Thí dụ 1. Giải phương trình |x$^2$ - x| + |2x - 4| = 3. (1)
Trường hợp 1: Với x ≤ 0 hoặc 1 ≤ x ≤ 2, phương trình có dạng: x$^2$ - x - (2x - 4) = 3 ⇔ x$^2$ - 3x + 1 = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$(3 ± $\sqrt 5 $) (loại).
Trường hợp 2: Với 0 < x < 1, phương trình có dạng: - (x$^2$ - x) - (2x - 4) = 3 ⇔ x$^2$ + x - 1 = 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 < x < 1} $ x = $\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$
Trường hợp 3: Với x ≥ 2, phương trình có dạng: x$^2$ - x + 2x - 4 = 3 ⇔ x$^2$ + x - 7 = 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ge 2} $ x = $\frac{{ - 1 + \sqrt {29} }}{2}$
Vậy, phương trình có 2 nghiệm là x = $\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$ và x = $\frac{{\sqrt {29} - 1}}{2}$.
Thí dụ 2. Giải bất phương trình $\frac{{|{x^2} - 4x| + 3}}{{{x^2} + |x - 5|}}$ ≥ 1. (1)
Trường hợp 1: Với x ≤ 0 hoặc 4 ≤ x ≤ 5
(1) ⇔ $\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - x + 5}}$ ≥ 1 ⇔ 3x + 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ - $\frac{2}{3}$.
Trường hợp 2: Với 0 < x < 4
(1) ⇔ $\frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - x + 5}}$ ≥ 1 ⇔ 2x2 - 5x + 2 ≤ 0 ⇔ $\frac{1}{2}$ ≤ x ≤ 2.
Trường hợp 3: Với x > 5
(1) ⇔ $\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} + x - 5}}$ ≥ 1 ⇔ 5x - 8 ≤ 0 ⇔ x ≤ $\frac{8}{5}$ loại.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (-∞ ; -$\frac{2}{3}$) ∪ [$\frac{1}{2}$; 2]
Thí dụ 3. Giải bất phương trình |x - 5| - x$^2$ + 7x - 9 ≥ 0. (1)
⇔ $\left[ \begin{array}{l}5 \le x \le 4 + \sqrt 2 \\3 - \sqrt 5 \le x < 5\end{array} \right.$ ⇔ 3 - $\sqrt 5 $ ≤ x ≤ 4 + $\sqrt 2 $.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 3 - $\sqrt 5 $ ≤ x ≤ 4 + $\sqrt 2 $.
Chú ý: Bài toán trên có thể giải bằng định nghĩa, như sau: (1) ⇔ |x - 5|≥ x$^2$ - 7x + 9
⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - 5 \ge {x^2} - 7x + 9\\x - 5 \le - {x^2} + 7x - 9\end{array} \right.$
⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 14 \le 0\\{x^2} - 6x + 4 \le 0\end{array} \right.$
⇔$\left[ \begin{array}{l}4 - \sqrt 2 \le x \le 4 + \sqrt 2 \\3 - \sqrt 5 \le x \le 3 + \sqrt 5 \end{array} \right.$⇔ 3 - $\sqrt 5 $ ≤ x ≤ 4 + $\sqrt 2 $.
Thí dụ 4. Giải bất phương trình: |x$^2$ - 4x + 2| - $\frac{3}{{|{x^2} - 4x + 2| - 2}}$ ≤ 0.
Khi đó, bất phương trình có dạng: t - $\frac{3}{{t - 2}}$ ≤ 0 ⇔ $\frac{{{t^2} - 2t - 3}}{{t - 2}}$ ≤ 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{t \ge 0} $ 2 < t ≤ 3
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}|{x^2} - 4x + 2| > 2\\|{x^2} - 4x + 2| \le 3\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 2 > 2\\{x^2} - 4x + 2 < - 2\end{array} \right.\\ - 3 \le {x^2} - 4x + 2 \le 3\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x > 0\\{x^2} - 4x + 5 \ge 0\\{x^2} - 4x - 1 \le 0\end{array} \right.$ ⇔ 4 < x ≤ 2 + $\sqrt 5 $.
Vậy, bất phương trình có nghiệm là (4, 2 + $\sqrt 5 $].
Thí dụ 5. Giải bất phương trình: |2x$^2$ - 3x + 1| - |2x$^2$ - 5x| < 2x + 1. (1)
⇔ (2x$^2$ - 5x)(2x + 1) < 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x < - 1/2\\0 < x < 5/2\end{array} \right.$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: ( - ∞, - $\frac{1}{2}$)∪($\frac{5}{2}$, + ∞).
Thí dụ 6. Cho bất phương trình: (2x - 1)$^2$ - 3|2x - 1| + m ≤ 0. (1)
a. Giải bất phương trình với m = 2.
b. Tìm m để nghiệm của bất phương trình chứa đoạn [1; 2].
Khi đó, bất phương trình có dạng: f(t) = t$^2$ - 3t + m ≤ 0. (2)
a. Với m = 2, ta được: t$^2$ - 3t + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2 ⇔ 1 ≤ |2x - 1| ≤ 2
⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le 2x - 1 \le 2\\\left[ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 1\\2x - 1 \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le x \le 0\\1 \le x \le \frac{3}{2}\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 2 bất phương trình có tập nghiệm là [-$\frac{1}{2}$; 0] ∪ [1; $\frac{3}{2}$].
b. Với 1 ≤ x ≤ 2, ta được: 1 ≤ 2x - 1 ≤ 3 ⇒ 1 ≤ |2x - 1| ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t ≤ 3.
Vậy để nghiệm của bất phương trình chứa đoạn [1; 2] điều kiện là phương trình f(t) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn t1 ≤ 1 < 3 ≤ t2
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}af(1) \le 0\\af(3) \le 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - 2 + m \le 0\\m \le 0\end{array} \right.$ ⇔ m ≤ 0.
Vậy, với m ≤ 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 7. Cho bất phương trình: 2|x| + |1 - x$^2$| ≤ m(x$^2$ + 1). (1)
a. Giải bất phương trình với m = 2.
b. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.
$\frac{{2|x|}}{{{x^2} + 1}}$ + $\frac{{|1 - {x^2}|}}{{{x^2} + 1}}$ ≤ m ⇔ $\left| {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right|$ + $\left| {\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}} \right|$ ≤ m.
Đặt x = tan$\frac{t}{2}$, với t ∈ [-$\frac{\pi }{2}$; $\frac{\pi }{2}$] \ {0}.
Khi đó bất phương trình được biến đổi tiếp về dạng: |sint| + |cost| ≤ m. (2)
a. Với m = 2, ta có nhận xét ngay (2) luôn đúng. Vậy, với m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
b. Để bất phương trình vô nghiệm: m < Min(|sint| + |cost|) = 1.
Vậy, với m < 1 bất phương trình vô nghiệm.
Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức
Giải
Lập bảng xét dấu hai biểu thức x$^2$ - x và 2x - 4:Trường hợp 2: Với 0 < x < 1, phương trình có dạng: - (x$^2$ - x) - (2x - 4) = 3 ⇔ x$^2$ + x - 1 = 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 < x < 1} $ x = $\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$
Trường hợp 3: Với x ≥ 2, phương trình có dạng: x$^2$ - x + 2x - 4 = 3 ⇔ x$^2$ + x - 7 = 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ge 2} $ x = $\frac{{ - 1 + \sqrt {29} }}{2}$
Vậy, phương trình có 2 nghiệm là x = $\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$ và x = $\frac{{\sqrt {29} - 1}}{2}$.
Thí dụ 2. Giải bất phương trình $\frac{{|{x^2} - 4x| + 3}}{{{x^2} + |x - 5|}}$ ≥ 1. (1)
Giải
Lập bảng xét dấu hai biểu thức x$^2$ - 4x và x - 5:(1) ⇔ $\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - x + 5}}$ ≥ 1 ⇔ 3x + 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ - $\frac{2}{3}$.
Trường hợp 2: Với 0 < x < 4
(1) ⇔ $\frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - x + 5}}$ ≥ 1 ⇔ 2x2 - 5x + 2 ≤ 0 ⇔ $\frac{1}{2}$ ≤ x ≤ 2.
Trường hợp 3: Với x > 5
(1) ⇔ $\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} + x - 5}}$ ≥ 1 ⇔ 5x - 8 ≤ 0 ⇔ x ≤ $\frac{8}{5}$ loại.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (-∞ ; -$\frac{2}{3}$) ∪ [$\frac{1}{2}$; 2]
Thí dụ 3. Giải bất phương trình |x - 5| - x$^2$ + 7x - 9 ≥ 0. (1)
Giải
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: (1) ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge 0\\{x^2} - 8x + 14 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 5 < 0\\{x^2} - 6x + 4 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}5 \le x \le 4 + \sqrt 2 \\3 - \sqrt 5 \le x < 5\end{array} \right.$ ⇔ 3 - $\sqrt 5 $ ≤ x ≤ 4 + $\sqrt 2 $.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 3 - $\sqrt 5 $ ≤ x ≤ 4 + $\sqrt 2 $.
Chú ý: Bài toán trên có thể giải bằng định nghĩa, như sau: (1) ⇔ |x - 5|≥ x$^2$ - 7x + 9
⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - 5 \ge {x^2} - 7x + 9\\x - 5 \le - {x^2} + 7x - 9\end{array} \right.$
⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 14 \le 0\\{x^2} - 6x + 4 \le 0\end{array} \right.$
⇔$\left[ \begin{array}{l}4 - \sqrt 2 \le x \le 4 + \sqrt 2 \\3 - \sqrt 5 \le x \le 3 + \sqrt 5 \end{array} \right.$⇔ 3 - $\sqrt 5 $ ≤ x ≤ 4 + $\sqrt 2 $.
Thí dụ 4. Giải bất phương trình: |x$^2$ - 4x + 2| - $\frac{3}{{|{x^2} - 4x + 2| - 2}}$ ≤ 0.
Giải
Đặt t = |x$^2$ - 4x + 2|, điều kiện t ≥ 0.Khi đó, bất phương trình có dạng: t - $\frac{3}{{t - 2}}$ ≤ 0 ⇔ $\frac{{{t^2} - 2t - 3}}{{t - 2}}$ ≤ 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{t \ge 0} $ 2 < t ≤ 3
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}|{x^2} - 4x + 2| > 2\\|{x^2} - 4x + 2| \le 3\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 2 > 2\\{x^2} - 4x + 2 < - 2\end{array} \right.\\ - 3 \le {x^2} - 4x + 2 \le 3\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x > 0\\{x^2} - 4x + 5 \ge 0\\{x^2} - 4x - 1 \le 0\end{array} \right.$ ⇔ 4 < x ≤ 2 + $\sqrt 5 $.
Vậy, bất phương trình có nghiệm là (4, 2 + $\sqrt 5 $].
Thí dụ 5. Giải bất phương trình: |2x$^2$ - 3x + 1| - |2x$^2$ - 5x| < 2x + 1. (1)
Giải
Biến đổi bất phương trình ban đầu về dạng: |2x$^2$ - 3x + 1| - |2x$^2$ - 5x| < |(2x$^2$ - 3x + 1) - (2x$^2$ - 5x)|⇔ (2x$^2$ - 5x)(2x + 1) < 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x < - 1/2\\0 < x < 5/2\end{array} \right.$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: ( - ∞, - $\frac{1}{2}$)∪($\frac{5}{2}$, + ∞).
Thí dụ 6. Cho bất phương trình: (2x - 1)$^2$ - 3|2x - 1| + m ≤ 0. (1)
a. Giải bất phương trình với m = 2.
b. Tìm m để nghiệm của bất phương trình chứa đoạn [1; 2].
Giải
Đặt t = |2x - 1|, điều kiện t ≥ 0.Khi đó, bất phương trình có dạng: f(t) = t$^2$ - 3t + m ≤ 0. (2)
a. Với m = 2, ta được: t$^2$ - 3t + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2 ⇔ 1 ≤ |2x - 1| ≤ 2
⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le 2x - 1 \le 2\\\left[ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 1\\2x - 1 \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le x \le 0\\1 \le x \le \frac{3}{2}\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 2 bất phương trình có tập nghiệm là [-$\frac{1}{2}$; 0] ∪ [1; $\frac{3}{2}$].
b. Với 1 ≤ x ≤ 2, ta được: 1 ≤ 2x - 1 ≤ 3 ⇒ 1 ≤ |2x - 1| ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t ≤ 3.
Vậy để nghiệm của bất phương trình chứa đoạn [1; 2] điều kiện là phương trình f(t) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn t1 ≤ 1 < 3 ≤ t2
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}af(1) \le 0\\af(3) \le 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - 2 + m \le 0\\m \le 0\end{array} \right.$ ⇔ m ≤ 0.
Vậy, với m ≤ 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 7. Cho bất phương trình: 2|x| + |1 - x$^2$| ≤ m(x$^2$ + 1). (1)
a. Giải bất phương trình với m = 2.
b. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.
Giải
Chia hai vế của bất phương trình cho x$^2$ + 1 ≠ 0, ta được:$\frac{{2|x|}}{{{x^2} + 1}}$ + $\frac{{|1 - {x^2}|}}{{{x^2} + 1}}$ ≤ m ⇔ $\left| {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right|$ + $\left| {\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}} \right|$ ≤ m.
Đặt x = tan$\frac{t}{2}$, với t ∈ [-$\frac{\pi }{2}$; $\frac{\pi }{2}$] \ {0}.
Khi đó bất phương trình được biến đổi tiếp về dạng: |sint| + |cost| ≤ m. (2)
a. Với m = 2, ta có nhận xét ngay (2) luôn đúng. Vậy, với m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
b. Để bất phương trình vô nghiệm: m < Min(|sint| + |cost|) = 1.
Vậy, với m < 1 bất phương trình vô nghiệm.
Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức
Sửa lần cuối: