Dạng 1: Phương trình đường tròn

Hoc Lop

Administrator
Staff member
#1
Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng: (C): x$^2$ + y$^2$ - 2ax - 2by + c = 0 (1)
  • Bước 2: Để (1) là phương trình đường tròn điều kiện là: a$^2$ + b$^2$ - c ≥ 0.
  • Bước 3: Khi đó (C) có thuộc tính: $\left\{ \begin{array}{l} Tam\,\,I(a;b)\\ Ban\,kinh\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \end{array} \right.$

Thí dụ 1. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a. x$^2$ + y$^2$ - 2x - 2y - 2 = 0.
b. 16x$^2$ + 16y$^2$ + 16x - 8y - 11 = 0.
a. Viết lại phương trình dưới dạng: (x - 1)$^2$ + (y - 1)$^2$ = 4
suy ra tâm I(1, 1) và bán kính R = 2.

b. Viết lại phương trình dưới dạng: x$^2$ + y$^2$ + x - $\frac{1}{2}$y - $\frac{{11}}{{16}}$ = 0 ⇔ (x + $\frac{1}{2}$)$^2$ + (y - $\frac{1}{4}$)$^2$ = 1
suy ra tâm I(-$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$) và bán kính R = 1.

Thí dụ 2. Cho họ đường cong: (C$_m$): x$^2$ + y$^2$- 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0.
a. Chứng minh rằng với mọi m luôn có (C$_m$) là phương trình của một đường tròn.
b. Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C$_m$).
c. Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất trong họ (C$_m$).
d. Tìm các điểm cố định mà mọi đường tròn của họ (C$_m$) đều đi qua.
e. Chứng minh rằng (C$_m$) luôn cắt Oy tại 2 điểm phân biệt.
a. Ta có: a$^2$ + b$^2$ - c = m$^2$ + (m + 1)$^2$ - $^2$m + 1 = 2m$^2$ + 2 ≥ 0, luôn đúng.
Vậy, với ∀m phương trình đã cho là phương trình của một đường tròn, có: $\left\{ \begin{array}{l}Tam\,\,{I_m}(m,\,m + 1)\\Ban\,kinh\,R = \sqrt {2{m^2} + 2} \end{array} \right.$.

b. Ta có: I$_m$: $\left\{ \begin{array}{l}x = m\\y = m + 1\end{array} \right.$ (I)
Khử m từ hệ (I), ta được: x - y + 1 = 0.
Vậy, tâm I$_m$ của họ (C$_m$) thuộc đường thẳng (d): x - y + 1 = 0.

c. Ta có: R$^2$ = 2m$^2$ + 2 ≥ 2
Vậy R$_{min}$ = $\sqrt 2 $, đạt được khi m = 0
Vậy trong họ (C$_m$) đường tròn (C$_0$) có bán kính nhỏ nhất bằng $\sqrt 2 $.

d. Giả sử M(x$_0$, y$_0$) là điểm cố định của họ (C$_m$), ta được: $x_0^2$ + $y_0^2$ - 2mx$_0$ - 2(m + 1)y$_0$ + 2m - 1 = 0, ∀m
⇔ ( - 2x$_0$ - 2y$_0$ + 2)m + $x_0^2$ + $y_0^2$ - 2y$_0$ - 1 = 0, ∀m
⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - 2{x_0} - 2{y_0} + 2 = 0\\x_0^2 + y_0^2 - 2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{y_0} = 1 - {x_0}\\x_0^2 + {(1 - {x_0})^2} - 2(1 - {x_0}) - 1 = 0\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{y_0} = 1 - {x_0}\\{x_0} = \pm 1\end{array} \right.$ ⇒ $\left[ \begin{array}{l}{M_1}(1,\,0)\\{M_2}( - 1,\,2)\end{array} \right.$.
Vậy, các đường tròn của họ (C$_m$) luôn đi qua 2 điểm cố định M1, M2.

e. Xét hệ phương trình tạo bởi (C$_m$) và Oy: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0\\x = 0\end{array} \right.$
⇒ y$^2$ - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0. (1)
Ta có: Δ’(1) = (m + 1)$^2$ - 2m + 1 = m$^2$ + 2 > 0, ∀m
do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt y1,2 = ± $\sqrt {{m^2} + 2} $, tức là (C$_m$) luôn cắt Oy tại 2 điểm phân biệt A(0, $\sqrt {{m^2} + 2} $) và B(0, - $\sqrt {{m^2} + 2} $).
Chú ý: Chúng ta đã được biết khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn, khi đó chọn điểm C(0, 1) ∈ Oy và
P$_{C/(C)}$ = 1 - 2(m + 1) + 2m - 1 = - 2 < 0 ⇔ C ở trong đường tròn (C)
Vậy (C$_m$) luôn cắt Oy tại 2 điểm phân biệt.

Thí dụ 3. Cho họ đường cong có phương trình: (C$_m$): x$^2$ + y$^2$ - 2x - 4my + 4m = 0. (1)
a. Tìm m để (C$_m$) là một họ đường tròn.
b. Chứng minh rằng các đường tròn của họ (C$_m$) luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định.
a. Ta có: a$^2$ + b$^2$ - c = 1 + 4m$^2$ - 4m = (2m - 1)$^2$ ≥ 0, ∀m.
Vậy, với mọi giá trị của m phương trình (1) là phương trình của một đường tròn, có tâm Im(1, 2m) và bán kính R = |2m - 1|.

b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Với m1 và m2 bất kỳ (m1≠ m2), xét hệ phương trình tạo bởi (${C_{{m_1}}}$), (${C_{{m_2}}}$):
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4{m_1}y + 4{m_1} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + {y^2} - 2x - 4{m_2}y + 4{m_2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$ (I)
Lấy (1) - (2) ⇒ y = 1, thay vào (1), ta được: x$^2$ - 2x + 1 = 0. (*)
Phương trình (*) có nghiệm kép x$_0$ = 1 ∀m.
Vậy, các đường tròn của họ (C$_m$) luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định M(1; 1).
Cách 2: Giả sử M(x$_0$, y$_0$) là điểm cố định mà họ (C$_m$) luôn đi qua.
⇔ x$^2$ + y$^2$ - 2x - 4my + 4m = 0 , ∀m
⇔ 4m(-y + 1) + x$^2$ + y$^2$ - 2x = 0 , ∀m
⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - y + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x = 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.$ ⇔ M(1; -1).
Nhận xét rằng tâm I$_m$ của họ (C$_m$) luôn thuộc đường thẳng (d) cố định đi qua điểm M cố định.
Vậy, các đường tròn của họ (C$_m$) luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định M(1; 1).
Nhận xét:
1. Như vậy để "Chứng minh rằng các đường tròn của họ (C$_m$) luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định" ta có thể lựa chọn một trong hai cách
:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Với m1 và m2 bất kỳ (m1 ≠ m2), xét
(${C_{{m_1}}}$) có tâm I1 và bán kính R1.
(${C_{{m_2}}}$) có tâm I2 và bán kính R2.
  • Bước 2: Suy ra: $\left[ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\\{I_1}{I_2} = |{R_1} - {R_2}|\end{array} \right.$.
  • Bước 3: Kết luận: các đường tròn của họ (C$_m$) luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định M(x¬0; y$_0$) là nghiệm kép của (*).
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Tìm điểm cố định M(x$_0$, y$_0$) mà mọi đường tròn của họ (C$_m$) luôn đi qua.
  • Bước 2: Nhận xét rằng: tâm Im của họ (C$_m$) luôn thuộc đường thẳng (d) cố định đi qua M.
  • Bước 3: Kết luận: các đường tròn của họ (C$_m$) luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định M(x$_0$; y$_0$).
2. Nếu sử dụng cách 2 chúng ta cũng có thể trả lời được câu hỏi " Các đường tròn của họ (C$_m$) luôn tiếp xúc với đường thẳng (Δ) cố định tại một điểm cố định "
Thật vậy khi đó (C$_m$) luôn tiếp xúc với đường thẳng (Δ) qua M và vuông góc với đường thẳng (d).