Dạng 6: Sử dụng dấu tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức

Thí dụ 1. Cho b > c > d. Chứng minh rằng với mọi a ta luôn có: (a + b + c + d)$^2$ > 8(ac + bd). (1)
Ta có: (1) ⇔ (a + b + c + d)$^2$ - 8(ac + bd) > 0
Viết lại vế trái của bất đẳng thức trên dưới dạng một tam thức bậc hai theo biến số a: f(a) = a$^2$ + 2(b - 3c + d)a + (b + c + d)$^2$ - 8bd.
Ta có: Δ' = (b - 3c + d)$^2$ - [(b + c + d)$^2$ - 8bd] = 8(b - c)(d - c).
Vì b > c > d ⇒ Δ' < 0 ⇒ f(a) > 0 với mọi a.

Thí dụ 2. Cho ABC là một tam giác bất kỳ. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có 1 + $\frac{1}{2}$x$^2$ ≥ cosA + x(cosB + cosC).
Viết lại biểu thức dưới dạng: x$^2$ - 2(cosB + cosC)x + 2 - 2cosA ≥ 0. (1)
Đặt f(x) = x$^2$ - 2(cosB + cosC)x + 2 - 2cosA, ta có:
Δ’ = (cosB + cosC)$^2$ - (2 - 2cosA) = 4cos$^2$$\frac{{B + C}}{2}$.cos$^2$$\frac{{B - C}}{2}$ - 4sin$^2$$\frac{A}{2}$
= 4sin$^2$$\frac{A}{2}$[ cos$^2$$\frac{{B - C}}{2}$ - 1] ≤ 0.
Vậy, ta được f(x) ≥ 0, ∀x, do đó (1) luôn đúng.