Dạng 2: Hệ thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Trong dao động điều hòa ta có hệ thức độc lập về thời gian:
Hệ thức: \(\cdot \ \left ( \frac{x}{A} \right )^2 + \left ( \frac{v}{v_{max}} \right )^2 = 1\) Với \(v_{max} = \omega A \Rightarrow A^2 = x^2 + \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2\) suy ra:
  • \(x = \pm \sqrt{A^2 - \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2}\)
  • \(v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}\)
Hệ thức: \(\cdot \ \left ( \frac{a}{a_{max}} \right )^2 + \left ( \frac{v}{v_{max}} \right )^2 =1\) Với \(a_{max} = \omega ^2A; v_{max} = \omega A\)
  • \(\Rightarrow A^2 = \left ( \frac{a}{\omega ^2} \right )^2 + \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2\) \(\Leftrightarrow A^2 = \frac{a^2}{\omega ^4} + \frac{v^2}{\omega ^2}\)
Ta có: Fhp cùng pha với gia tốc a \(\Rightarrow F_{hp} \perp v\) thì \(\left ( \frac{F_{hp}}{F_{hp\ max}} \right )^2 + \left ( \frac{v}{v_{max}} \right )^2 = 1\) Với \(\left\{\begin{matrix} \left | F_{hp} \right | = m\omega ^2 \left | x \right | \ \ \ \ \\ \left | F_{hp} \right |_{max} = m\omega ^2 .A \end{matrix}\right.\)

Mặt khác: Khi một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t1 vật có tọa độ x1, v1. Tại thời điểm t2 vật có tọa độ x2, v2. Tìm A, \(\omega\)?
  • Ta có: \(A^2 = x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\)\(\Rightarrow x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2} - \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} = \frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{\omega ^2}\)
  • \(\Rightarrow \omega ^2 = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}\) ⇒ Thay vào biểu thức \(A^2 = x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} \Rightarrow A\)
Mặt khác: Khi một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t1 vật có a1, v1. Tại thời điểm t2 vật có tọa độ a2, v2. Tìm A, \(\omega\)?
Ta có: \(A^2 = \frac{a_{1}^{2}}{\omega ^4} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} = \frac{a_{2}^{2}}{\omega ^4} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\) \(\Rightarrow \omega ^2 = \frac{a_{2}^{2} - a_{1}^{2}}{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} \Rightarrow A\)

Câu 1[HL]: Vật dao động điều hòa trên trục Ox quanh vị trí cân bằng là gốc tọa độ. Gia tốc của vật có phương trình: a = - 400π$^2$x. Số dao động toàn phần vật thực hiện được trong mỗi giây?
Giải
$a = - 400{\pi ^2}x \to \omega = \sqrt {400{\pi ^2}} = 20\pi \left( {\frac{{rad}}{s}} \right) \to N = \frac{{\omega .\Delta t}}{{2\pi }} = \frac{{20\pi .1}}{{2\pi }} = 10$

Câu 2[HL]: Một vật dao động điều hòa với biên độ bằng 0,05m, tần số 2,5 Hz. Gia tốc cực đại của vật bằng?
Giải
\({a_{\max }} = {\omega ^2}A = {\left( {2\pi f} \right)^2}.0,05 = 12,3\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right)\)

Câu 3[HL]: Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 1cos(20t + π/4) cm. Khi vật qua vị trí cân bằng và chuyển động theo chiều dương thì vận tốc có giá trị bao nhiêu?
Giải
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\v > 0\\{A^2} = {x^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2}\end{array} \right. \to {A^2} = {0^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2} \to v = \omega A = 20cm/s\)

Câu 4[HL]: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 40cm. Khi li độ là 10cm vật có vận tốc 20π√3 cm/s. Lấy π$^2$ = 10. Chu kì dao động của vật là
Giải
$\left\{ \begin{array}{l} A = \frac{L}{2} = 20\left( {cm} \right)\\ x = 10cm\\ v = 20\pi \sqrt 3 \frac{{cm}}{s} \end{array} \right. \to \omega = \frac{v}{{\sqrt {{A^2} - {x^2}} }} = 2\pi \frac{{rad}}{s} \to T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 1s.$

Câu 5[HL]: Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 20cm và làm được 100 dao động toàn phần trong 5 phút 14 giây. Tìm vận tốc khi chất điểm đi qua vị trí có tọa độ x = -6cm và đang hướng vào vị trí cân bằng.
Giải
$\left\{ \begin{array}{l} A = \frac{L}{2} = 10\left( {cm} \right)\\ \omega = 2\pi .\frac{N}{{\Delta t}} = 2\pi .\frac{{100}}{{5.60 + 14}} = 2\left( {\frac{{rad}}{s}} \right)\\ x = - 6\left( {cm} \right)\\ v = \pm \omega \sqrt {\left( {{A^2} - {x^2}} \right)} \end{array} \right. \to v = + \omega \sqrt {\left( {{A^2} - {x^2}} \right)} = 16\left( {\frac{{cm}}{s}} \right)$

Câu 6[HL]: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng, khi đi qua M và N có gia tốc là aM = + 30 cm/s$^2$ và aN = + 40 cm/s$^2$. Khi đi qua trung điểm của MN, chất điểm có gia tốc là
Giải
\(\left\{ \begin{array}{l}{a_M} > 0 \to {x_M} < 0\\{a_N} > 0 \to {x_N} < 0\\AN = AM\end{array} \right. \to {x_A} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} \to - \frac{{{a_A}}}{{{\omega ^2}}} = \frac{{\left( { - \frac{{{a_M}}}{{{\omega ^2}}}} \right) + \left( { - \frac{{{a_N}}}{{{\omega ^2}}}} \right)}}{2} \to {a_A} = \frac{{{a_M} + {a_N}}}{2} = 35\left( {\frac{{cm}}{{{s^2}}}} \right)\)

Câu 7[HL]:VD1: Cho dao động \(x = 5.cos(4 \pi t + \frac{\pi}{12}) (cm)\)
a. Tìm x khi \(v = -12 \pi \left ( \frac{cm}{s} \right )\)?
b. Tìm a khi \(v = 16 \pi \left ( \frac{cm}{s} \right )\)?
c. Tìm v khi \(x = 2,5\sqrt{3}(cm)\)?
d. Cho m = 100g. Tìm |FKV| khi \(v = 10 \sqrt{3} \pi \left ( \frac{cm}{s} \right )\)?
Giải
a.
\(A^2 = x^2 + \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2\)
\(\Rightarrow x = \pm \sqrt{A^2 - \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2}\)
\(\Rightarrow x = \pm \sqrt{5^2 - \left ( \frac{-12 \pi}{4 \pi } \right )^2} = \pm 4 (cm)\)
b.
\(A^2 = \frac{a^2}{\omega ^4} + \frac{v^2}{\omega ^2} \Rightarrow a = \pm \omega ^2 \sqrt{A^2 - \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2}\)
\(\Rightarrow a = \pm (4 \pi )^2.\sqrt{5^2 - \left ( \frac{16 \pi}{4\pi} \right )^2} = \pm 48 \pi ^2\ \frac{cm}{s^2}\)
c.

\(v = \pm \omega .\sqrt{A^2 - x^2}\)
\(\rightarrow v = \pm 4\pi .\sqrt{5^2 - (2,5\sqrt{3})^2} = \pm 10 \pi\ \frac{cm}{s}\)
d.
\(|F_{KV}| = m\omega ^2|x|\)
Khi \(v = 10 \sqrt{3} \pi \left ( \frac{cm}{s} \right ) \Rightarrow \left | x \right | = \sqrt{A^2 - \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2} = 2,5(cm)\)
Với \(\left\{\begin{matrix} m = 100g = 0,1 kg\hspace{1,3cm} \\ \omega ^2 = (4 \pi)^2 = 16\pi \hspace{1,5cm} \\ \left | x \right | = 2,5 (cm) = 0,025 (m) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left | F_{KV} \right | = m.\omega ^2.\left | x \right | = 0,04. \pi ^2 (N)\)

Câu 7[HL]: Một vậy dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t1 vật có x1 = 8 cm và v1 = 12\(\pi\) cm/s; tại thời điểm t2 vật có x2 = -6 cm và v2 = -16\(\pi\) cm/s. Tìm A, \(\omega\)?
Giải​
Ta có: \(A^2 = x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\)
\(\omega ^2 = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} = \frac{(-16\pi )^2 - (12 \pi )^2}{8^2 - (-6)^2} = 4\pi ^2\)
\(\Rightarrow \omega = 2\pi (\frac{rad}{s})\)
\(\Rightarrow A = \sqrt{8^2 + \left ( \frac{12\pi }{2\pi} \right )^2} = 10(cm)\)
 
Sửa lần cuối:

Chương 1: Dao động cơ

Bài 1: Dao động điều hòa Bài 2: Con lắc lò xo Bài 3: Con lắc đơn Bài 4: Dao động duy trì - dao động cưỡng bức - dao động tắt dần Bài 5: Tổng hợp dao động

Bài 6: Sơ đồ tư duy chương dao động cơ

Tài liệu: dao động cơ