Dạng 1: Xét dấu các biểu thức

Thí dụ 1. Xét dấu các biểu thức:
a. f(x) = (3x$^2$ - 10x + 3)(4x - 5).
b. f(x) = (3x$^2$ - 4x)(2x$^2$ - x - 1).
c. f(x) = (4x$^2$ - 1)(-8x$^2$ + x - 3)(2x + 9).
a. Ta có bảng xét dấu:
Vậy, ta được:
* f(x) > 0 ⇔ $\frac{1}{3}$ < x < $\frac{5}{4}$ hoặc x > 3.
* f(x) = 0 ⇔ x = $\frac{1}{3}$ hoặc x = $\frac{5}{4}$ hoặc x = 3.
* f(x) < 0 ⇔ x < $\frac{1}{3}$ hoặc $\frac{5}{4}$ < x < 3.

b. Ta có f(x) = (3x$^2$ - 4x)(2x$^2$ - x - 1) = x(3x - 4)(2x$^2$ - x - 1).
Bảng xét dấu:
Vậy, ta được:
* f(x) > 0 ⇔ x < -$\frac{1}{2}$ hoặc 0 < x < 1 hoặc x > $\frac{4}{3}$.
* f(x) = 0 ⇔ x = -$\frac{1}{2}$ hoặc x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = $\frac{4}{3}$.
* f(x) < 0 ⇔ -$\frac{1}{2}$ < x < 0 hoặc 1 < x < $\frac{4}{3}$.

c. Ta có bảng xét dấu:
Vậy, ta được:
* f(x) > 0 ⇔ x < -$\frac{9}{2}$ hoặc -$\frac{1}{2}$ < x < $\frac{1}{2}$.
* f(x) = 0 ⇔ x = -$\frac{9}{2}$ hoặc x = ±$\frac{1}{2}$
* f(x) < 0 ⇔ -$\frac{9}{2}$ < x < -$\frac{1}{2}$ hoặc x > $\frac{1}{2}$.

Thí dụ 2. Xét dấu biểu thức f(x) = mx$^2$ - 2(m - 2)x + m - 3.
a. Ta xét ba khả năng của m
Khả năng 1: Với m = 0, suy ra: f(x) = 0 ⇔ 4x – 3 = 0 ⇔ x = $\frac{3}{4}$.
Khi đó, ta có bảng xét dấu
Khả năng 2: Với m > 0 ta có: Δ' = (m – 2)$^2$ – m(m – 3) = 4 – m.

Khi đó, ta xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu Δ' = 0 ⇔ m = 4, suy ra: f(x) > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$\{$\frac{1}{2}$} và f(x) = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$.
Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0 ⇔ 0 < m < 4, suy ra:
f(x) = 0 ⇔ x1 = $\frac{{m - 2 - \sqrt {4 - m} }}{m}$ và x2 = $\frac{{m - 2 + \sqrt {4 - m} }}{m}$.
Khi đó, ta có bảng xét dấu:
Trường hợp 3: Nếu Δ' < 0 ⇔ m > 4, suy ra f(x) > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
Khả năng 3: Với m < 0 thì Δ' > 4.
Khi đó, ta có bảng xét dấu
Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức