Dạng 4: Vectơ cùng phương - Ba điểm thẳng hàng - Định lý Menelaus

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Cần nhớ các kết quả sau:
  1. Với hai vectơ ${\vec v_1}$(x1, y1) và ${\vec v_2}$(x2, y2) ta có ${\vec v_1}$ // ${\vec v_2}$ ⇔ $\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}}$.
  2. Cho ba điểm A(x1, y1) , B(x2, y2) và C(x3, y3), ta có: A, B, C thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow {AC} $ // $\overrightarrow {AB} $ ⇔ $\frac{{{x_3} - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}$ = $\frac{{{y_3} - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$.
  3. Định lý Menelaus: Lấy ba điểm M, N, P theo thứ tự trên các cạnh BC, CA, AB của ΔABC. Điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là:
$\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}$.$\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}$.$\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }}$ = 1.​

Thí dụ 1: Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(-3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; -5).
a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b. Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.
c. Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.
a. Nhận xét rằng:
$\overrightarrow {AB} $(4; -3) và $\overrightarrow {AC} $(12; -9) ⇒ $\overrightarrow {AC} $ = 3$\overrightarrow {AB} $ ⇒ A, B, C thẳng hàng.
b. Giả sử D(xD, yD), khi đó với điều kiện A là trung điểm của BD, ta được:
$\left\{ \begin{array}{l} - 3 = \frac{{1 + {x_D}}}{2}\\4 = \frac{{1 + {y_D}}}{2}\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 7\\{y_D} = 7\end{array} \right.$ ⇒ D(-7; 7).
c. Giả sử E(xE, 0) ∈ Ox, khi đó $\overrightarrow {AE} $(xE + 3; -4).
Từ đó, để ba điểm A, B, E thẳng hàng điều kiện là:
$\frac{{{x_E} + 3}}{4} = \frac{{ - 4}}{{ - 3}}$ ⇔ xE = $\frac{7}{3}$ ⇒ E($\frac{7}{3}$; 0).

Thí dụ 2: Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A và B là nhỏ nhất trong các trường hợp sau:
a. A(1; 2) và B(3; 4).
b. A(1; 1) và B(2; -4).
a. Nhận xét A, B cùng phía với Ox.
Ba điểm thẳng hàng 2_a.png
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua Ox, suy ra A1(1; -2).
Gọi P$_0$ = (A$_1$B) ∩Ox⇔ A$_1$, B, P$_0$(x; 0) thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow {{A_1}B} $//$\overrightarrow {{A_1}{P_0}} $
⇔ $\frac{2}{{x - 1}}$ = $\frac{6}{2}$ ⇔ x = $\frac{5}{3}$ ⇒ P$_0$($\frac{5}{3}$; 0).
Ta có
PA + PB = PA$_1$ + PB ≥ A1B.
Vậy PA + PB nhỏ nhất ⇔ A$_1$, B, P thẳng hàng ⇔ P ≡ P$_0$.

b. Nhận xét A, B khác phía với Ox.
Ba điểm thẳng hàng 2_b.png
Gọi P$_0$ = (AB)∩Ox
⇔ A, B, P$_0$(x, 0) thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow {AB} $//$\overrightarrow {A{P_0}} $
⇔ $\frac{1}{{x - 1}}$ = $\frac{{ - 5}}{{ - 1}}$ ⇔ x = $\frac{6}{5}$ ⇒ P$_0$($\frac{6}{5}$; 0).
Ta có: PA + PB ≥ AB.
Vậy PA + PB nhỏ nhất khi và chỉ khi A, B, P thẳng hàng ⇔ P ≡ P$_0$.

Chú ý: Thí dụ trên, đã minh hoạ phương pháp giải cho một lớp bài toán cực trị rất quen thuộc trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng, do đó các em học sinh cần nắm được phương pháp giải cho bài toán tổng quát như sau:
Bài toán: Tìm trên đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A(x$_A$, y$_A$) và B(x$_B$, y$_B$) không thuộc (d) là nhỏ nhất ".
Phương pháp
Ta xác định t$_A$.t$_B$ = ( Ax$_A$ + By$_A$ + C)( Ax$_B$ + By$_B$ + C).
Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Nếu t$_A$.t$_B$ < 0 ⇔ A, B ngược phía với (d). Ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1 Gọi P$_0$ = (AB)∩(d), suy ra toạ độ P$_0$.
  • Bước 2 Ta có PA + PB ≥ AB.
Vậy PA + PB nhỏ nhất khi và chỉ khi A, P, B thẳng hàng ⇔ P ≡ P$_0$.

Trường hợp 2: Nếu t$_A$.t$_B$ > 0 ⇔ A, B cùng phía với (d).
Ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1 Gọi A$_1$ là điểm đối xứng với A qua (d) , suy ra toạ độ A$_1$.
  • Bước 2 Gọi P$_0$ = (A1B)∩(d), suy ra toạ độ P$_0$.
  • Bước 3 Ta có PA + PB = PA$_1$ + PB ≥ AB.
Vậy PA + PB nhỏ nhất ⇔ A$_1$,P, B thẳng hàng ⇔ P ≡ P$_0$.
Ngoài phương pháp trên chúng ta sẽ còn nhận được một phương pháp giải khác được minh hoạ trong bài toán “ Phương pháp toạ độ hoá ”.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác