Dạng 2: Lập phương trình đường tròn thoả mãn điều kiện cho trước

Hoc Lop

Administrator
Staff member
#1
Phương pháp thực hiện
Gọi (C) là đường tròn thoả mãn điều kiện đầu bài. Chúng ta lựa chọn phương trình dạng tổng quát hoặc dạng chính tắc.
  • Muốn có phương trình dạng tổng quát, ta lập hệ 3 phương trình với ba ẩn a, b, c, điều kiện a$^2$ + b$^2$ - c ≥ 0.
  • Muốn có phương trình dạng chính tắc, ta lập hệ 3 phương trình với ba ẩn a, b, R, điều kiện R ≥ 0.
Chú ý:
  1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trình thích hợp.
  2. Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình đường tròn.

Thí dụ 1. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a. (C) có tâm I(-2, 3) và đi qua điểm M(2, -3).
b. (C) có tâm I(-1, 2) và tiếp xúc với (d): x - 2y + 7 = 0.
c. (C) có đường kính AB với A(1, 1) và B(7, 5).
a. Vì M thuộc (C) nên: R = IM = $\sqrt {{{(2 + 2)}^2} + {{( - 3 - 3)}^2}} $ = $\sqrt {52} $.
Khi đó, đường tròn (C) với tâm I(-2, 3) và bán kính R = $\sqrt {52} $ có phương trình: (C): (x + 2)$^2$ + (y - 3)$^2$ = 52.

b. Vì (C) tiếp xúc với (d) nên: R = d(I, (d)) = $\frac{{|1.( - 1) - 2.2 + 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ = $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$.
Khi đó, đường tròn (C) với tâm I(-1, 2) và bán kính R = $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$ có phương trình: (C): (x + 1)$^2$ + (y - 2)$^2$ = $\frac{4}{5}$.

c. Đường tròn (C) có đường kính AB, suy ra:
  • Tâm I là trung điểm AB nên I(4, 3).
  • Bán kính R = $\frac{{AB}}{2}$ = $\frac{1}{2}$$\sqrt {{{(7 - 1)}^2} + {{(5 - 1)}^2}} $ = $\sqrt {13} $.
Từ đó, suy ra phương trình của đường tròn (C) có dạng: (C): (x - 4)$^2$ + (y - 3)$^2$ = 13.
Chú ý: Để lập lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C (đường tròn ngoại tiếp ΔABC) ta cân nhắc lựa chọn một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Tổng quát, ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Giả sử đường tròn (C) có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ - 2ax - 2by + c = 0, với a$^2$ + b$^2$ - c ≥ 0. (1)
  • Bước 2: Từ điều kiện A, B, C thuộc (C), ta được hệ 3 phương trình với ba ẩn a, b, c.
Thay a, b, c vào (1) ta được phương trình của (C).
Hướng 2: Dựa trên dạng đặc biệt của ΔABC, tức là:
  1. Nếu ΔABC vuông tại A, thì: (C): $\left\{ \begin{array}{l}tam\,\,I\,\,la\,trung\,diem\,BC\\R = \frac{{BC}}{2}\end{array} \right.$.
  2. Nếu ΔABC đều, cạnh bằng a, thì: (C): $\left\{ \begin{array}{l}tam\,\,I\,\,la\,trong\,tam\,\Delta ABC\\R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$.
Thí dụ 2. Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C, biết A(1, 2), B(5, 2) và C(1, -3).
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp ΔABC có dạng: (C): x$^2$ + y$^2$ - 2ax - 2by + c = 0, với a$^2$ + b$^2$ - c ≥ 0.
Điểm A, B, C∈(C), ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2a + 4b - c = 5\\10a + 4b - c = 29\\2a - 6b - c = 10\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1/2\\c = - 1\end{array} \right.$, thoả mãn điều kiện.
Vậy phương trình đường tròn (C): x$^2$ + y$^2$ - 6x + y - 1 = 0.

Cách 2: Nhận xét rằng AB ⊥ AC ⇔ ΔABC vuông tại A.
Do đó: (C): $\left\{ \begin{array}{l}tam\,\,I\,\,la\,trung\,diem\,BC\\R = \frac{{BC}}{2}\end{array} \right.$ ⇔ (C): $\left\{ \begin{array}{l}tam\,\,I(3,\, - \frac{1}{2})\\R = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\end{array} \right.$ ⇔ (C): (x - 3)$^2$ + (y + $\frac{1}{2}$)$^2$ = $\frac{{41}}{4}$.

Thí dụ 3. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(5, 6) và tiếp xúc với đường thẳng (d): $\frac{{x - 2}}{4}$ = $\frac{y}{3}$.
Ta có thể giải bằng hai cách sau:
Cách 1: Chuyển phương trình của (d) về dạng tham số, ta được: (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 3t\end{array} \right.$, t ∈ R.
Đường tròn (C) có: (C): $\left\{ \begin{array}{l}tam\,I(5,6)\\bkinh\,\,R\end{array} \right.$⇔ (C): (x - 5)$^2$ + (y - 6)$^2$ = R$^2$. (1)
Thay x, y từ phương trình tham số của (d) vào (C), ta được: 25t$^2$ - 60t + 45 – R$^2$ = 0. (2)
(C) tiếp xúc với (d) ⇔ phương trình (2) có nghiệm kép ⇔ Δ' = 0 ⇔ R$^2$ = 9 (khi đó ta được t = $\frac{6}{5}$)
Vậy phương trình đường tròn (C): (x - 5)$^2$ + (y - 6)$^2$ = 9.

Cách 2: Chuyển phương trình của (d) về dạng tổng quát, ta được: (d): 3x - 4y - 6 = 0.
Gọi R là bán kính đường tròn (C). (C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi: R = d(I, (d)) = $\frac{{|3.5 - 4.6 - 6|}}{{\sqrt {9 + 16} }}$ = 3.
Vậy, phương trình đường tròn (C): (x - 5)$^2$ + (y - 6)$^2$ = 9.

Thí dụ 4. Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua điểm M(2, 1).
Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a, b) và bán kính R. Đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy ⇔ |a| = |b| = R.
Trường hợp 1: Nếu a = b thì: (C): (x - a)$^2$ + (y - a)$^2$ = a$^2$.
Điểm M ∈ (C) suy ra: (2 - a)$^2$+(1 - a)$^2$ = a$^2$ ⇔ a$^2$ - 6a + 5 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 5\end{array} \right.$.
  • Với a = 1, suy ra b = 1, R = 1, ta được (C$_1$): (x - 1)$^2$ + (y - 1)$^2$ = 1.
  • Với a = 5, suy ra b = 5, R = 5, ta được (C$_2$): (x - 5)$^2$ + (y - 5)$^2$ = 25.
Trường hợp 2: Nếu a = -b thì: (C): (x - a)$^2$ + (y + a)$^2$ = a$^2$.
Điểm M ∈ (C) suy ra: (2 - a)$^2$ + (1 + a)$^2$ = a$^2$ ⇔ a$^2$ - 4a + 5 = 0 vô nghiệm.Vậy, tồn tại hai đường tròn (C$_1$) và (C$_2$) thoả mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Nếu giả thiết cho (C) tiếp xúc với (d): Ax + By + C = 0 tại điểm M(x$_0$, y$_0$), ta có được các điều kiện sau:
  • a. Tâm I thuộc đường thẳng (Δ) có phương trình cho bởi: (Δ): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,M({x_0},{y_0})\\vtcp\,\overrightarrow n (A,B)\end{array} \right.$ ⇔ (Δ): $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\end{array} \right.$, t∈R ⇒ I(x$_0$ + At, y$_0$ + Bt)
  • b. (C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi IM = R.
Thí dụ 5. Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y - 2 = 0 tại điểm M(3; 1) và tâm I thuộc đường thẳng (d$_1$): 2x - y - 2 = 0.
Vì (C) tiếp xúc với (d) tại điểm M, suy ra tâm I của (C) thuộc đường thẳng (Δ) có phương trình cho bởi: (Δ):$\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,M(3,1)\\vtpt\,\overrightarrow n (1,1)\end{array} \right.$ ⇔ (Δ): x + y - 4 = 0.
Khi đó I = (d$_1$) ∩ (Δ), toạ độ điểm I là nghiệm hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\2x - y - 2 = 0\end{array} \right.$ ⇔ I(2, 2).
(C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi IM = R ⇔ R$^2$ = IM$^2$ = 2.
Vậy phương trình đường tròn (C): (x - 2)$^2$ + (y - 2)$^2$ = 2.