + 1}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{{12{{\rm{a}}^2} + 1}} = y\)
ta thu được hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}8{a^3} + 8a + 1 = y\\12{a^2} + 1 = {y^3}\end{array} \right.\).
Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta thu được: ${(2a + 1)^3} + (2a + 1) = {y^3} + y$ (*)
Đặt $2a + 1 = z$ ta có: ${z^3} + z = {y^3} + y$.
Tương tự như các bài toán trên ta suy ra \(z = y\).
Theo (*) ta có $ \Leftrightarrow y = 2a + 1 \Rightarrow 8{a^3} + 8a + 1 = 2a + 1 \Leftrightarrow a = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
Kết luận: \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm duy nhất của phương trình:
d) Đặt \(y = \sqrt[3]{{6x + 4}}\)
ta có hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 4 = 6y\\6x + 4 = {y^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^3} + 6x = {y^3} + 6y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\)
Thay vào phương trình ta có: \({x^3} - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1 + \sqrt 3 \\x = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
e) Đặt \(y = \sqrt[3]{{2x - 1}}\) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 1 = 2y\\2x = {y^3} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^3} + 2x = {y^3} + 2y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\)
Suy ra \({x^3} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
f) \(\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - x} \right)\sqrt {5 - 2x} \)
Đặt \(\sqrt {5 - 2x} = y \ge 0 \Rightarrow x = \frac{{5 - {y^2}}}{2}\)
thay vào ta có:
\(\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - \frac{{5 - {y^2}}}{2}} \right)y \Leftrightarrow 8{x^3} + 2x = {y^3} + 2y \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {4{x^2} + 2x.y + {y^2} + 2} \right) = 0\)\(y = 2x \Leftrightarrow 4{x^2} + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\)
Thử lại ta thấy chỉ có \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Sửa lần cuối: