Dạng 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Thí dụ 1: Cho ΔABC, lấy các điểm I, J thoả mãn $\overrightarrow {IA} $ = 2$\overrightarrow {IB} $, 3$\overrightarrow {JA} $ + 2$\overrightarrow {JC} $ = $\vec 0$. Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ΔABC.
Viết lại $\overrightarrow {IA} $ = 2$\overrightarrow {IB} $ dưới dạng: $\overrightarrow {IA} $ - 2$\overrightarrow {IB} $ = $\vec 0$. (1)
Biến đổi 3$\overrightarrow {JA} $ + 2$\overrightarrow {JC} $ = $\vec 0$ về dạng:
3($\overrightarrow {IA} $ - $\overrightarrow {IJ} $) + 2($\overrightarrow {IC} $ - $\overrightarrow {IJ} $) = $\vec 0$
⇔ 3$\overrightarrow {IA} $ + 2$\overrightarrow {IC} $ = 5$\overrightarrow {IJ} $. (2)
Trừ theo vế (1) cho (2), ta được: 2($\overrightarrow {IA} $ + $\overrightarrow {IB} $ + $\overrightarrow {IC} $) = 5$\overrightarrow {IJ} $ ⇔ 6$\overrightarrow {IG} $ = 5$\overrightarrow {IJ} $ ⇔ I, J, G thẳng hàng.

Thí dụ 2: Cho ΔABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ΔABC. Chứng minh rằng:
a. $\overrightarrow {AH} $ = 2$\overrightarrow {OE} $, với E là trung điểm BC.
b. $\overrightarrow {OH} $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $.
c. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.
a. Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta được:
$\left\{ \begin{array}{l} BH//C{A_1}\,cung\,vuong\,goc\,voi\,AC\\ CH//B{A_1}\,cung\,vuong\,goc\,voi\,AB \end{array} \right.$ ⇒ A$_1$BHC là hình bình hành
⇒ A$_1$, E, H thẳng hàng ⇒ $\overrightarrow {AH} $ = 2$\overrightarrow {OE} $, đpcm.

b. Ta có:
$\overrightarrow {OH} $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {AH} $ = $\overrightarrow {OA} $ + 2$\overrightarrow {OE} $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $, đpcm.

c. Ta có:
$\overrightarrow {OG} $ = $\frac{1}{3}$($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $) = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow {OH} $ ⇔ O, G, H thẳng hàng.

Thí dụ 3: Cho ΔABC, lấy các điểm M, N, P thoả mãn:
$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ = $\vec 0$, 3$\overrightarrow {AN} $ - 2$\overrightarrow {AC} $ = $\vec 0$, $\overrightarrow {PB} $ = 2$\overrightarrow {PC} $.
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Ta có:
$\overrightarrow {MP} $ = $\overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} $, (1)
$\overrightarrow {MN} $ = $\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AP} $. (2)
Ta đi tính $\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} $ theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \), cụ thể từ giả thiết:
$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ = $\vec 0$ ⇔ $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $ (3)
3$\overrightarrow {AN} $ - 2$\overrightarrow {AC} $ = $\vec 0$ ⇔ $\overrightarrow {AN} $ = $\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $ (4)
$\overrightarrow {PB} $ = 2$\overrightarrow {PC} $ ⇔ $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AP} $ = 2$(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AP} )$ ⇔ $\overrightarrow {AP} $ = $ - \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} $. (5)
Thay (3), (4), (5) vào (1) và (2) ta được:
$\overrightarrow {MP} $ = $ - \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} $ - $\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $= $ - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} $. (6)
$\overrightarrow {MN} $ = $\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} $ = $\overrightarrow {AB} - \frac{4}{3}\overrightarrow {AC} $. (7)
Từ (6) và (7) ta nhận thấy: $\overrightarrow {MN} $ = -$\frac{3}{2}\overrightarrow {MP} $ ⇔ M, N, P thẳng hàng.