Dạng 5: Tìm điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:
Bài toán 1: AM$^2$ = k > 0, thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R = $\sqrt k $.
Bài toán 2: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ = k, với A, B cố định và k không đổi. Khi đó:
  • Gọi I là trung điểm AB, ta được: k = $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ = ($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $).($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IB} $) = ($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $).($\overrightarrow {MI} $ - $\overrightarrow {IA} $) = MI$^2$ - IA$^2$⇔ IM$^2$ = k + IA$^2$ = k + $\frac{{A{B^2}}}{4}$$\mathop = \limits^{D{\AE}t} $l.
  • Khi đó:
- Nếu l < 0 thì M không tồn tại M.​
- Nếu l = 0 thì M ≡ I.​
- Nếu l > 0 thì M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R = $\sqrt l $.​

  • Mở rộng: Nếu ta có $\overrightarrow {MA} $.$\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = k, với A, Ai, i = $\overline {1,n} $ cố định, $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $≠ 0 và k không đổi. Khi đó:
* Gọi K là điểm thoả mãn: $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {K{A_i}} } $ = $\overrightarrow 0 $ ⇒ tồn tại duy nhất điểm cố định K.
* Từ đó: $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $.$\overrightarrow {MK} $ = α$\overrightarrow {MK} $, với α = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $.
* Khi đó ta được: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MK} $ = $\frac{k}{\alpha }$.
Bài toán 3: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {BC} $ = k, với A, B, C cố định. Khi đó:
  • Gọi M$_0$, A$_0$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, A lên BC, ta được: k = $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\overline {{M_0}{A_0}} $.$\overline {BC} $ ⇔ $\overline {{M_0}{A_0}} $ = $\frac{k}{{\overline {BC} }}$, có giá trị không đổi và do A0 cố định nên M0 cố định.
  • Vậy điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với BC tại M$_0$. Đặc biệt khi k = 0 thì M thuộc đường thẳng qua A vuông góc với BC.

Thí dụ 1 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp những điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ - $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ = a$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$, với a = BC.
Giải
tích vô hướng hai vector_1.png
Ta biến đổi (1) về dạng: a$^2$ = $\overrightarrow {MA} $($\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $) - $\overrightarrow {MB} $$^2$ + $\overrightarrow {MC} $$^2$ = ($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $)($\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $) = 3$\overrightarrow {MG} $.$\overrightarrow {BC} $
trong đó G là trọng tâm ΔABC, và gọi M$_0$, G$_0$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, G lên BC, ta được: 3$\overline {{M_0}{G_0}} $.$\overline {BC} $ = a$^2$ ⇔ $\overline {{M_0}{G_0}} $ = $\frac{a}{3}$ do G$_0$ cố định nên M$_0$ cố định.
Vậy điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với BC tại M$_0$.

Thí dụ 2 Cho ΔABC. Tìm tập hợp những điểm M, sao cho MA$^2$ - MB$^2$ = k. (1)
Gọi I là trung điểm AB, ta biến đổi (1) về dạng: k = $\overrightarrow {MA} $$^2$ - $\overrightarrow {MB} $$^2$ = ($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $)($\overrightarrow {MA} $ - $\overrightarrow {MB} $) = 2$\overrightarrow {MI} $.$\overrightarrow {BA} $.
Gọi M$_0$ là hình chiếu vuông góc của M lên AB, ta được:
k = $\overrightarrow {MI} $.$\overrightarrow {BA} $ = $\overline {{M_0}I} $.$\overline {BA} $ ⇔ $\overline {{M_0}I} $ = $\frac{k}{{\overline {BA} }}$,
có giá trị không đổi và do I cố định nên M0 cố định.
Vậy điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với AB tại M$_0$.

Nhận xét: Thông qua ví dụ trên, chúng ta đã biết cách giải bài toán: “ Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: αMA$^2$ + βMB$^2$ = k, (1)
với A, B cố định, α + β = 0 và k không đổi. “
Trong trường hợp α + β ≠ 0, ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Gọi I là điểm thoả mãn α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ α($\overrightarrow {IB} $ + $\overrightarrow {BA} $) + β$\overrightarrow {IB} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ (α + β)$\overrightarrow {IB} $ = α$\overrightarrow {AB} $ ⇔ $\overrightarrow {IB} $ = $\frac{\alpha }{{\alpha + \beta }}$$\overrightarrow {AB} $. Vậy tồn tại duy nhất một điểm I cố định.
  • Bước 2: Ta biến đổi (1) về dạng: k = α$\overrightarrow {MA} $$^2$ + β$\overrightarrow {MB} $$^2$ = α($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $)$^2$ + β($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IB} $)$^2$ = (α + β)MI$^2$ + αIA$^2$ + βIB$^2$ + 2(α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $).$\overrightarrow {MI} $⇔ MI$^2$ = $\frac{1}{{\alpha + \beta }}$[k - (αIA$^2$ + βIB$^2$)]$\mathop = \limits^{D{\AE}t} $l.
  • Bước 3: Biện luận:
* Với l < 0, không tồn tại điểm M.
* Với l = 0, thì M ≡ I.
* Với l > 0, thì M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R = $\sqrt l $.

Thí dụ 3 Cho ΔABC. Tìm tập hợp những điểm M, sao cho: 3MA$^2$ - 2MB$^2$ - MC$^2$ = 2l. (1)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC, ta có: MA$^2$ = $\overrightarrow {MA} $$^2$ = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OA} $)$^2$ = MO$^2$ + OA$^2$ + 2$\overrightarrow {MO} $.$\overrightarrow {OA} $, MB$^2$ = $\overrightarrow {MB} $$^2$ = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $)$^2$ = MO$^2$ + OB$^2$ + 2$\overrightarrow {MO} $.$\overrightarrow {OB} $, MC$^2$ = $\overrightarrow {MC} $$^2$ = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OC} $)$^2$ = MO$^2$ + OC$^2$ + 2$\overrightarrow {MO} $.$\overrightarrow {OC} $,
từ đó suy ra (1) được biến đổi về dạng:
2l = 2$\overrightarrow {MO} $.(3$\overrightarrow {OA} $ - 2$\overrightarrow {OB} $ - $\overrightarrow {OC} $)
= 2$\overrightarrow {MO} $.[3$\overrightarrow {OA} $ - 2($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {AB} $) - ($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {AC} $)]
= - 2$\overrightarrow {MO} $(2$\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $). (2)
Dựng vectơ $\overrightarrow v $ = 2$\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $ và gọi M0, O0 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, O lên đường thẳng chứa vectơ $\overrightarrow v $, ta được: (2) ⇔ l = $\overrightarrow {MO} $.$\overrightarrow v $ = $\overline {{M_0}{O_0}} $.$\overline v $ ⇔ $\overline {{M_0}{O_0}} $ = $\frac{l}{{\overline v }}$
có giá trị không đổi và do O$_0$ cố định nên M$_0$ cố định.
Vậy M thuộc đường thẳng qua M$_0$ vuông góc với $\overrightarrow v $.
Nhận xét: Thông qua ví dụ trên, chúng ta đã biết cách giải bài toán: “ Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: αMA$^2$ + βMB$^2$ + γMC$^2$ = k, (*)
với A, B, C cố định, α + β + γ = 0 và k không đổi “
Trong trường hợp α + β + γ ≠ 0, ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1 Gọi I là điểm thoả mãn α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ + γ$\overrightarrow {IC} $ = $\overrightarrow 0 $. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm I cố định.
  • Bước 2 Ta biến đổi (*) về dạng: k = α$\overrightarrow {MA} $$^2$ + β$\overrightarrow {MB} $$^2$ + γ$\overrightarrow {IC} $$^2$ = α($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $)$^2$ + β($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IB} $)$^2$ + γ($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IC} $)$^2$ = (α + β + γ)MI$^2$ + αIA$^2$ + βIB$^2$ + γIC$^2$ + 2(α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ + γ$\overrightarrow {IC} $).$\overrightarrow {MI} $⇔ MI$^2$ = $\frac{1}{{\alpha + \beta + \gamma }}$[k - (αIA$^2$ + βIB$^2$ + γIC$^2$)]$\mathop = \limits^{D{\AE}t} $l.
  • Bước 3 Biện luận:
*Với l < 0, không tồn tại điểm M.
* Với l = 0, thì M ≡ I.
*Với l > 0, thì M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R = $\sqrt l $.
Chú ý: Với yêu cầu tìm cực trị, ta sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, thí dụ: S = MI$^2$ + c, với c là hằng số và I cố định.
Khi đó S$_{Min}$ = c, đạt được khi MI = 0 ⇔ M ≡ I.

Thí dụ 4 Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tuỳ ý.
a. Chứng minh rằng MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ = MD$^2$ - $^2$(OB$^2$ - OA$^2$).
b. Giả sử M di động trên đường tròn (C), xác định vị trí của M để MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
a. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \\\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \end{array} \right.$ ⇒ ($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $)$^2$ = ($\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MD} $)$^2$
⇔ 0 = MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ - MD$^2$ + 2($\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $.$\overrightarrow {MD} $) (1)
Ta xét: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $.$\overrightarrow {MD} $ =
= ($\overrightarrow {OA} $ - $\overrightarrow {OM} $).($\overrightarrow {OC} $ - $\overrightarrow {OM} $) - ($\overrightarrow {OB} $ - $\overrightarrow {OM} $).($\overrightarrow {OD} $ - $\overrightarrow {OM} $)
= -($\overrightarrow {OA} $ - $\overrightarrow {OM} $).($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OM} $) + ($\overrightarrow {OB} $ - $\overrightarrow {OM} $).($\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OM} $)
= - OA$^2$ + OM$^2$ + OB$^2$ - OM$^2$ = OB$^2$ - OA$^2$. (2)
Thay ($^2$) vào (1), ta được: 0 = MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ - MD$^2$ + $^2$(OB$^2$ - OA$^2$) ⇔ MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ = MD$^2$ - $^2$(OB$^2$ - OA$^2$), đpcm.

b. Từ kết quả câu a) suy ra MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MD2 nhỏ nhất
⇔ M là hình chiếu vuông góc của D lên (d).
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác