Dạng 6: Sử dụng biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
Ta sử dụng kết quả:
Nếu $\vec a$(a$_1$, a$_2$), $\vec b$(b$_1$, b$_2$) và α là góc giữa $\vec a$ và $\vec b$ thì:
  • $\vec a$.$\vec b$ = a$_1$.b$_1$ + a$_2$.b$_2$.
  • cosα = $\frac{{{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$.

Thí dụ 1: Cho hai vectơ đơn vị $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thoả mãn |$\overrightarrow a $ + $\overrightarrow b $| = 2. Hãy xác định (3$\overrightarrow a $ - 4$\overrightarrow b $)(2$\overrightarrow a $ + 5$\overrightarrow b $).
Giả sử $\overrightarrow a $(a1, a2), $\overrightarrow b $(b1, b2), từ giả thiết suy ra:
$\left\{ \begin{array}{l}a_1^2 + a_2^2 = 1\\b_1^2 + b_2^2 = 1\\\sqrt {{{({a_1} + {b_1})}^2} + {{({a_2} + {b_2})}^2}} = 2\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a_1^2 + a_2^2 = 1\\b_1^2 + b_2^2 = 1\\{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 1\end{array} \right.$.
Ta có: (3$\overrightarrow a $ - 4$\overrightarrow b $)(2$\overrightarrow a $ + 5$\overrightarrow b $) = (3a$_1$ - 4b$_1$, 3a$_2$ - 4b$_2$).(2a$_1$ + 5b$_1$, 2a$_2$ + 5b$_2$) = (3a$_1$ - 4b$_1$)(2a$_1$ + 5b$_1$) + (3a$_2$ - 4b$_2$)(2a$_2$ + 5b$_2$) = 6($a_1^2$ + $a_2^2$) - 20($b_1^2$ + $b_2^2$) + 7(a$_1$b$_1$ + a$_2$b$_2$) = 6 - 20 + 7 = -7.
Chú ý: Bài toán trên cũng có thể giải bằng tích vô hướng thuần tuý, cụ thể:
Từ giải thiết, suy ra: ($\overrightarrow a $ + $\overrightarrow b $)$^2$ = 4 ⇔ $\overrightarrow a $$^2$ + $\overrightarrow b $$^2$ + 2$\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ = 4 ⇔ $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ = 1.
Ta có:
(3$\overrightarrow a $ - 4$\overrightarrow b $)(2$\overrightarrow a $ + 5$\overrightarrow b $) = 6$\overrightarrow a $$^2$ - 20$\overrightarrow b $$^2$ + 7$\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ = 6 - 20 + 7 = -7.

Thí dụ 2 Cho ΔABC, biết A(1, 2), B(-1, 1), C(5, -1).
a. Tính $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AC} $.
b. Tính cos và sin góc A.
c. Tìm toạ độ chân đường cao A1 của ΔABC.
d. Tìm toạ độ trực tâm H của ΔABC.
e. Tìm toạ độ trọng tâm G của ΔABC.
f. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ΔABC, từ đó chứng minh rằng I, H, G thẳng hàng.
a. Ta có:$\overrightarrow {AB} $( - 2, - 1), $\overrightarrow {AC} $(4, - 3) ⇒ $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AC} $ = -2.4 - 1.( - 3) = -5.

b. Ta có: cosA = $\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |}}$ = $\frac{{ - 5}}{{\sqrt 5 .\sqrt {25} }}$ = -$\frac{1}{{\sqrt 5 }}$, sinA = $\sqrt {1 - {{\cos }^2}A} $ = $\sqrt {1 - \frac{1}{5}} $ = $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

c. A1(x, y) là chân đường cao từ đỉnh A của ΔABC
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A{A_1}} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {B{A_1}} //\overrightarrow {BC} \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A{A_1}} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {B{A_1}} //\overrightarrow {BC} \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}(x - 1,y - 2).(6, - 2) = 0\\(x + 1,y - 1)//(6, - 2)\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}6(x - 1) - 2(y - 2) = 0\\\frac{{x + 1}}{6} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}}\end{array} \right.$ ⇔ x = y = $\frac{1}{2}$.
Vậy, ta được A1($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$).

d. H(x, y) là trực tâm H của ΔABC
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {CA} \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC = 0} \\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}(x - 1,y - 2).(6, - 2) = 0\\(x + 1,y - 1).(4, - 3) = 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.$.
Vậy, ta được H(2, 5).

e. Toạ độ trọng tâm G($\frac{5}{3}$, $\frac{2}{3}$).

f. I(x, y) là tâm I của đường tròn ngoại tiếp ΔABC
⇔ AI = BI = CI⇔ $\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = {(x - 5)^2} + {(y + 1)^2}\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 3/2\\y = - 3/2\end{array} \right.$.
Vậy, ta được I($\frac{3}{2}$, -$\frac{3}{2}$).
Nhận xét rằng: $\overrightarrow {GH} $($\frac{1}{3}$, $\frac{{13}}{3}$) và $\overrightarrow {IH} $($\frac{1}{3}$, $\frac{{13}}{3}$) ⇒ I, H, G thẳng hàng.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác