I. Cấu tạo
Con lắc đơn là một cơ hệ gồm:
Theo định luật II Niuton: \(\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{a} (*)\)
Chiếu (*) lên phương trình tiếp tuyến:
\(P_t = ma_t\) với \(\left\{\begin{matrix} P_t = -P\sin \alpha = - mg \sin \alpha \\ a_t = s'' \hspace{3,5cm} \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow -g \sin \alpha = s'' \ (1)\)
Nếu \(\mathbf{\alpha _0 \leq 10^0}\)
\(\Rightarrow \sin \alpha \approx \alpha = \frac{s}{\ell}\)
\(\Rightarrow -g.\frac{s}{\ell} = s'' \Leftrightarrow s'' = -\frac{g}{\ell}.s\)
Đặt \(\omega ^2 = \frac{g}{\ell} \Rightarrow s'' = -\omega ^2.s \ (2)\)
Nghiệm của (2) có dạng
\(s = S_0.\cos (\omega t + \varphi )\)
Vậy dao động bé \((\alpha _0 \leq 10^0)\) của con lắc đơn là dao động điều hòa với chu kỳ \(T = \frac{2 \pi}{\omega } = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
Các phương trình của con lắc đơn dao động điều hòa
+ Phương trình li độ:
+ Phương trình gia tốc: \(a = v' = s''\)
\(\Rightarrow a = -\omega ^2.S_0. \cos (\omega t + \varphi ) = -\omega ^2s\)
III. Năng lượng con lắc đơn dao động điều hòa
• Wđ \(=\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega ^2S_{0}^{2}. \sin^2 (\omega t + \varphi )\)
• Wt \(=\frac{1}{2}m\omega ^2 s^2= \frac{1}{2}m\omega ^2S_{0}^{2}. \cos ^2 (\omega t + \varphi )\)
• W = Wđ + Wt = \(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m \omega ^2 s^2\) = hằng số
Nhận xét: Đối với con lắc đơn dao động điều hòa thì bài tập tương tự con lắc lò xo nếu thay \(s = x; S_0 = A; m\omega ^2 = k\)
Xét năng lượng - vận tốc - lực căng dây trong trường hợp tổng quát
Năng lượng:
Ta có: Wđ + Wt = Wt max
\(\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 + mg\ell (1-\cos \alpha ) = mg \ell (1-\cos \alpha _0)\)
\(\Rightarrow v^2 = 2g\ell (\cos \alpha - \cos \alpha _0)\)
• \(|v|_{max} = \sqrt{2g \ell (1-\cos \alpha _0)}\) (VTCB)
• \(|v|_{min} = 0\) (VT biên)
Lực căng dây: Chiếu (*) lên phương sợi dây, chiều dương hướng tâm: T - Pn = maht
Với \(\left\{\begin{matrix} P_n = P.\cos = mg \cos \alpha \hspace{1,2cm}\\ a_{ht} = \frac{v^2}{\ell } = 2g(\cos \alpha - \cos \alpha _0) \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T = mg\cos \alpha + m.2g(\cos \alpha - \cos \alpha _0)\)
\(\Rightarrow T = mg(3 \cos \alpha - 2\cos \alpha _0)\)
\(\cdot \ T_{max} = mg(3 - 2 \cos \alpha _0) > P\)
\(\cdot \ T_{min} = mg\cos \alpha _0 < P\)
IV. Các dạng bài tập con lắc đơn
Con lắc đơn là một cơ hệ gồm:
- Sợi dây mềm, nhẹ, khối khối lượng, không co dãn có chiều dài ℓ
- một quả cầu khối lượng m, kích thước bỏ qua
Theo định luật II Niuton: \(\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{a} (*)\)
Chiếu (*) lên phương trình tiếp tuyến:
\(P_t = ma_t\) với \(\left\{\begin{matrix} P_t = -P\sin \alpha = - mg \sin \alpha \\ a_t = s'' \hspace{3,5cm} \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow -g \sin \alpha = s'' \ (1)\)
Nếu \(\mathbf{\alpha _0 \leq 10^0}\)
\(\Rightarrow \sin \alpha \approx \alpha = \frac{s}{\ell}\)
\(\Rightarrow -g.\frac{s}{\ell} = s'' \Leftrightarrow s'' = -\frac{g}{\ell}.s\)
Đặt \(\omega ^2 = \frac{g}{\ell} \Rightarrow s'' = -\omega ^2.s \ (2)\)
Nghiệm của (2) có dạng
\(s = S_0.\cos (\omega t + \varphi )\)
Vậy dao động bé \((\alpha _0 \leq 10^0)\) của con lắc đơn là dao động điều hòa với chu kỳ \(T = \frac{2 \pi}{\omega } = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
Các phương trình của con lắc đơn dao động điều hòa
+ Phương trình li độ:
- Dài: \(s = S_0 \cos (\omega t + \varphi )\)
- Góc: \(\alpha = \alpha _0 \cos (\omega t + \varphi )\) \((S_0 = \alpha _0.\ell;\ s = \alpha .\ell)\)
+ Phương trình gia tốc: \(a = v' = s''\)
\(\Rightarrow a = -\omega ^2.S_0. \cos (\omega t + \varphi ) = -\omega ^2s\)
III. Năng lượng con lắc đơn dao động điều hòa
• Wđ \(=\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega ^2S_{0}^{2}. \sin^2 (\omega t + \varphi )\)
• Wt \(=\frac{1}{2}m\omega ^2 s^2= \frac{1}{2}m\omega ^2S_{0}^{2}. \cos ^2 (\omega t + \varphi )\)
• W = Wđ + Wt = \(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m \omega ^2 s^2\) = hằng số
Nhận xét: Đối với con lắc đơn dao động điều hòa thì bài tập tương tự con lắc lò xo nếu thay \(s = x; S_0 = A; m\omega ^2 = k\)
Xét năng lượng - vận tốc - lực căng dây trong trường hợp tổng quát
Năng lượng:
- Động năng con lắc đơn Wđ \(=\frac{1}{2}mv^2\)
- Thế năng con lắc đơn \(W_t = ph = mg\ell (1-\cos \alpha )\)
- Cơ năng con lắc đơn W = Wđ + Wt = \(\frac{1}{2}mv^2 + mg \ell (1 - \cos \alpha )\) (hằng số)
- Động năng cực đại W = Wđ max = \(\frac{1}{2}mv_{max}^{2}\) (VTCB)
- Thế năng cực đại \(W = W_{t \ max} = mg\ell (1 - \cos \alpha _0)\)
Ta có: Wđ + Wt = Wt max
\(\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 + mg\ell (1-\cos \alpha ) = mg \ell (1-\cos \alpha _0)\)
\(\Rightarrow v^2 = 2g\ell (\cos \alpha - \cos \alpha _0)\)
• \(|v|_{max} = \sqrt{2g \ell (1-\cos \alpha _0)}\) (VTCB)
• \(|v|_{min} = 0\) (VT biên)
Lực căng dây: Chiếu (*) lên phương sợi dây, chiều dương hướng tâm: T - Pn = maht
Với \(\left\{\begin{matrix} P_n = P.\cos = mg \cos \alpha \hspace{1,2cm}\\ a_{ht} = \frac{v^2}{\ell } = 2g(\cos \alpha - \cos \alpha _0) \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T = mg\cos \alpha + m.2g(\cos \alpha - \cos \alpha _0)\)
\(\Rightarrow T = mg(3 \cos \alpha - 2\cos \alpha _0)\)
\(\cdot \ T_{max} = mg(3 - 2 \cos \alpha _0) > P\)
\(\cdot \ T_{min} = mg\cos \alpha _0 < P\)
IV. Các dạng bài tập con lắc đơn
Sửa lần cuối: