Dạng toán 2: Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
Ta có hai dạng:
  • Bài toán 1: Với các biểu thức về tích vô hướng ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của tích vô hướng, cần đặc biệt lưu ý phép phân tích vectơ để biến đổi.
  • Bài toán 2: Với các biểu thức về độ dài ta thướng sử dụng AB$^2$ = $\overrightarrow {AB} $$^2$.

Thí dụ 1 Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cùng AM và BN cắt nhau tại I.
a. Chứng minh: $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} $ = $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BM} $ = $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} $.
b. Hãy dùng câu a) để tính $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} $ + $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BM} $ theo R.
a. Ta có: $\overrightarrow {AI} $ và $\overrightarrow {AM} $ cùng hướng nên ($\overrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {AM} $) = 0$^0$ ⇒ $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} $ = AI.AM. (1)
Lại có:
$\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} $ = AI.AB.cos($\overrightarrow {AI} $,$\overrightarrow {AB} $),
AB. cos($\overrightarrow {AI} $,$\overrightarrow {AB} $) = AM.
Suy ra $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} $ = $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} $
Tương tự, ta cũng có $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BM} $ = $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} $.

b. Ta có: $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} $ + $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BM} $ = $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} $ = $\overrightarrow {AB} $($\overrightarrow {AI} $ - $\overrightarrow {BI} $) = $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AB} $ = ${\overrightarrow {AB} ^2}$ = AB$^2$ = 4R$^2$.

Thí dụ 2 Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R. A là điểm cố định và OA = d. Giả sử AM cắt (O) tại N.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {A{M_1}} $ có giá trị không phụ thuộc M.
b. Chứng minh rằng tích $\overline {AM} $.$\overline {AN} $ có giá trị không phụ thuộc M.
a. Ta có:
tích vô hướng hai vector.png
$\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {A{M_1}} $ = ($\overrightarrow {OM} $ - $\overrightarrow {OA} $).($\overrightarrow {O{M_1}} $ - $\overrightarrow {OA} $)
= $\overrightarrow {OM} $.$\overrightarrow {O{M_1}} $ - ($\overrightarrow {OM} $ + $\overrightarrow {O{M_1}} $).$\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OA} $$^2$ = OA$^2$ - OM$^2$ = d$^2$ - R$^2$.
Ta có:
$\overline {AM} $.$\overline {AN} $ = $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {AN} $ = $\overrightarrow {AM} $.($\overrightarrow {A{M_1}} $ + $\overrightarrow {{M_1}N} $)
= $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {A{M_1}} $ + $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {{M_1}N} $ = d$^2$ - R$^2$.

Thí dụ 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC, BD là hai dây thuộc nửa đường tròn, cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
$\overline {AE} $.$\overline {AC} $ + $\overline {BE} $.$\overline {BD} $ = AB$^2$.
Ta có:
$\overline {AE} $.$\overline {AC} $ = $\overrightarrow {AE} $.$\overrightarrow {AC} $ = $\overrightarrow {AE} $.($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BC} $) = $\overrightarrow {AE} $.$\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AE} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\overrightarrow {AE} $.$\overrightarrow {AB} $. (1)
$\overline {BE} $.$\overline {BD} $ = $\overrightarrow {BE} $.$\overrightarrow {BD} $ = $\overrightarrow {BE} $.($\overrightarrow {BA} $ + $\overrightarrow {AD} $)
= $\overrightarrow {BE} $.$\overrightarrow {BA} $ + $\overrightarrow {BE} $.$\overrightarrow {AD} $ = $\overrightarrow {BE} $.$\overrightarrow {BA} $. (2)
Cộng theo vế (1) và (2), ta được: $\overline {AE} $.$\overline {AC} $ + $\overline {BE} $.$\overline {BD} $ = ($\overrightarrow {AE} $ - $\overrightarrow {BE} $).$\overrightarrow {AB} $ = ($\overrightarrow {AE} $ + $\overrightarrow {EB} $).$\overrightarrow {AB} $ = $\overrightarrow {AB} $$^2$ = AB$^2$.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác