Dạng 2: Giải hệ hệ phương trình đối xứng loại I

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Phương pháp chung để giải và biện luận hệ đối xứng loại I bao gồm các bước:
  • Bước 1: Sử dụng ẩn phụ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\xy = P\end{array} \right.$, điều kiện S$^2$-4P ≥ 0.
  • Bước 2: Xác định S và P. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t$^2$-St + P = 0. (*)
  • Bước 3: Bài toán được chuyển về giải và biện luận phương trình (*).
* Chú ý:
1. Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại I được trình bày ở trên, trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:
  • a. Phương pháp thế: bởi rất nhiều hệ đối xứng loại I là "Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn".
  • b. Phương pháp đồ thị.
  • c. Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu " Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất ". Khi đó ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần
* Nhận xét rằng, nếu hệ có nghiệm (x$_0$; y$_0$) thì (y$_0$; x$_0$) cũng là nghiệm của hê, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x$_0$ = y$_0$. (**)
* Thay (**) vào hệ ta được giá trị của tham số . Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Bước 2: Điều kiện đủ.
2. Một số hệ phương trình cần sử dụng một vài phép biến đổi đơn giản để đưa về dạng đối xứng loại I. Thông thường ta sử dụng phép đổi biến.

Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 3\\xy + x + y = - 3\end{array} \right.$.
Đặt S = x + y và P = xy, điều kiện S$^2$ - 4P ≥ 0.
Khi đó, hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}{(x + y)^2} - xy = 3\\xy + x + y = - 3\end{array} \right.$
<=>$\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - P = 3\\P + S = - 3\end{array} \right.$<=>$\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - ( - 3 - S) = 3\\P = - 3 - S\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}S = 0\,\,\,\,\,v\mu \,\,P = - 3\\S = - 1\,\,v\mu \,\,P = - 2\end{array} \right.$.
  • Với S = 0 và P = -3 , ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\xy = - 3\end{array} \right.$ khi đó x, y là nghiệm phương trình: t$^2$ - 3 = 0 <=> t = ±$\sqrt 3 $ <=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - \sqrt 3 \,\,v\mu \,\,{y_1} = \sqrt 3 \\{x_2} = \sqrt 3 \,\,\,\,\,v\mu \,\,{y_2} = - \sqrt 3 \end{array} \right.$
  • Với S = -1 và P = -2 , ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\xy = - 2\end{array} \right.$ khi đó x, y là nghiệm phương trình: t$^2$ + t - 2 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}{x_3} = 1\,\,\,\,\,v\mu \,\,\,{y_3} = - 2\\{x_4} = - 2\,\,v\mu \,\,\,{y_4} = 1\end{array} \right.$.
Vậy, hệ phương trình có 4 cặp nghiệm (x$_1$; y$_1$), (x$_2$; y$_2$), (x$_3$; y$_3$) và (x$_4$; y$_4$).

Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = m\\x + y = 6\end{array} \right.$.
a. Giải hệ phương trình với m = 26.
b. Xác định m để hệ vô nghiệm.
c. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất, xác định nghiệm đó.
d. Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
Cách 1: Sử dụng phương pháp chung của hệ đối xứng loại I để thực hiện các yêu cầu của bài toán.
Biến đổi hệ phương trình về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}{(x + y)^2} - 2xy = m\\x + y = 6\end{array} \right.$
<=>$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = \frac{{36 - m}}{2}\end{array} \right.$
khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t$^2$-6t + $\frac{{36 - m}}{2}$ = 0. (1)

a. Với m = 26, ta được: (1) <=> 2t$^2$-12t + 10 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\& \,\,y = 5\\x = 5\,\,\& \,\,y = 1\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 26 hệ phương trình có hai cặp nghiệm (1; 5) và (5; 1).

b. Hệ vô nghiệm <=> (1) vô nghiệm <=> Δ'$_{(1)}$ < 0 <=> m-18 < 0 <=> m < 18.
Vậy, với m < 18 hệ phương trình vô nghiệm.

c. Hệ có nghiệm duy nhất <=> phương trình (1) có nghiệm duy nhất <=> Δ'$_{(1)}$ = 0 <=> m-18 = 0 <=> m = 18.
Khi đó hệ có nghiệm x = y = 3.
Vậy, với m = 18 hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 3..

d. Hệ có hai nghiệm phân biệt<=> phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> Δ'$_{(1)}$ > 0 <=> m-18 > 0 <=> m > 18.
Vậy, với m > 18 hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Cách 2: Sử dụng phương pháp thế để thực hiện các yêu cầu của bài toán.
Biến đổi hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {(6 - x)^2} = m\\y = 6 - x\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 12x + 36 - m = 0\,\,\,\,(2)\\y = 6 - x\end{array} \right.$. (I)
a. Với m = 26, ta được: (2) <=> 2x$^2$-12x + 10 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.$
=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\& \,\,y = 5\\x = 5\,\,\& \,\,y = 1\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 26 hệ phương trình có hai cặp nghiệm (1, 5) và (5, 1).

b. Hệ vô nghiệm <=> (2) vô nghiệm <=> Δ'$_{(2)}$ < 0 <=> m-18 < 0 <=> m < 18.
Vậy, với m < 18 hệ phương trình vô nghiệm.

c. Hệ có nghiệm duy nhất <=> phương trình (2) có nghiệm duy nhất <=> Δ'$_{(1)}$ = 0 <=> m-18 = 0 <=> m = 18.
Khi đó hệ có nghiệm x = y = 3.
Vậy, với m = 18 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

d. Hệ có hai nghiệm phân biệt
<=> phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt <=> Δ'$_{(1)}$ > 0 <=> m-18 > 0 <=> m > 18.
Vậy, với m > 18 hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Cách 3: Sử dụng phương pháp đồ thị để thực hiện các yêu cầu b), c), d) của bài toán.
Nhận xét rằng với m ≤ 0, hệ vô nghiệm, do đó ta xét với m > 0. Ta có:
  • Phương trình (1) là đường tròn (C) có tâm O(0, 0), bán kính R = $\sqrt m $.
  • Phương trình (2) là đường thằng (d).
b. Hệ vô nghiệm <=> d(O, (d)) > R <=> $\frac{{| - 6|}}{{\sqrt {1 + 1} }}$ > $\sqrt m $ <=> m < 18.
Vậy, với m < 18 hệ phương trình vô nghiệm.

c. Hệ có nghiệm duy nhất
<=> (d) tiếp xúc với (C) <=> d(O, (d)) = R <=> $\frac{{| - 6|}}{{\sqrt {1 + 1} }}$ = $\sqrt m $ <=> m = 18.
Khi đó, hệ có nghiệm x = y = 3.
Vậy, với m = 18 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

d. Hệ có hai nghiệm phân biệt
<=> (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
<=> d(O, (d)) < R <=> $\frac{{| - 6|}}{{\sqrt {1 + 1} }}$ < $\sqrt m $ <=> m > 18.
Vậy, với m > 18 hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Cách 4: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để thực hiện yêu cầu c) của bài toán.
Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x$_0$, y$_0$) thì (y$_0$, x$_0$) cũng là nghiệm của hê, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x$_0$ = y$_0$. (*)
Khi đó, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}2x_0^2 = m\\2{x_0} = 6\end{array} \right.$ => m = 18.
Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ: Với m = 18, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 18\\x + y = 6\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 9\end{array} \right.$ <=> x = y = 3 là nghiệm duy nhất.
Vậy, với m = 18 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
* Nhận xét: Thông qua ví dụ trên chúng ta đã thấy được các phương pháp khác nhau để thực hiện hệ đối xứng loại I. Trong trường hợp chúng ta lựa chọn phương pháp tổng quát thì mục đích chính là việc xác định cho được: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\xy = P\end{array} \right.$
để từ đó chuyển hệ phương trình thành phương trình: t$^2$-St + P = 0.

Thí dụ 3. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\x - y = m\end{array} \right.$. Xác định các giá trị của m để:
a. Hệ phương trình vô nghiệm.
b. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c. Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Biến đổi hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}{(x - y)^2} + 2xy = 1\\x - y = m\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2xy = 1\\x - y = m\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y = m\\x( - y) = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\end{array} \right.$
khi đó x, -y là nghiệm của phương trình:
t$^2$-mt + $\frac{{{m^2} - 1}}{2}$ = 0 <=> 2t$^2$ - 2mt + m2 - 1 = 0. (1)

a. Hệ đã cho vô nghiệm điều kiện là: (1) vô nghiệm <=> Δ' < 0 <=> m$^2$-2(m$^2$-1) < 0 <=> |m| > $\sqrt 2 $.
Vậy, với |m| > $\sqrt 2 $ hệ vô nghiệm.

b. Hệ đã cho có nghiệm duy nhất điều kiện là: (1) có nghiệm duy nhất <=> Δ' = 0 <=> m$^2$-2(m$^2$-1) = 0 <=> m = ±$\sqrt 2 $.
Vậy, với m = ± $\sqrt 2 $ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c. Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: (1) có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> m$^2$-2(m$^2$-1) > 0 <=> |m| < $\sqrt 2 $.
Vậy, với |m| < $\sqrt 2 $ hệ có hai nghiệm phân biệt.
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao