Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ

Thí dụ 1 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tuỳ ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tính:
a. $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $.$\overrightarrow {MD} $.
b. $\overrightarrow {NA} $.$\overrightarrow {AB} $.
c. $NO$.$\overrightarrow {BA} $.
a. Ta có:
$\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $.$\overrightarrow {MD} $ = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OA} $).($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $) + ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OC} $).($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OD} $)
= 2MO$^2$ + $\overrightarrow {OA} $.$\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $.$\overrightarrow {OD} $ + $\overrightarrow {MO} $($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {OD} $) = $\frac{1}{4}$a$^2$,
bởi OA ⊥ OB, OC ⊥ OD và $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {OD} $ = $\overrightarrow 0 $.

b. Nhận xét rằng B là hình chiếu vuông góc của N lên AB, do đó:
$\overrightarrow {NA} $.$\overrightarrow {AB} $ = $\overline {BA} $.$\overline {AB} $ = -$\overline {AB} $.$\overline {AB} $ = -AB$^2$ = -a$^2$.

c. Gọi K là trung điểm của AB, suy ra M là hình chiếu vuông góc của O lên AB, do đó:
$\overrightarrow {NO} $.$\overrightarrow {BA} $ = $\overline {BK} $.$\overline {BA} $ = $\frac{1}{2}$a.a = $\frac{1}{2}$a$^2$.

Chú ý: Với các bài toán có điều kiện, chúng ta cần vận dụng linh hoạt điều kiện dể nhận được biểu thức cần dùng, cụ thể giả sử bài toán yêu cầu tính:
A = (α$_1$$\overrightarrow a $ + β$_1$$\overrightarrow b $)(α$_2$$\overrightarrow a $ + β$_2$$\overrightarrow b $) biết rằng |$\overrightarrow a $| = a, |$\overrightarrow b $| = b và |$\overrightarrow a $ + $\overrightarrow b $| = c, khi đó ta hiểu rằng:
A = α$_1$α$_2$$\overrightarrow a $$^2$ + β$_1$β$_2$$\overrightarrow b $$^2$ + (α$_1$β$_2$ + α$_2$β$_1$)$\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $
= α$_1$α$_2$a$^2$ + β$_1$β$_2$b$^2$ + (α$_1$β$_2$ + α$_2$β$_1$)$\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $.
Như vậy từ giả thiết ta cần nhận được giá trị của tích $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $, để có được nó ta sử dụng: |$\overrightarrow a $ + $\overrightarrow b $| = c ⇔ ($\overrightarrow a $ + $\overrightarrow b $)$^2$ = c$^2$
⇔ $\overrightarrow a $$^2$ + $\overrightarrow b $$^2$ + 2$\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ = c$^2$ ⇔ $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ = $\frac{1}{2}$(c$^2$ - a$^2$ - b$^2$)
Suy ra: A = α$_1$α$_2$a$^2$ + β$_1$β$_2$b$^2$ + $\frac{1}{2}$(α$_1$β$_2$ + α$_2$β$_1$)(c$^2$ - a$^2$ - b$^2$).

Thí dụ 2 Cho ΔABC có các cạnh bằng a, b, c.
a. Tính $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AC} $ theo a, b, c, từ đó suy ra:
$\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {CA} $ + $\overrightarrow {CA} $$\overrightarrow {AB} $.
b. Gọi M là trung điể BC và G là trọng tâm ΔABC, tính độ dài AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC.
a. Ta có: $\overrightarrow {BC} $ = $\overrightarrow {AC} $ - $\overrightarrow {AB} $. (1)
Bình phương vô hướng hai vế của (1), ta được: $\overrightarrow {BC} $$^2$ = ($\overrightarrow {AC} $ - $\overrightarrow {AB} $)$^2$ ⇒ BC$^2$ = AC$^2$ + AB$^2$ - 2$\overrightarrow {AC} $.$\overrightarrow {AB} $
theo tính giao hoán, ta có: $\overrightarrow {AC} $.$\overrightarrow {AB} $ = $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AC} $. Suy ra: $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AC} $ = $\frac{1}{2}$(AB$^2$ + AC$^2$ - BC$^2$) = $\frac{1}{2}$(b$^2$ + c$^2$ - a$^2$).
Bằng cách tính tương tự, ta được:
$\overrightarrow {BA} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\frac{1}{2}$(a$^2$ + c$^2$ - b$^2$) và $\overrightarrow {CA} $.$\overrightarrow {CB} $ = $\frac{1}{2}$(a$^2$ + b$^2$ - c$^2$).
Từ đó: $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {CA} $ + $\overrightarrow {CA} $$\overrightarrow {AB} $ = -$\overrightarrow {BA} $.$\overrightarrow {BC} $ - $\overrightarrow {CA} $.$\overrightarrow {CB} $ - $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AC} $
= -$\frac{1}{2}$(a$^2$ + c$^2$ - b$^2$) - $\frac{1}{2}$(a$^2$ + b$^2$ - c$^2$) - $\frac{1}{2}$(b$^2$ + c$^2$ - a$^2$)
= -$\frac{1}{2}$(a$^2$ + c$^2$ + b$^2$).

b. Ta có: $\overrightarrow {AM} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $). (2)
Bình phương vô hướng hai vế của (2), ta được:
AM$^2$ = $\frac{1}{4}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $)$^2$ = $\frac{1}{4}$(AB$^2$ + AC$^2$ + 2$\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AC} $)
= $\frac{1}{4}$[c$^2$ + b$^2$ + 2.$\frac{1}{2}$(b$^2$ + c$^2$ - a$^2$)] = $\frac{1}{4}$(2c$^2$ + 2b$^2$ - a$^2$)⇔ AM = $\frac{1}{2}$$\sqrt {2{c^2} + 2{b^2} - {a^2}} $. (*)
Suy ra AG = $\frac{2}{3}$AM = $\frac{2}{3}$.$\frac{1}{2}$$\sqrt {2{c^2} + 2{b^2} - {a^2}} $ = $\frac{1}{3}$$\sqrt {2{c^2} + 2{b^2} - {a^2}} $.

c. Gọi α là góc nhọn tạo bởi AG và BC, khi đó:
|$\overrightarrow {AG} $.$\overrightarrow {BC} $| = |$\overrightarrow {AG} $|.|$\overrightarrow {BC} $|.cosα ⇔ cosα = $\frac{{|\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {BC} |}}{{|\overrightarrow {AG} |.|\overrightarrow {BC} |}}$. (3)
Ta đi tính $\overrightarrow {AG} $.$\overrightarrow {BC} $, bằng cách:
$\overrightarrow {AG} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\frac{1}{3}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $)($\overrightarrow {AC} $ - $\overrightarrow {AB} $) = $\frac{1}{3}$(AC$^2$ - AB$^2$) = $\frac{1}{3}$(b$^2$ - c$^2$). (4)
Thay (4) vào (3), ta được:
cosα = $\frac{{\frac{1}{3}|{b^2} - {c^2}|}}{{\frac{1}{3}\sqrt {2{c^2} + 2{b^2} - {a^2}} .a}}$ = $\frac{{|{b^2} - {c^2}|}}{{a.\sqrt {2{c^2} + 2{b^2} - {a^2}} }}$.

Chú ý: Ta cũng có thể tính $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {CA} $ + $\overrightarrow {CA} $$\overrightarrow {AB} $ bằng cách:
Ta có: $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {CA} $ = $\overrightarrow 0 $. (5)
Bình phương hai vế của (5), ta được: ($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {CA} $)$^2$ = 0
⇔ AB$^2$ + BC$^2$ + CA$^2$ + 2$\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {BC} $ + 2$\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {CA} $ + 2$\overrightarrow {CA} $.$\overrightarrow {AB} $ ⇔ $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {BC} $.$\overrightarrow {CA} $ + $\overrightarrow {CA} $$\overrightarrow {AB} $ = -$\frac{1}{2}$(a$^2$ + c$^2$ + b$^2$).