Dạng 1: Xác định các thuộc tính của Hypebol (H)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

Hypebol là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.


I. Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu của Hypebol (H) về dạng chính tắc (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$ = ±1.
Bước 2: Xét các khả năng:c$^2$ = a$^2$ + b$^2$.
Khả năng 1: Nếu (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$ = 1
ta được:
thuộc tính của Hypebol 1.png

  • (H) có trục thực thuộc Ox, độ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm F$_1$(-c, 0), F$_2$(c, 0)
  • (H) có trục ảo thuộc Oy với độ dài bằng 2b.
  • Tâm sai e = $\frac{c}{a}$.
Khả năng 2: Nếu (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$ = - 1
thuộc tính của Hypebol 2.png
ta được:
  • (H) có trục thực thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm F$_1$(0, - c), F$_2$(0, c) với c$^2$ = a$^2$ + b$^2$..
  • (H) có trục ảo thuộc Ox với độ dài bằng 2a.
  • Tâm sai e = $\frac{c}{b}$.
II. Ví dụ minh họa
Thí dụ 1.
Cho Hyperbol (H): 9x$^2$ - 16y$^2$ = 144.
a. Chuyển phương trình của (H) về dạng chính tắc. Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai, các đường tiệm cận của (H).
b. Viết phương trình Hyperbol (H1) liên hợp của (H). Tìm các thuộc tính của (H1).
c. Viết phương trình chính tắc của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
Giải​
a. Đưa phương trình Hyperbol về dạng (H): $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9}$ = 1 ⇒ a = 4, b = 3 và c = 5.
Từ đó:
  • Tâm O(0, 0).
  • Toạ độ các đỉnh A1( - 4, 0), A2(4, 0).
  • Toạ độ các tiêu điểm F$_1$( - 5, 0), F$_2$(5, 0).
  • Tâm sai e = $\frac{5}{4}$.
  • Phương trình hai đường tiệm cận là y = ±$\frac{3}{4}$x.
b. Phương trình Hyperbol (H1) liên hợp của (H) có dạng: (H1): $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9}$ = - 1.
Các thuộc tính của (H1) và phương trình tham số của (H1) bạn dọc tự làm

c. Giả sử phương trình chính tắc của Elíp có dạng: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a > b. (1)
  • Tiêu cự c = 5 ⇔ a$^2$ - b$^2$ = 52 (2)
  • P(4, 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H). Để Elíp (E) ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)⇔ P(4, 3)∈(E) ⇔ 9a$^2$ + 16b$^2$ - a$^2$.b$^2$ = 0 (3)
Từ (2), (3) suy ra a$^2$ = 40, b$^2$ = 15.
Vậy phương trình chính tắc (E): $\frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{{{y^2}}}{{15}} = 1$.

Thí dụ 2. Chuyển phương trình Hypebol (H): x$^2$ - 4y$^2$ = -1 về dạng chính tắc, từ đó xác định các thuộc tính của nó và vẽ hình.
Giải​
Đưa phương trình Hyperbol về dạng: (H): $\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{{1/4}}$ = - 1 ⇒ a = 1, b = \(\frac{1}{2}\) và c = \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Từ đó:
  • Tâm O(0, 0).
  • Toạ độ các đỉnh B1(0, -\(\frac{1}{2}\)), B2(0, \(\frac{1}{2}\)).
  • Toạ độ các tiêu điểm F’1(0, -\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)), F’2(0, \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)).
  • Tâm sai e = \(\sqrt 5 \).
  • Phương trình hai đường tiệm cận là y = ±\(\frac{1}{2}\)x.
Chú ý: Trong trường hợp phương trình của (H) có dạng: (H): $\frac{{{{(x - \alpha )}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{(y - \beta )}^2}}}{{{b^2}}}$ = ±1.
ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ với I(α, β) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - \alpha \\Y = y - \beta \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = X + \alpha \\y = Y + \beta \end{array} \right.$
ta được: (H): $\frac{{{X^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{Y^2}}}{{{b^2}}} = \pm 1$
từ đó chỉ ra các thuộc tính của (H) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (H) trong hệ trục Oxy.

Thí dụ 3. Cho Hyperbol (H) có phương trình: (H): x$^2$ - 4y$^2$ - 2x + 16y + 11 = 0.
a. Đưa Hyperbol (H) về dạng chính tắc.
b. Xác định toạ độ tâm, tiêu điểm F1, F2, các đỉnh A1, A2 và các đường tiệm cận của (H).
Giải​
Chuyển phương trình của (H) về dạng: (H):$\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{4} - \frac{{{{(y - 2)}^2}}}{1} = - 1$
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ với I(1, 2) thành hệ trục IXY, với công thức đổi trục:
$\left\{ \begin{array}{l}X = x - 1\\Y = y - 2\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = X + 1\\y = Y + 2\end{array} \right.$
Khi đó: H): $\frac{{{X^2}}}{4} - \frac{{{Y^2}}}{1} = - 1$.
Khi đó trong hệ trục IXY, (H) có các thuộc tính:
* Tâm I.
* Trục thực thuộc IY có độ dài bằng 2 chứa 2 tiêu điểmF$_1$(0, -$\sqrt 5 $), F$_2$(0, $\sqrt 5 $).
* Trục ảo thuộc IX có độ dài bằng 4.
* Tâm sai e = $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
* Phương trình hai đường tiệm cận: X = ±$\frac{1}{2}$Y.
Do đó trong hệ trục Oxy, (H) có các thuộc tính:
* Tâm I(1, 2).
* (H) có trục thực // Ox có độ dài 2 chứa 2 tiêu điểm F$_1$(1, -$\sqrt 5 $ + 2), F$_2$(1, $\sqrt 5 $ + 2)
* Trục ảo // Ox có độ dài bằng 4.
* Tâm sai e = $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
* Phương trình hai đường tiệm cận: x - 1 = ±$\frac{1}{2}$(y - 2) ⇔ $\left[ \begin{array}{l}({d_1}):2x - y = 0\\({d_1}):2x + y - 4 = 0\end{array} \right.$.
 
Sửa lần cuối: