A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x$_0$ ∈ (a; b): \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) (Δx = x – x$_0$, Δy = f(x$_0$ + Δx) – f(x$_0$))
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x$_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
$f'(x_0^ + ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$. $f'(x_0^ - ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.
Hệ quả: Hàm f(x) có đạo hàm tại ${x_0} \Leftrightarrow \exists {\rm{ }}f(x_0^ + )$ và $f'(x_0^ - )$ đồng thời $f'(x_0^ + ) = f'(x_0^ - )$.
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b)
Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái $f'({b^ - })$ và đạo hàm phải $f'({a^ + })$.
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x$_0$ thì f(x) liên tục tại x$_0$.
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x$_0$ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x$_0$.
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x$_0$ ∈ (a; b): \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) (Δx = x – x$_0$, Δy = f(x$_0$ + Δx) – f(x$_0$))
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x$_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
$f'(x_0^ + ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$. $f'(x_0^ - ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.
Hệ quả: Hàm f(x) có đạo hàm tại ${x_0} \Leftrightarrow \exists {\rm{ }}f(x_0^ + )$ và $f'(x_0^ - )$ đồng thời $f'(x_0^ + ) = f'(x_0^ - )$.
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b)
Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái $f'({b^ - })$ và đạo hàm phải $f'({a^ + })$.
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x$_0$ thì f(x) liên tục tại x$_0$.
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x$_0$ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x$_0$.
B – BÀI TẬP
Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại${x_0} < 1$?
A. $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$.
B. $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.
C. $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.
D. $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}$.
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C
Chọn C
A. \(f\left( {{x_0}} \right)\).
B. $\frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$.
C. $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).
D. $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0} - h)}}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Chọn C
Định nghĩa $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$ hay $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Định nghĩa $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$ hay $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).
A. $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.$
B. $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}.$
C. $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}.$
D. $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x + {x_0}) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.$
Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì
$\begin{array}{l}\Delta x = x - {x_0} \Rightarrow x = \Delta x + {x_0}\\\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\\ \Rightarrow f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x + {x_0} - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}$
C. Đúng vì
Đặt $h = \Delta x = x - {x_0} \Rightarrow x = h + {x_0},$ $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$
$ \Rightarrow f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{h + {x_0} - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}$
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì
$\begin{array}{l}\Delta x = x - {x_0} \Rightarrow x = \Delta x + {x_0}\\\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\\ \Rightarrow f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x + {x_0} - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}$
C. Đúng vì
Đặt $h = \Delta x = x - {x_0} \Rightarrow x = h + {x_0},$ $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$
$ \Rightarrow f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{h + {x_0} - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}$
A. - 19.
B. 7.
C. 19.
D. - 7.
Chọn C
Ta có \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^3} - {2^3} = {x_0}^3 + {\left( {\Delta x} \right)^3} + 3{x_0}\Delta x\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - 8\).
Với ${x_0} = 2$ và \(\Delta x = 1\) thì \(\Delta y = 19\).
Ta có \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^3} - {2^3} = {x_0}^3 + {\left( {\Delta x} \right)^3} + 3{x_0}\Delta x\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - 8\).
Với ${x_0} = 2$ và \(\Delta x = 1\) thì \(\Delta y = 19\).
A. $4x + 2\Delta x + 2.$
B. $4x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - 2.$
C. $4x + 2\Delta x - 2.$
D. $4x\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - 2\Delta x.$
Chọn C
$\begin{array}{l}\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - 2{x_0}\left( {{x_0} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x + 2{x_0} - 2 = 4x + 2\Delta x - 2\end{array}$
$\begin{array}{l}\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - 2{x_0}\left( {{x_0} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x + 2{x_0} - 2 = 4x + 2\Delta x - 2\end{array}$
A. $\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x.$
B. $\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x} \right].$
C. $\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + \Delta x} \right].$
D. $\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} + \Delta x.$
Chọn A
Với số gia Δx của đối số x tại ${x_0} = - 1$ Ta có
$\Delta y = \frac{{{{\left( { - 1 + \Delta x} \right)}^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{{1 + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x$
Với số gia Δx của đối số x tại ${x_0} = - 1$ Ta có
$\Delta y = \frac{{{{\left( { - 1 + \Delta x} \right)}^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{{1 + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x$
A. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2x\Delta x - \Delta x} \right).$
B. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x - 1} \right).$
C. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x + 1} \right).$
D. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2x\Delta x + \Delta x} \right).$
Chọn B
Ta có :
$\begin{array}{l}\Delta y = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \left( {x_0^2 - {x_0}} \right)\\ = x_0^2 + 2{x_0}\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - {x_0} - \Delta x - x_0^2 + {x_0}\\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}\Delta x - \Delta x\end{array}$
Nên $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2{x_0}\Delta x - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2{x_0} - 1} \right)$
Vậy $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x - 1} \right)$
Ta có :
$\begin{array}{l}\Delta y = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \left( {x_0^2 - {x_0}} \right)\\ = x_0^2 + 2{x_0}\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - {x_0} - \Delta x - x_0^2 + {x_0}\\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}\Delta x - \Delta x\end{array}$
Nên $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2{x_0}\Delta x - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2{x_0} - 1} \right)$
Vậy $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x - 1} \right)$
(I) f’(0) = 1.
(II) Hàm số không có đạo hàm tại x$_0$ = 0.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng.
Chọn B
Gọi Δx là số gia của đối số tại 0 sao cho Δx > 0.
Ta có $f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{f\left( {\Delta x + 0} \right) - f\left( 0 \right)}}{{\Delta x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {\Delta x} }}{{{\Delta ^2}x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {\Delta x} }}{{\Delta x\sqrt {\Delta x} }}} \right) = + \infty $
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.
Gọi Δx là số gia của đối số tại 0 sao cho Δx > 0.
Ta có $f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{f\left( {\Delta x + 0} \right) - f\left( 0 \right)}}{{\Delta x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {\Delta x} }}{{{\Delta ^2}x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {\Delta x} }}{{\Delta x\sqrt {\Delta x} }}} \right) = + \infty $
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{5}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{1}{4}\)
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x}{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(f'(1) = \frac{1}{2}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x}{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(f'(1) = \frac{1}{2}\).
A. 0
B. 4
C. 5
D. Đáp án khác
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ({x^2} + 3x - 4) = 0\)
Dẫn tới \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại x = 1 nên hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 1\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ({x^2} + 3x - 4) = 0\)
Dẫn tới \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại x = 1 nên hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 1\).
A. \(\frac{1}{4}.\)
B. \(\frac{1}{{16}}.\)
C. \(\frac{1}{{32}}.\)
D. Không tồn tại.
Chọn B
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \frac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \frac{1}{{16}}.$
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \frac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \frac{1}{{16}}.$
A. Không tồn tại.
B. 0
C. 1.
D. 2.
Chọn A
Ta có $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ nên $f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x + 0} \right) - f\left( 0 \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\Delta x}}$
Do $\mathop {\lim }\limits_{\Delta {x^ - } \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\Delta x}} = - 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta {x^ + } \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\Delta x}} = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\Delta x}}$ không tồn tại.
Ta có $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ nên $f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x + 0} \right) - f\left( 0 \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\Delta x}}$
Do $\mathop {\lim }\limits_{\Delta {x^ - } \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\Delta x}} = - 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta {x^ + } \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\Delta x}} = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\Delta x}}$ không tồn tại.
A. b = 3.
B. b = 6.
C. b = 1.
D. b = - 6.
Chọn B
Ta có
$\begin{array}{l}{ \bullet _{}}f\left( 2 \right) = 4\\{ \bullet _{}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} = 4\\{ \bullet _{}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} \right) = 2b - 8\end{array}$
$f\left( x \right)$ có đạo hàm tại x = 2 khi và chỉ khi $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 2
$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6.$
Ta có
$\begin{array}{l}{ \bullet _{}}f\left( 2 \right) = 4\\{ \bullet _{}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} = 4\\{ \bullet _{}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} \right) = 2b - 8\end{array}$
$f\left( x \right)$ có đạo hàm tại x = 2 khi và chỉ khi $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 2
$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6.$
A. $\Delta x\left( {\Delta x + 2x - 4} \right).$
B. $2x + \Delta x.$
C. $\Delta x.\left( {2x - 4\Delta x} \right).$
D. $2x - 4\Delta x.$
Chọn A
Ta có
$\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {\Delta x + x} \right) - f\left( x \right)\\ = {\left( {\Delta x + x} \right)^2} - 4\left( {\Delta x + x} \right) + 1 - \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\\ = \Delta {x^2} + 2\Delta x.x + {x^2} - 4\Delta x - 4x + 1 - {x^2} + 4x - 1 = \Delta {x^2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x\\ = \Delta x\left( {\Delta x + 2x - 4} \right)\end{array}$
Ta có
$\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {\Delta x + x} \right) - f\left( x \right)\\ = {\left( {\Delta x + x} \right)^2} - 4\left( {\Delta x + x} \right) + 1 - \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\\ = \Delta {x^2} + 2\Delta x.x + {x^2} - 4\Delta x - 4x + 1 - {x^2} + 4x - 1 = \Delta {x^2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x\\ = \Delta x\left( {\Delta x + 2x - 4} \right)\end{array}$
(1) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = {x_0}$thì $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = {x_0}$ thì $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu $f\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = {x_0}$ thì chắc chắn $f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại điểm đó.
Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.
B. Có một câu đúng và hai câu sai.
C. Cả ba đều đúng.
D. Cả ba đều sai.
Chọn A
(1) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = {x_0}$thì $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.
(2) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = {x_0}$ thì $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm đó.
Phản ví dụ
Lấy hàm $f\left( x \right) = \left| x \right|$ ta có $D = \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Nhưng ta có $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 0}}{{x - 0}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - x - 0}}{{x - 0}} = - 1\end{array} \right.$
Nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu $f\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = {x_0}$ thì chắc chắn $f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại điểm đó.
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có $f\left( x \right)$ không liên tục tại $x = {x_0}$ thì $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
(1) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = {x_0}$thì $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.
(2) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = {x_0}$ thì $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm đó.
Phản ví dụ
Lấy hàm $f\left( x \right) = \left| x \right|$ ta có $D = \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Nhưng ta có $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 0}}{{x - 0}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - x - 0}}{{x - 0}} = - 1\end{array} \right.$
Nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu $f\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = {x_0}$ thì chắc chắn $f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại điểm đó.
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có $f\left( x \right)$ không liên tục tại $x = {x_0}$ thì $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
(1) Hàm số $y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}$ liên tục tại x = 0
(2) Hàm số $y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}$ có đạo hàm tại x = 0
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.
B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Chọn B
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = f\left( 0 \right)$. Vậy hàm số $y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}$ liên tục tại x = 0
Ta có : $\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} - 0}}{x} = \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$(với $x \ne 0$)
Do đó : $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = - 1\end{array} \right.$
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của $\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$ khi $x \to 0$.
Vậy hàm số $y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}$ không có đạo hàm tại x = 0
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = f\left( 0 \right)$. Vậy hàm số $y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}$ liên tục tại x = 0
Ta có : $\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} - 0}}{x} = \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$(với $x \ne 0$)
Do đó : $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = - 1\end{array} \right.$
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của $\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$ khi $x \to 0$.
Vậy hàm số $y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}$ không có đạo hàm tại x = 0
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x = 0.
(2). Hàm số trên liên tục tại x = 0.
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.
B. Chỉ có (2) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Chọn B
Ta có
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + x} \right) = 0\).
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2} - x} \right) = 0\).
+) \(f\left( 0 \right) = 0\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\). Vậy hàm số liên tục tại \(x = 0\).
Mặt khác:
+) \(f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1\).
+) \(f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2} - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) = - 1\).
\( \Rightarrow f'\left( {{0^ + }} \right) \ne f'\left( {{0^ - }} \right)\). Vậy hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Ta có
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + x} \right) = 0\).
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2} - x} \right) = 0\).
+) \(f\left( 0 \right) = 0\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\). Vậy hàm số liên tục tại \(x = 0\).
Mặt khác:
+) \(f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1\).
+) \(f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2} - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) = - 1\).
\( \Rightarrow f'\left( {{0^ + }} \right) \ne f'\left( {{0^ - }} \right)\). Vậy hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
A. $\left\{ \begin{array}{l}a = 23\\b = - 1\end{array} \right.$
B. $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 11\end{array} \right.$
C. $\left\{ \begin{array}{l}a = 33\\b = - 31\end{array} \right.$
D. $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.$
Chọn D
Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^2} + x) = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (ax + b) = a + b$
Hàm có đạo hàm tại $x = 1$ thì hàm liên tục tại $x = 1$ $ \Leftrightarrow a + b = 2$ (1)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 2) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ax + b - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ax - a}}{{x - 1}} = a$(Do$b = 2 - a$)
Hàm có đạo hàm tại $x = 1$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.$.
Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^2} + x) = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (ax + b) = a + b$
Hàm có đạo hàm tại $x = 1$ thì hàm liên tục tại $x = 1$ $ \Leftrightarrow a + b = 2$ (1)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 2) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ax + b - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ax - a}}{{x - 1}} = a$(Do$b = 2 - a$)
Hàm có đạo hàm tại $x = 1$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.$.
A. \(a = 1;b = - \frac{1}{2}.\)
B. \(a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2}.\)
C. \(a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2}.\)
D. \(a = 1;b = \frac{1}{2}.\)
Chọn A
Hàm số liên tục tại x = 1 nên Ta có $a + b = \frac{1}{2}$
Hàm số có đạo hàm tại x = 1 nên giới hạn 2 bên của $\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$ bằng nhau và Ta có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1$
Vậy \(a = 1;b = - \frac{1}{2}\)
Hàm số liên tục tại x = 1 nên Ta có $a + b = \frac{1}{2}$
Hàm số có đạo hàm tại x = 1 nên giới hạn 2 bên của $\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$ bằng nhau và Ta có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1$
Vậy \(a = 1;b = - \frac{1}{2}\)
A. 0
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(7\)
Chọn A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0\)
Vậy f'(0) = 0.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0\)
Vậy f'(0) = 0.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sin x}}{x}.\sin x} \right) = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + {x^2}} \right) = 0\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = 1\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x + {x^2}}}{x} = 1\)
Vậy \(f'(0) = 1\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sin x}}{x}.\sin x} \right) = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + {x^2}} \right) = 0\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = 1\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x + {x^2}}}{x} = 1\)
Vậy \(f'(0) = 1\).
A. 2
B. 0
C. 3
D. đáp án khác
Chọn D
Ta có hàm số liên tục tại \({x_0} = - 1\) và
\(\frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + \left| {x + 1} \right|}}{{x(x + 1)}}\)
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x(x + 1)}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x(x + 1)}} = 2\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}}\)
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = - 1\).
Nhận xét: Hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = {x_0}\) thì phải liên tục tại điểm đó.
Ta có hàm số liên tục tại \({x_0} = - 1\) và
\(\frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + \left| {x + 1} \right|}}{{x(x + 1)}}\)
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x(x + 1)}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x(x + 1)}} = 2\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}}\)
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = - 1\).
Nhận xét: Hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = {x_0}\) thì phải liên tục tại điểm đó.
A. a = 10,b = 11
B. a = 0,b = - 1
C. a = 0,b = 1
D. a = 20,b = 1
Chọn C
Ta thấy với $x \ne 0$ thì f(x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tạix = 0.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b \Rightarrow $f(x) liên tục tại$x = 0 \Leftrightarrow b = 1$.
Khi đó: $f'({0^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = 0;{\rm{ }}f'({0^ - }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = a$
$ \Rightarrow f'({0^ + }) = f'({0^ - }) \Leftrightarrow a = 0$.
Vậy a = 0,b = 1 là những giá trị cần tìm.
Ta thấy với $x \ne 0$ thì f(x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tạix = 0.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b \Rightarrow $f(x) liên tục tại$x = 0 \Leftrightarrow b = 1$.
Khi đó: $f'({0^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = 0;{\rm{ }}f'({0^ - }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = a$
$ \Rightarrow f'({0^ + }) = f'({0^ - }) \Leftrightarrow a = 0$.
Vậy a = 0,b = 1 là những giá trị cần tìm.