Phương pháp thực hiện
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:
Bài toán 1: AM$^2$ = k > 0, thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R = $\sqrt k $.
Bài toán 2: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ = k, với A, B cố định và k không đổi. Khi đó:
* Từ đó: $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $.$\overrightarrow {MK} $ = α$\overrightarrow {MK} $, với α = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $.
* Khi đó ta được: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MK} $ = $\frac{k}{\alpha }$.
Bài toán 3: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {BC} $ = k, với A, B, C cố định. Khi đó:
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:
Bài toán 1: AM$^2$ = k > 0, thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R = $\sqrt k $.
Bài toán 2: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ = k, với A, B cố định và k không đổi. Khi đó:
- Gọi I là trung điểm AB, ta được: k = $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ = ($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $).($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IB} $) = ($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $).($\overrightarrow {MI} $ - $\overrightarrow {IA} $) = MI$^2$ - IA$^2$⇔ IM$^2$ = k + IA$^2$ = k + $\frac{{A{B^2}}}{4}$$\mathop = \limits^{D{\AE}t} $l.
- Khi đó:
- Nếu l < 0 thì M không tồn tại M.
- Nếu l = 0 thì M ≡ I.
- Nếu l > 0 thì M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R = $\sqrt l $.
- Mở rộng: Nếu ta có $\overrightarrow {MA} $.$\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = k, với A, Ai, i = $\overline {1,n} $ cố định, $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $≠ 0 và k không đổi. Khi đó:
* Từ đó: $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $.$\overrightarrow {MK} $ = α$\overrightarrow {MK} $, với α = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $.
* Khi đó ta được: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MK} $ = $\frac{k}{\alpha }$.
Bài toán 3: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {BC} $ = k, với A, B, C cố định. Khi đó:
- Gọi M$_0$, A$_0$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, A lên BC, ta được: k = $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\overline {{M_0}{A_0}} $.$\overline {BC} $ ⇔ $\overline {{M_0}{A_0}} $ = $\frac{k}{{\overline {BC} }}$, có giá trị không đổi và do A0 cố định nên M0 cố định.
- Vậy điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với BC tại M$_0$. Đặc biệt khi k = 0 thì M thuộc đường thẳng qua A vuông góc với BC.
Thí dụ 1 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp những điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MB} $ - $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ = a$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$, với a = BC.
Ta biến đổi (1) về dạng: a$^2$ = $\overrightarrow {MA} $($\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $) - $\overrightarrow {MB} $$^2$ + $\overrightarrow {MC} $$^2$ = ($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $)($\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $) = 3$\overrightarrow {MG} $.$\overrightarrow {BC} $
trong đó G là trọng tâm ΔABC, và gọi M$_0$, G$_0$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, G lên BC, ta được: 3$\overline {{M_0}{G_0}} $.$\overline {BC} $ = a$^2$ ⇔ $\overline {{M_0}{G_0}} $ = $\frac{a}{3}$ do G$_0$ cố định nên M$_0$ cố định.
Vậy điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với BC tại M$_0$.
Thí dụ 2 Cho ΔABC. Tìm tập hợp những điểm M, sao cho MA$^2$ - MB$^2$ = k. (1)
Gọi I là trung điểm AB, ta biến đổi (1) về dạng: k = $\overrightarrow {MA} $$^2$ - $\overrightarrow {MB} $$^2$ = ($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $)($\overrightarrow {MA} $ - $\overrightarrow {MB} $) = 2$\overrightarrow {MI} $.$\overrightarrow {BA} $.
Gọi M$_0$ là hình chiếu vuông góc của M lên AB, ta được:
k = $\overrightarrow {MI} $.$\overrightarrow {BA} $ = $\overline {{M_0}I} $.$\overline {BA} $ ⇔ $\overline {{M_0}I} $ = $\frac{k}{{\overline {BA} }}$,
có giá trị không đổi và do I cố định nên M0 cố định.
Vậy điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với AB tại M$_0$.
Nhận xét: Thông qua ví dụ trên, chúng ta đã biết cách giải bài toán: “ Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: αMA$^2$ + βMB$^2$ = k, (1)
với A, B cố định, α + β = 0 và k không đổi. “
Trong trường hợp α + β ≠ 0, ta thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Gọi I là điểm thoả mãn α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ α($\overrightarrow {IB} $ + $\overrightarrow {BA} $) + β$\overrightarrow {IB} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ (α + β)$\overrightarrow {IB} $ = α$\overrightarrow {AB} $ ⇔ $\overrightarrow {IB} $ = $\frac{\alpha }{{\alpha + \beta }}$$\overrightarrow {AB} $. Vậy tồn tại duy nhất một điểm I cố định.
- Bước 2: Ta biến đổi (1) về dạng: k = α$\overrightarrow {MA} $$^2$ + β$\overrightarrow {MB} $$^2$ = α($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $)$^2$ + β($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IB} $)$^2$ = (α + β)MI$^2$ + αIA$^2$ + βIB$^2$ + 2(α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $).$\overrightarrow {MI} $⇔ MI$^2$ = $\frac{1}{{\alpha + \beta }}$[k - (αIA$^2$ + βIB$^2$)]$\mathop = \limits^{D{\AE}t} $l.
- Bước 3: Biện luận:
* Với l = 0, thì M ≡ I.
* Với l > 0, thì M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R = $\sqrt l $.
Thí dụ 3 Cho ΔABC. Tìm tập hợp những điểm M, sao cho: 3MA$^2$ - 2MB$^2$ - MC$^2$ = 2l. (1)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC, ta có: MA$^2$ = $\overrightarrow {MA} $$^2$ = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OA} $)$^2$ = MO$^2$ + OA$^2$ + 2$\overrightarrow {MO} $.$\overrightarrow {OA} $, MB$^2$ = $\overrightarrow {MB} $$^2$ = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $)$^2$ = MO$^2$ + OB$^2$ + 2$\overrightarrow {MO} $.$\overrightarrow {OB} $, MC$^2$ = $\overrightarrow {MC} $$^2$ = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OC} $)$^2$ = MO$^2$ + OC$^2$ + 2$\overrightarrow {MO} $.$\overrightarrow {OC} $,
từ đó suy ra (1) được biến đổi về dạng:
2l = 2$\overrightarrow {MO} $.(3$\overrightarrow {OA} $ - 2$\overrightarrow {OB} $ - $\overrightarrow {OC} $)
= 2$\overrightarrow {MO} $.[3$\overrightarrow {OA} $ - 2($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {AB} $) - ($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {AC} $)]
= - 2$\overrightarrow {MO} $(2$\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $). (2)
Dựng vectơ $\overrightarrow v $ = 2$\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $ và gọi M0, O0 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, O lên đường thẳng chứa vectơ $\overrightarrow v $, ta được: (2) ⇔ l = $\overrightarrow {MO} $.$\overrightarrow v $ = $\overline {{M_0}{O_0}} $.$\overline v $ ⇔ $\overline {{M_0}{O_0}} $ = $\frac{l}{{\overline v }}$
có giá trị không đổi và do O$_0$ cố định nên M$_0$ cố định.
Vậy M thuộc đường thẳng qua M$_0$ vuông góc với $\overrightarrow v $.
Nhận xét: Thông qua ví dụ trên, chúng ta đã biết cách giải bài toán: “ Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: αMA$^2$ + βMB$^2$ + γMC$^2$ = k, (*)
với A, B, C cố định, α + β + γ = 0 và k không đổi “
Trong trường hợp α + β + γ ≠ 0, ta thực hiện theo các bước:
- Bước 1 Gọi I là điểm thoả mãn α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ + γ$\overrightarrow {IC} $ = $\overrightarrow 0 $. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm I cố định.
- Bước 2 Ta biến đổi (*) về dạng: k = α$\overrightarrow {MA} $$^2$ + β$\overrightarrow {MB} $$^2$ + γ$\overrightarrow {IC} $$^2$ = α($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $)$^2$ + β($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IB} $)$^2$ + γ($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IC} $)$^2$ = (α + β + γ)MI$^2$ + αIA$^2$ + βIB$^2$ + γIC$^2$ + 2(α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ + γ$\overrightarrow {IC} $).$\overrightarrow {MI} $⇔ MI$^2$ = $\frac{1}{{\alpha + \beta + \gamma }}$[k - (αIA$^2$ + βIB$^2$ + γIC$^2$)]$\mathop = \limits^{D{\AE}t} $l.
- Bước 3 Biện luận:
* Với l = 0, thì M ≡ I.
*Với l > 0, thì M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R = $\sqrt l $.
Chú ý: Với yêu cầu tìm cực trị, ta sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, thí dụ: S = MI$^2$ + c, với c là hằng số và I cố định.
Khi đó S$_{Min}$ = c, đạt được khi MI = 0 ⇔ M ≡ I.
Thí dụ 4 Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tuỳ ý.
a. Chứng minh rằng MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ = MD$^2$ - $^2$(OB$^2$ - OA$^2$).
b. Giả sử M di động trên đường tròn (C), xác định vị trí của M để MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \\\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \end{array} \right.$ ⇒ ($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $)$^2$ = ($\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MD} $)$^2$⇔ 0 = MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ - MD$^2$ + 2($\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $.$\overrightarrow {MD} $) (1)
Ta xét: $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $.$\overrightarrow {MD} $ =
= ($\overrightarrow {OA} $ - $\overrightarrow {OM} $).($\overrightarrow {OC} $ - $\overrightarrow {OM} $) - ($\overrightarrow {OB} $ - $\overrightarrow {OM} $).($\overrightarrow {OD} $ - $\overrightarrow {OM} $)
= -($\overrightarrow {OA} $ - $\overrightarrow {OM} $).($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OM} $) + ($\overrightarrow {OB} $ - $\overrightarrow {OM} $).($\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OM} $)
= - OA$^2$ + OM$^2$ + OB$^2$ - OM$^2$ = OB$^2$ - OA$^2$. (2)
Thay ($^2$) vào (1), ta được: 0 = MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ - MD$^2$ + $^2$(OB$^2$ - OA$^2$) ⇔ MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ = MD$^2$ - $^2$(OB$^2$ - OA$^2$), đpcm.
b. Từ kết quả câu a) suy ra MA$^2$ - MB$^2$ + MC$^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MD2 nhỏ nhất
⇔ M là hình chiếu vuông góc của D lên (d).
Sửa lần cuối: