Dạng 3: Chứng minh các hệ thức trong tam giác

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Thí dụ 1 Cho ΔABC, cạnh a, b, c và A = 60$^0$. Chứng minh rằng: b(b$^2$ - a$^2$) = c(a$^2$ - c$^2$).
Ta có:a$^2$ = b$^2$ + c$^2$ - 2bc.cosA = b$^2$ + c$^2$ - bc ⇔ a$^2$(b + c) = (b + c)(b$^2$ + c$^2$ - bc)
⇔ a$^2$b + a$^2$c = b$^3$ + c$^3$ ⇔ b$^3$ - a$^2$b = a$^2$c - c$^3$ ⇔ b(b$^2$ - a$^2$) = c(a$^2$ - c$^2$), đpcm.

Thí dụ 2 Cho hai ΔABC và ΔDEF cùng nội tiếp trong đường tròn (C) và có: sinA + sinB + sinC = sinD + sinE + sinF. (1)
Chứng minh rằng hai ΔABC và ΔDEF có cùng chu vi.
Gọi R là bán kính đường tròn (C).
Trong ΔABC, ta có: sinA + sinB + sinC = $\frac{a}{{2R}}$ + $\frac{b}{{2R}}$ + $\frac{c}{{2R}}$ = $\frac{{{p_{\Delta ABC}}}}{R}$. (2)
Trong ΔDEF, ta có: sinD + sinE + sinF = $\frac{d}{{2R}}$ + $\frac{e}{{2R}}$ + $\frac{f}{{2R}}$ = $\frac{{{p_{\Delta DEF}}}}{R}$. (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta được: $\frac{{{p_{\Delta ABC}}}}{R}$ = $\frac{{{p_{\Delta DEF}}}}{R}$ ⇔ p$_{ΔABC}$ = p$_{ΔDEF}$, đpcm.

Thí dụ 3 Cho ΔABC không cân tại đỉnh A, trung tuyến BD và CE, có các cạnh a, b, c. Chứng minh rằng:
a. AB$^2$.CE$^2$ - AC $^2$ - BD$^2$ = $\frac{{({c^2} - {b^2})({c^2} + {b^2} - 2{a^2})}}{4}$.
b. AB.CE = AC.BD ⇔ b$^2$ + c$^2$ = $^2$a$^2$.
a. Áp dụng định lý trung tuyến, ta có:
hệ thức lượng trong tam giác 3.png
CE$^2$ = $\frac{1}{2}$(CA$^2$ + CB$^2$ - $\frac{{A{B^2}}}{2}$) = $\frac{1}{2}$( b$^2$ + c$^2$ - $\frac{{{c^2}}}{2}$)
BD$^2$ = $\frac{1}{2}$(BA$^2$ + BC$^2$ - $\frac{{A{C^2}}}{2}$) = $\frac{1}{2}$( a$^2$ + c$^2$ - $\frac{{{b^2}}}{2}$)
AB$^2$.CE$^2$ - AC $^2$ - BD$^2$ = $\frac{1}{4}$c$^2$(2a$^2$ + 2b$^2$ - c$^2$) - $\frac{1}{4}$ b$^2$(2a$^2$ + 2c$^2$ - b$^2$) = $\frac{1}{4}$[2(c$^2$ - b$^2$) a$^2$ + b$^4$ - c$^4$] = $\frac{1}{4}$( b$^2$ - c$^2$)( b$^2$ + c$^2$ - 2a$^2$)
Ta có: AB.CE = AC.BD ⇔ AB$^2$.CE$^2$ - AC $^2$ - BD$^2$ = 0⇔ (b$^2$ - c$^2$)( b$^2$ + c$^2$ - 2a$^2$) = 0 ⇔ b$^2$ + c$^2$ = 2a$^2$.

Thí dụ 4 Cho ΔABC vuông tại A; AH là đường cao. HE, HF lần lượt là các đường cao của ΔAHB, ΔAHC. Chứng minh rằng:
a. BC$^2$ = 3AH$^2$ + BE$^2$ + CF$^2$.
b. $\sqrt[3]{{B{E^2}}}$ + $\sqrt[3]{{C{F^2}}}$ = $\sqrt[3]{{B{C^2}}}$.
a. Ta có: 3AH$^2$ + BE$^2$ + CF$^2$ = 3AH$^2$ + BH$^2$ - HE$^2$ + CH$^2$ - HF$^2$
= 3AH$^2$ - EF$^2$ + (BH + HC) $^2$ - $^2$HB.HC
= 2AH$^2$ + BC$^2$ - 2AH$^2$ = BC$^2$.

b. Trong ΔAHB:
BE = $\frac{{B{H^2}}}{{BA}}$⇒ BE$^2$ = $\frac{{B{H^4}}}{{B{A^2}}}$ = $\frac{{B{H^4}}}{{BH.BC}}$ = $\frac{{B{H^3}}}{{BC}}$ (1)
Trong ΔAHC:
CF = $\frac{{C{H^2}}}{{CA}}$⇒ CF$^2$ = $\frac{{C{H^4}}}{{C{A^2}}}$ = $\frac{{C{H^4}}}{{CH.BC}}$ = $\frac{{C{H^3}}}{{BC}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\sqrt[3]{{B{E^2}}}$ + $\sqrt[3]{{C{F^2}}}$ = $\frac{{BH}}{{\sqrt[3]{{BC}}}}$ + $\frac{{CH}}{{\sqrt[3]{{BC}}}}$ = $\frac{{BC}}{{\sqrt[3]{{BC}}}}$ = $\sqrt[3]{{BC}}$.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác