Dạng 1: Các bài toán mở đầu về phương trình

Thí dụ 1. Tìm tập nghiệm của phương trình $\sqrt x $ + $\sqrt { - x} $ = x + 1.
Nhận xét rằng:

• Với x = 0 thì VT = 0 còn VP = 8, do đó x = 0 không là nghiệm.
• Với x < 0 thì $\sqrt x $ không xác định.
• Với x > 0 thì $\sqrt { - x} $ không xác định.

Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm T = ∅.
* Nhận xét: Lời giải của thí dụ trên được trình bày theo kiểu loại dần. Tuy nhiên, các em học sinh hẳn sẽ thắc mắc " Tại sao lại biết cách thực hiện như vậy ?". Câu trả lời được lấy ra từ thuật toán chung khi thực hiện công việc giải phương trình, bao gồm các bước:

• Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình.
• Bước 2: Giải phương trình.

Và ở đây, khi thực hiện bước 1, ta cần có điều kiện: x ≥ 0 và -x ≥ 0 <=> x = 0.
Từ đó, việc giải phương trình trong bước 2 chỉ cần thử với x = 0.

Thí dụ 2. Giải các phương trình sau:
a. $\sqrt {x - 1} $ = $\sqrt {5 - 2x} $.
b. |x - 2| = 2x - 1.
a. Ta có thể lựa chọn một trong ba cách trình bày sau:
Cách 1: (Sử dụng lược đồ giải phương trình trong thí dụ 1): ĐKXĐ của phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le \frac{5}{2}\end{array} \right.$
<=> 1 ≤ x ≤ $\frac{5}{2}$ => D = [1, $\frac{5}{2}$].
Với x ∈ D, bằng cách bình phương hai vế phương trình ban đầu, ta nhận được phương trình tương đương là: x - 1 = 5 - 2x <=> 3x = 6 <=> x = 2 ∈ D.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 2.

Cách 2: (Sử dụng phép biến đổi tương đương): Ta có:
$\sqrt {x - 1} $ = $\sqrt {5 - 2x} $ <=> x - 1 = 5 - 2x ≥ 0 <=> $\left\{ \begin{array}{l}3x = 6\\x - 1 \ge 0\end{array} \right.$ <=> x = 2.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 2.

Cách 3: Ta có:
$\sqrt {x - 1} $ = $\sqrt {5 - 2x} $ => x - 1 = 5 - 2x <=> 3x = 6 <=> x = 2.
Thử lại, với x = 2 phương trình có dạng:
$\sqrt {2 - 1} $ = $\sqrt {5 - 2.2} $ <=> 1 = 1, đúng.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 2.

b. Ta có thể lựa chọn một trong ba cách trình bày sau:
Cách 1: (Sử dụng phép biến đổi tương đương): Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\{(x - 2)^2} = {(2x - 1)^2}\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\{x^2} = 1\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x = \pm 1\end{array} \right.$ <=> x = 1.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 1.

Cách 2: Ta có: |x - 2| = 2x - 1 => $\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 2x - 1\\x - 2 = - \left( {2x - 1} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right..$
Thử lại:

• Với x = -1 phương trình có dạng: |-1 - 2| = 2(-1) - 1 <=> 3 = -3, mâu thuẫn.
• Với x = 1 phương trình có dạng: |1 - 2| = 2.1 - 1 <=> 1 = 1, đúng.

Vậy, phương trình có nghiệm x = 1.

Thí dụ 3. Giải các phương trình sau:
a. $\frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} = \sqrt {x - 2} $.
b. $\frac{{2{x^2} - x - 3}}{{\sqrt {2x - 3} }} = \sqrt {2x - 3} $.
a. Ta có D = (2; +$\infty $).
Biến đổi phương trình về dạng: x2 - 4x - 2 = x - 2 <=> x$^2$ - 5x = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {loai} \right)\\x = 5\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 5.

b. Ta có $D = \left( {\frac{3}{2};\,\, + \infty } \right).$
Biến đổi phương trình về dạng: 2x$^2$ - x - 3 = 2x - 3
<=> 2x$^2$ - 3x = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {loai} \right)\\x = 3/2\,\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình vô nghiệm.