Dạng 4: Sử dụng tích vô hướng giải các bài toán định lượng, định tính

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
1. Với các bài toán định lượng, ta sử dụng các kết quả:
  • a. Gọi α là góc giữa $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $, ta có: cosα = $\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |}}$.
  • b. Để tính độ dài đoạn AB, ta thực hiện: B$^2$ = $\overrightarrow {AB} $$^2$ = $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AB} $ rồi thực hiện phép phân tích vectơ $\overrightarrow {AB} $ thành tổ hợp các vectơ cơ sở.
2. Với các bài toán định tính, ta biến đổi điều kiện ban đầu thành biểu thức của tích vô hướng, rồi từ đó dẫn tới
$\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \\\overrightarrow a //\overrightarrow b \end{array} \right.$,
từ đó đưa ra lời kết luận cho bài toán.

Thí dụ 1: Cho ΔABC vuông, có cạnh huyển BC = a$\sqrt 3 $, M là trung điểm BC. Biết rằng $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\frac{{{a^2}}}{2}$, tính độ dài AB và AC.
Từ giả thiết ta được;
$\frac{{{a^2}}}{2}$ = $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $).($\overrightarrow {AC} $ - $\overrightarrow {AB} $) = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $$^2$ - $\overrightarrow {AC} $$^2$) = $\frac{1}{2}$(AB$^2$ - AC$^2$)⇔ AB$^2$ - AC$^2$ = a$^2$. (1)
Mặt khác theo Pitago, ta được: AB$^2$ + AC$^2$ = BC$^2$ = ( a$\sqrt 3 $)$^2$ = 3a$^2$. (2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), ta được AB = a$\sqrt 2 $, AC = a.

Thí dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có: MA$^2$ + MC$^2$ = MB$^2$ + MD$^2$. (1)
Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta được:
2$\overrightarrow {MO} $ = $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MD} $. (2)
Bình phương hai vế của (2), ta được:
($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $)$^2$ = ($\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MD} $)$^2$⇔ MA$^2$ + MC$^2$ + 2$\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ = MB$^2$ + MD$^2$ + 2$\overrightarrow {MB} $.$\overrightarrow {MD} $
⇔ $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow {MB} $.$\overrightarrow {MD} $
⇔ ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OA} $).($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OC} $) = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $).($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OD} $)
⇔ ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OA} $).($\overrightarrow {MO} $ - $\overrightarrow {OA} $) = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $).($\overrightarrow {MO} $ - $\overrightarrow {OB} $)
⇔ OA$^2$ = OB$^2$ ⇔ OA = OB ⇔ AC = BD
⇔ ABCD là hình chữ nhật
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác