Dạng 5: Phương pháp toạ độ hoá

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Phương pháp toạ độ hoá thường được sử dụng phổ biến trong hai dạng:
  • Bước 1: Ta thực hiện phép toạ độ hoá các điểm trong hình và đưa bài toán hình học về dạng giải tích.
  • Bước 2: Lựa chọn các điểm thích hợp để biến đổi biểu thức đại số về dạng độ dài hình học - Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức đại số.

Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số y = $\sqrt {{x^2} + x + 1} $ + $\sqrt {{x^2} - x + 1} $.
Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\sqrt {{x^2} + x + 1} $ + $\sqrt {{x^2} - x + 1} $ = $\sqrt {{{(x + \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}} $ + $\sqrt {{{(x - \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}} $
Xét các điểm A(-$\frac{1}{2}$; $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$), B($\frac{1}{2}$; -$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$) và M(x; 0), khi đó:
AM = $\sqrt {{x^2} + x + 1} $, BM = $\sqrt {{x^2} - x + 1} $,
suy ra S = AM + BM ≥ AB = 1
Vậy, ta được S$_{Min}$ = 1, đạt được khi:
A, B, M thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow {AM} $//$\overrightarrow {AB} $ ⇒ toạ độ của M.
F Chú ý: Với các em học sinh chưa có kinh nghiệm giải dạng toán này thông thường sẽ chọn ngay A(-$\frac{1}{2}$; $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$), B($\frac{1}{2}$; $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$) và M(x; 0) và vẫn nhận được S$_{Min}$ = 1, tuy nhiên khi đó điều kiện cho A, B, M thẳng hàng sẽ vô nghiệm.
Đôi khi dạng toán này được minh hoạ dưới dạng trị tuyệt đối.

Thí dụ 2: Cho ba điểm A(1; 2), B(0; -1) và M(t; 2t + 1). Tìm điểm M thuộc (d) sao cho:
a. (MA + MB) nhỏ nhất.
b. |MA - MB| lớn nhất.
a. Ta có: MA + MB = $\sqrt {{{(t - 1)}^2} + {{(2t - 1)}^2}} $ + $\sqrt {{t^2} + {{(2t + 2)}^2}} $
= $\sqrt {5{t^2} - 6t + 2} $ + $\sqrt {5{t^2} + 8t + 4} $
= $\sqrt 5 $[$\sqrt {{{\left( {t - \frac{3}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{{25}}} $ + $\sqrt {{{\left( {t + \frac{4}{5}} \right)}^2} + \frac{4}{{25}}} $]
Xét các điểm A1($\frac{3}{5}$; -$\frac{1}{5}$); B1(-$\frac{4}{5}$;$\frac{2}{5}$) và M1(t; 0).
Khi đó: MA + MB = $\sqrt 5 $( M$_1$A$_1$ + M$_1$B$_1$).
Vì M$_1$ chạy trên trục hoành và A$_1$, B$_1$ nằm về hai phía của Ox nên
(MA + MB)$_{min}$ ⇔ (M$_1$A$_1$ + M$_1$B$_1$)min ⇔ M$_1$ = (A$_1$B$_1$)∩Ox ⇔ M1($\frac{2}{{15}}$; 0) ⇔ M($\frac{2}{{15}}$;$\frac{{19}}{{15}}$)

b. Tương tự câu a) ta có: |MA - MB| = $\sqrt 5 $$\left| {\sqrt {{{\left( {t - \frac{3}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{{25}}} } \right.$ - $\left. {\sqrt {{{\left( {t + \frac{4}{5}} \right)}^2} + \frac{4}{{25}}} } \right|$
Xét các điểm A2($\frac{3}{5}$; $\frac{1}{5}$); B2( - $\frac{4}{5}$; $\frac{2}{5}$) và M$_2$(t; 0).
Khi đó: |MA - MB| = $\sqrt 5 $|M$_2$A$_2$ - M$_2$B$_2$|.
Vì M$_2$ chạy trên trục hoành và A$_2$, B$_2$ nằm về một phía của Ox nên
|MA - MB|$_{max}$ ⇔ |M$_2$A$_2$ - M$_2$B$_2$|$_{max}$ ⇔ M$_2$ = (A$_2$B$_2$)∩Ox ⇔ M$_2$(2; 0) ⇔ M($_2$; 5).
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác