Khảo sát sự biến thiên của hàm số cùng với các dạng toán khác trong chương trình toán lớp 10 là các chủ đề không thể bỏ qua trong kỳ thi đại học
Nhận xét rằng: ax$^2$ + bx + c = a$\left( {{x^2} + 2x.\frac{b}{{2a}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right)$-$\frac{{{b^2}}}{{4a}}$+ c
=${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}$-$\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}$.
Từ đó, nếu đặt: Δ = b$^2$ - 4ac, p = -$\frac{b}{{2a}}$ và q = - $\frac{\Delta }{{4a}}$ thì hàm số y = ax$^2$ + bx + c có dạng y = a(x - p)$^2$ + q.
Như vậy, nếu gọi (P$_0$): y = ax$^2$ thì để có được đồ thị của parabol y = ax$^2$ + bx + c ta tịnh tiến hai lần như sau:
Vậy, ta có kết luận:
o Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\frac{b}{{2a}}$; +∞).
o Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực đại y$_{max}$==f(-$\frac{b}{{2a}}$)=-$\frac{\Delta }{{4a}}$
Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax$^2$ mà thực hiện như sau:
*Nhận xét chung:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được đồ thị hàm số y = x$^2$ - 2.
c. Giải thích tại sao với mỗi giá trị của m thì các phương trình x$^2$ - 4x + 2 = m và x$^2$ - 2 = m đều có cùng số nghiệm.
-$\frac{b}{{2a}}$ = 2 và - $\frac{\Delta }{{4a}}$ = - 2.
Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(2, -2), nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.
Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(0, 2), B(4, 2).
b. Giả sử: y = x$^2$ - 2 = f(x + a)
<=> x$^2$ - 2 = (x + a)$^2$ - 4(x + a) + 2 = x$^2$ + (2a - 4)x + a$^2$ - 4a + 2.
Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}1 = 1\\0 = 2a - 4\\ - 2 = {a^2} - 4a + 2\end{array} \right.$<=> a = 2.
Vậy, ta được y = x$^2$ - 2 = f(x + 2).
Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang trái 2 đơn vị.
c. Vì số nghiệm của mỗi phương trình đúng bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị của các hàm số y = x$^2$ - 4x + 2 và y = x$^2$ - 2, do đó chúng đều có cùng số nghiệm.
Thí dụ 2. Cho hai hàm số (P1) và (P2), biết: (P1): y = -x$^2$ + 2x + 3, (P1): y = $\frac{1}{2}$x$^2$ - 4x + 3.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hai hàm số (P1) và (P2) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b. Tìm m để đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ.
Đồ thị: Hoành độ giao điểm của (P1) và (P2) là nghiệm phương trình:
-x$^2$ + 2x + 3 = $\frac{1}{2}$x$^2$ - 4x + 3 <=> 3x$^2$ - 12x = 0 <=> 3x(x - 4) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.$.
Khi đó, toạ độ các giao điểm là: E(0, 3) và F(4, -5).
b. Từ đồ thị của (P1) và (P2), đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị <=> -5 ≤ m ≤ 4.
Vậy, với -5 ≤ m ≤ 4 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 3. Cho hàm số (Pm): y = (1 + m)x$^2$ - 2(m - 1)x + m - 3.
a. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số với m = 0 (tương ứng là (P$_0$)). Bằng đồ thị tìm x để y ≥ 0, y ≤ 0.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của (P$_0$) và giao điểm của (P$_0$) với Oy.
c. Xác định m để (Pm) là Parabol. Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi.
d. Chứng tỏ rằng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định đó.
Ta lần lượt tính: -$\frac{b}{{2a}}$ = -1 và - $\frac{\Delta }{{4a}}$ = -4.
Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(-1, -4), nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.
Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm trên đồ thị A(1, 0), B(-3, 0), C(0, -3).
Từ đồ thị suy ra: y ≤ 0 <=> -3 ≤ x ≤ 1.
b. Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng: (d): Ax + By + C = 0, A$^2$ + B$^2$ > 0. (1)
Vì S(-1, -4) và C(0, -3) thuộc (d), ta được: $\left\{ \begin{array}{l} - A - 4B + C = 0\\ - 3B + C = 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l} - A - 4B + 3B = 0\\C = 3B\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}A = - B\\C = 3B\end{array} \right.$. (I)
Thay (I) vào (1), ta được: (d): -Bx + By + 3B = 0 <=> (d): x - y - 3 = 0.
c. Để (Pm) là Parabol điều kiện là: 1 + m ≠ 0 <=> m ≠ -1,
khi đó (Pm) có đỉnh Sm($\frac{{m - 1}}{{m + 1}}$, $\frac{4}{{m + 1}}$).
Để nhận được phương trình quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi, ta thực hiện việc khử m từ hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{4}{{m + 1}}\end{array} \right.$ => $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}\\m = \frac{{4 - y}}{y}\end{array} \right.$ => x = $\frac{{\frac{{4 - y}}{y} - 1}}{{\frac{{4 - y}}{y} + 1}}$ <=> 2x + y - 2 = 0.
Vậy, quĩ tích đỉnh Sm là đường thẳng (Δ): 2x + y - 2 = 0.
d. Giả sử M(x$_0$; y$_0$) là điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua, khi đó:
y$_0$ = (1 + m)$x_0^2$ - 2(m - 1)x$_0$ + m - 3, với ∀m
<=> ($x_0^2$ - 2x$_0$ + 1)m + $x_0^2$ + 2x$_0$ - 3 - y$_0$ = 0, với ∀m
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 2{x_0} + 1 = 0\\x_0^2 + 2{x_0} - 3 - {y_0} = 0\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 0\end{array} \right.$.
Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0).
I. Phương pháp thực hiện
Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax$^2$ + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.Nhận xét rằng: ax$^2$ + bx + c = a$\left( {{x^2} + 2x.\frac{b}{{2a}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right)$-$\frac{{{b^2}}}{{4a}}$+ c
=${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}$-$\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}$.
Từ đó, nếu đặt: Δ = b$^2$ - 4ac, p = -$\frac{b}{{2a}}$ và q = - $\frac{\Delta }{{4a}}$ thì hàm số y = ax$^2$ + bx + c có dạng y = a(x - p)$^2$ + q.
Như vậy, nếu gọi (P$_0$): y = ax$^2$ thì để có được đồ thị của parabol y = ax$^2$ + bx + c ta tịnh tiến hai lần như sau:
- Tịnh tiến (P$_0$) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái |p| đơn vị nếu p < 0, ta nhận được đồ thị hàm số y = a(x - p)$^2$ gọi là (P1).
- Tịnh tiến (P1) lên trên q đơn vị nếu q > 0, xuống dưới |q| đơn vị nếu q < 0, ta nhận được đồ thị hàm số y = ax$^2$ + bx + c.
- Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0.
- Hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
Vậy, ta có kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -$\frac{b}{{2a}}$).
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\frac{b}{{2a}}$; +∞).
- Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực tiểu y$_{min}$=f(-$\frac{b}{{2a}}$)=-$\frac{\Delta }{{4a}}$ Vậy, ta có kết luận:
o Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\frac{b}{{2a}}$; +∞).
o Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực đại y$_{max}$==f(-$\frac{b}{{2a}}$)=-$\frac{\Delta }{{4a}}$
Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax$^2$ mà thực hiện như sau:
- Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S.
- Nối ASB để được một góc rồi thực hiện vẽ đường cong parabol lựon theo đường góc này.
*Nhận xét chung:
- Δ > 0 Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
- Δ = 0 Parabol tiếp xúc với trục hoành.
- Δ < 0 Parabol không cắt trục hoành.
II. Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = x$^2$ - 4x + 2.a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được đồ thị hàm số y = x$^2$ - 2.
c. Giải thích tại sao với mỗi giá trị của m thì các phương trình x$^2$ - 4x + 2 = m và x$^2$ - 2 = m đều có cùng số nghiệm.
Giải
a. Ta lần lượt tính:-$\frac{b}{{2a}}$ = 2 và - $\frac{\Delta }{{4a}}$ = - 2.
b. Giả sử: y = x$^2$ - 2 = f(x + a)
<=> x$^2$ - 2 = (x + a)$^2$ - 4(x + a) + 2 = x$^2$ + (2a - 4)x + a$^2$ - 4a + 2.
Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}1 = 1\\0 = 2a - 4\\ - 2 = {a^2} - 4a + 2\end{array} \right.$<=> a = 2.
Vậy, ta được y = x$^2$ - 2 = f(x + 2).
Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang trái 2 đơn vị.
c. Vì số nghiệm của mỗi phương trình đúng bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị của các hàm số y = x$^2$ - 4x + 2 và y = x$^2$ - 2, do đó chúng đều có cùng số nghiệm.
Thí dụ 2. Cho hai hàm số (P1) và (P2), biết: (P1): y = -x$^2$ + 2x + 3, (P1): y = $\frac{1}{2}$x$^2$ - 4x + 3.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hai hàm số (P1) và (P2) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b. Tìm m để đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ.
Giải
a. Ta có bảng sau:-x$^2$ + 2x + 3 = $\frac{1}{2}$x$^2$ - 4x + 3 <=> 3x$^2$ - 12x = 0 <=> 3x(x - 4) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.$.
Khi đó, toạ độ các giao điểm là: E(0, 3) và F(4, -5).
b. Từ đồ thị của (P1) và (P2), đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị <=> -5 ≤ m ≤ 4.
Thí dụ 3. Cho hàm số (Pm): y = (1 + m)x$^2$ - 2(m - 1)x + m - 3.
a. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số với m = 0 (tương ứng là (P$_0$)). Bằng đồ thị tìm x để y ≥ 0, y ≤ 0.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của (P$_0$) và giao điểm của (P$_0$) với Oy.
c. Xác định m để (Pm) là Parabol. Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi.
d. Chứng tỏ rằng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định đó.
Giải
a. Với m = 0 ta được (P$_0$): y = x$^2$ + 2x - 3Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(-1, -4), nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.
Từ đồ thị suy ra: y ≤ 0 <=> -3 ≤ x ≤ 1.
b. Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng: (d): Ax + By + C = 0, A$^2$ + B$^2$ > 0. (1)
Vì S(-1, -4) và C(0, -3) thuộc (d), ta được: $\left\{ \begin{array}{l} - A - 4B + C = 0\\ - 3B + C = 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l} - A - 4B + 3B = 0\\C = 3B\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}A = - B\\C = 3B\end{array} \right.$. (I)
Thay (I) vào (1), ta được: (d): -Bx + By + 3B = 0 <=> (d): x - y - 3 = 0.
c. Để (Pm) là Parabol điều kiện là: 1 + m ≠ 0 <=> m ≠ -1,
khi đó (Pm) có đỉnh Sm($\frac{{m - 1}}{{m + 1}}$, $\frac{4}{{m + 1}}$).
Để nhận được phương trình quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi, ta thực hiện việc khử m từ hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{4}{{m + 1}}\end{array} \right.$ => $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}\\m = \frac{{4 - y}}{y}\end{array} \right.$ => x = $\frac{{\frac{{4 - y}}{y} - 1}}{{\frac{{4 - y}}{y} + 1}}$ <=> 2x + y - 2 = 0.
Vậy, quĩ tích đỉnh Sm là đường thẳng (Δ): 2x + y - 2 = 0.
d. Giả sử M(x$_0$; y$_0$) là điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua, khi đó:
y$_0$ = (1 + m)$x_0^2$ - 2(m - 1)x$_0$ + m - 3, với ∀m
<=> ($x_0^2$ - 2x$_0$ + 1)m + $x_0^2$ + 2x$_0$ - 3 - y$_0$ = 0, với ∀m
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 2{x_0} + 1 = 0\\x_0^2 + 2{x_0} - 3 - {y_0} = 0\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 0\end{array} \right.$.
Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0).
Sửa lần cuối: