Thí dụ 1 Cho ΔABC có a$^4$ = b$^4$ + c$^4$. Chứng minh ΔABC nhọn.
Do đó để chứng minh ΔABC nhọn, ta chỉ cần chứng minh góc A nhọn.
⇔ b$^2$ + c$^2$ - a$^2$ > 0 ⇔ b$^2$ + c$^2$ > a$^2$ ⇔ (b$^2$ + c$^2$)$^2$ > a$^4$ ⇔ b$^4$ + c$^4$ + 2b$^2$.c$^2$ > a$^4$
⇔ a$^4$ + 2b$^2$.c$^2$ > a$^4$ ⇔ b$^2$.c$^2$ > 0, luôn đúng.
Vậy ΔABC nhọn.
Thí dụ 2 Cho ΔABC, biết S = $\frac{1}{4}$(a + b - c)(a - b + c). (1)
chứng minh rằng ΔABC là vuông.
$\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $ = (p - c)(p - b)⇔ p(p - a)(p - b)(p - c) = (p - c)$^2$(p - b)$^2$ ⇔ p(p - a) = (p - c)(p - b)
⇔ (a + b + c)(b + c - a) = (a + b - c)(a + c - b)⇔ a$^2$ + b$^2$ = c$^2$ ⇔ ΔABC là vuông tại C.
Thí dụ 3 Cho ΔABC nhọn, đường cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE.
a. Tính số đo góc $C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$.
b. Giả sử AH là đường cao lớn nhất của ΔABC. Xác định dạng của ΔABC để B = 60$^0$.
sin$C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ = sin${E_1}\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ = $\frac{{E{E_1}}}{{EB}}$ = $\frac{{\frac{{AH}}{2}}}{{EB}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ $C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ = 30$^0%.
b. Dựng đường cao CF và EE$_2$//CF, trong ΔE$_2$BE, ta có:
sin(ABE) = sin(E$_2$BE) = $\frac{{E{E_2}}}{{EB}} = \frac{{\frac{{CF}}{2}}}{{EB}} \le \frac{{\frac{{AH}}{2}}}{{EB}} = \frac{1}{2} \to (CBE) \le {30^0}$
⇔ $C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ ≤ 30$^0$.
Suy ra B = $C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ + $A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ = 30$^0$ + $A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ ≤ 30$^0$ + 30$^0$ = 60$^0$. (1)
Vậy để B = 60$^0$ điều kiện là dấu “ = ” xảy ra tại (1)⇔ AH = CF ⇔ ΔABC cân.
Ngoài ra ta có B = 60$^0$ do đó ΔABC đều.
Giải
Từ giả thiết suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a > b\\a > c\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}A > B\\A > C\end{array} \right.$ .Do đó để chứng minh ΔABC nhọn, ta chỉ cần chứng minh góc A nhọn.
⇔ b$^2$ + c$^2$ - a$^2$ > 0 ⇔ b$^2$ + c$^2$ > a$^2$ ⇔ (b$^2$ + c$^2$)$^2$ > a$^4$ ⇔ b$^4$ + c$^4$ + 2b$^2$.c$^2$ > a$^4$
⇔ a$^4$ + 2b$^2$.c$^2$ > a$^4$ ⇔ b$^2$.c$^2$ > 0, luôn đúng.
Vậy ΔABC nhọn.
Thí dụ 2 Cho ΔABC, biết S = $\frac{1}{4}$(a + b - c)(a - b + c). (1)
chứng minh rằng ΔABC là vuông.
Giải
Sử dụng công thức Hêrong, ta biến đổi (1) về dạng:$\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $ = (p - c)(p - b)⇔ p(p - a)(p - b)(p - c) = (p - c)$^2$(p - b)$^2$ ⇔ p(p - a) = (p - c)(p - b)
⇔ (a + b + c)(b + c - a) = (a + b - c)(a + c - b)⇔ a$^2$ + b$^2$ = c$^2$ ⇔ ΔABC là vuông tại C.
Thí dụ 3 Cho ΔABC nhọn, đường cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE.
a. Tính số đo góc $C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$.
b. Giả sử AH là đường cao lớn nhất của ΔABC. Xác định dạng của ΔABC để B = 60$^0$.
Giải
a. Dựng EE$_1$//AH, trong ΔE$_1$BE, ta có:sin$C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ = sin${E_1}\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ = $\frac{{E{E_1}}}{{EB}}$ = $\frac{{\frac{{AH}}{2}}}{{EB}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ $C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ = 30$^0%.
b. Dựng đường cao CF và EE$_2$//CF, trong ΔE$_2$BE, ta có:
⇔ $C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ ≤ 30$^0$.
Suy ra B = $C\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ + $A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ = 30$^0$ + $A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} E$ ≤ 30$^0$ + 30$^0$ = 60$^0$. (1)
Vậy để B = 60$^0$ điều kiện là dấu “ = ” xảy ra tại (1)⇔ AH = CF ⇔ ΔABC cân.
Ngoài ra ta có B = 60$^0$ do đó ΔABC đều.
Sửa lần cuối: