Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp thực hiện
Ta sử dụng các kết quả
:
1. Đường thẳng đi qua hai điểm:
(d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_1}({x_1},{y_1})\\Qua\,\,{M_2}({x_2},{y_2})\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}$ = $\frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$.
Lưu ý:
  • Nếu M$_1$(a, 0) và M$_2$(0, b) với a, b ≠ 0 thì phương trình (M$_1$M$_2$) được xác định bằng phương trình đoạn chắn (M$_1$M$_2$): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ = 1.
  • Đường thẳng (d) đi qua điểm M$_0$(x$_0$, y$_0$) luôn có dạng: (d): A(x - x$_0$) + B(y - y$_0$) = 0, với A$^2$ + B$^2$ > 0.
2. Đường thẳng đi qua một điểm và biết vtcp:
(d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\vtcp\,\overrightarrow a ({a_1},{a_2})\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}}$ = $\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}}$
hoặc (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\end{array} \right.$, t ∈ R.

Lưu ý: Đường thẳng (d) có vtcp $\overrightarrow a $(a$_1$, a$_2$) luôn có dạng: (d): a$_2$x - a$_1$y + C = 0.

3. Đường thẳng đi qua một điểm và biết vtpt:
(d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\vtpt\,\overrightarrow n (A,B)\end{array} \right.$ ⇔ (d): A(x - x$_0$) + B(y - y$_0$) = 0.

Lưu ý: Đường thẳng (d) có vtpt $\vec n$(n$_1$, n$_2$) luôn có dạng: (d): n$_1$x + n$_2$y + C = 0.

4. Đường thẳng đi qua một điểm và biết hệ số góc k:
(d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\hsg\,k\end{array} \right.$ ⇔ (d): y = k(x - x$_0$) + y$_0$.
Lưu ý: Đường thẳng (d) có hệ số góc k luôn có dạng: (d): y = kx + m = 0.

5. Đường thẳng (d)//(Δ): Ax + By + C = 0 có phương trình: (d): Ax + By + D = 0.

6. Đường thẳng (d)⊥(Δ): Ax + By + C = 0 có phương trình: (d): Bx - Ay + D = 0.
Chú ý: Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng
  • a. Phương trình chùm đường thẳng.
  • b. Phương pháp quỹ tích để xác phương trình đường thẳng.

Thí dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau:
a. (d) đi qua điểm M(2, 1) và có vtcp $\overrightarrow a $(3, 4).
b. (d) đi qua điểm M(-2, 3) và có vtpt $\overrightarrow n $(5, 1).
a. Ta có ngay: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,M(2,\,1)\\vtcp\,\overrightarrow a (3,\,4)\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.$, t ∈ R.

b. Ta có: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,M( - 2,\,3)\\vtpt\,\overrightarrow n (5,\,1)\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,M( - 2,\,3)\\vtcp\,\overrightarrow a (1,\, - 5)\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.$, t ∈ R.
Thí dụ 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau:
a. (d) đi qua điểm M(-5, -8) và có hệ số góc k= -3.
b. (d) đi qua hai điểm A(2, 1) và B(-4, 5).
c. (d) đi qua điểm M(4, 0) và điểm N(0, -1).
a. Ta có ngay: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,M( - 5,\, - 8)\\hsg\,k = - 3\end{array} \right.$ ⇔ (d): y = -3(x + 5) - 8 ⇔ (d): 3x + y + 23 = 0.

b. Ta có: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,A(2,\,1)\\Qua\,\,B( - 4\,,5)\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - 2}}{{ - 4 - 2}}$ = $\frac{{y - 1}}{{5 - 1}}$ ⇔ (d): 2x + 3y - 7 = 0.

c. Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: (MN): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,M(4,\,0)\\Qua\,\,N(0,\, - 1)\end{array} \right.$ ⇔ (MN): $\frac{x}{4}$ + $\frac{y}{{ - 1}}$ = 1 ⇔ (MN): x - 4y - 4 = 0.
Chú ý: Với câu b) chúng ta cũng có thể tìm được phương trình tổng quát của đường thẳng (d) bằng việc sử dụng phương trình tham số hoặc từ vtcp $\overrightarrow {AB} $(-6, 4) suy ra vtpt $\overrightarrow n $(2, 3) của đường thẳng (d).

Thí dụ 3. Cho ΔABC, biết A(1, 4), B(3, -1), C(6, 2).
a. Lập phương trình tổng quát các đường thẳng AB, BC, CA.
b. Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.
a. Ta lần lượt có: (AB): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,A(1,\,4)\\Qua\,\,B(3,\, - 1)\end{array} \right.$ ⇔ (AB): $\frac{{x - 1}}{{3 - 1}}$ = $\frac{{y - 4}}{{ - 1 - 4}}$ ⇔ (AB): 5x + 2y - 13 = 0.
Tương tự, ta nhân được (BC): x - y - 4=0 và (CA): 2x+5y - 22=0.

b. Ta lần lượt có: (AH): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,A\\AH \bot BC\end{array} \right.$ ⇔ (AH): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,A(1,\,4)\\vtpt\,\overrightarrow n (1,\,1)\end{array} \right.$ ⇔ (AH): x - 1 + y - 4 = 0 ⇔ (AH): x + y - 5 = 0.
(AM): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,A\\Qua\,\,M\,la\,trung\,diem\,BC\end{array} \right.$ ⇔ (AM): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,A(1,\,4)\\Qua\,\,M(9/2,\,1/2)\end{array} \right.$ ⇔ (AM): $\frac{{x - 1}}{{\frac{9}{2} - 1}}$ = $\frac{{y - 4}}{{\frac{1}{2} - 4}}$ ⇔ (AM): x + y - 5 = 0.

Thí dụ 4. Cho ΔABC, biết trung điểm các cạnh là M(2; 1), N(5; 3), P(3; -4).
a. Lập phương trình các cạnh của ΔABC.
b. Lập phương trình các đường trung trực của ΔABC.
a. Ta có:
phương trình đường thẳng.png
*Phương trình cạnh AB được xác định bởi: (AB): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,P\\AB//MN\end{array} \right.$⇔ (AB): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,P(3;\, - 4)\\vtcp\,\overrightarrow {MN} (3;\,2)\end{array} \right.$ ⇔ (AB): $\frac{{x - 3}}{3}$ = $\frac{{y + 4}}{2}$ ⇔ (AB): 2x - 3y - 18 = 0.
Tương tự (BC), (AC).

b. Gọi các đường trung trực kẻ từ M, N, P theo thứ tự là (d$_M$), (d$_N$), (d$_P$).
Phương trình (d$_M$) được xác định bởi:
(d$_M$):$\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,M\\({d_M}) \bot \overrightarrow {PN} \end{array} \right.$⇔ (d$_M$): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,M(2;\,1)\\vtpt\,\,\overrightarrow {PN} (2;\,7)\end{array} \right.$ ⇔ (d$_M$): 2(x - 2) + 7(y - 1) = 0 ⇔ (d$_M$): 2x + 7y - 11 = 0.
Tương tự (d$_N$), (d$_P$).

Thí dụ 5. Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đường thẳng (d) qua (Δ), biết: ( d ): x + 2y - 13 = 0 và (Δ): 2x - y - 1 = 0.
Với mỗi đểm M(x, y)∈(d1) ⇒ tồn tại điểm M$_0$(x$_0$, y$_0$)∈(d) sao cho:
$\left\{ \begin{array}{l}trung\,\,diem\,I\,cua\,M{M_0}\,thuoc\,(\Delta )\\M{M_0} \bot (\Delta )\end{array} \right.$
⇔$\left\{ \begin{array}{l}2\frac{{x + {x_0}}}{2} - \frac{{y + {y_0}}}{2} - 1 = 0\\1.(x - {x_0}) + 2.(y - {y_0}) = 0\end{array} \right.$⇔$\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{5}(4x + 3y - 1)\\{y_0} = \frac{1}{5}( - 3x + 4y + 2)\end{array} \right.$ (I)
Thay (I) vào phương trình của (d), ta được:
\(\frac{1}{5}\)(4x + 3y - 1) + \(\frac{2}{5}\)(-3x + 4y + 2) - 13 = 0 ⇔ 2x - 11y + 62 = 0.
Đó chính là phương trình đường thẳng (d1).

Thí dụ 6. Thiết lập phương trình các đường phân giác của các góc trong của ΔABC có ba cạnh được tạo bởi các phương trình : 3x - 4y = 0, 4x - 3y = 0, 5x + 12y - 63 = 0.
Giả sử ba phương trình trên của các cạnh AB, BC, AC.
a. Phương trình đường phân giác trong của góc \(\widehat A\): Trước tiên:
  • Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = 0\\4x - 3y = 0\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$ ⇒ B(0; 0).
  • Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 0\\5x + 12y - 63 = 0\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$ ⇒ C(3; 4).
Gọi (d$_A$) là đường phân giác trong của góc \(\widehat A\) của ΔABC.
Khi đó, điểm M(x, y)∈(d$_A$)
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}M\,\,va\,\,B\,\,cung\,phia\,voi\,\,(AC)\\M\,\,va\,\,C\,\,\,cung\,phia\,voi\,\,\,(AB)\\d(M,\,(AB)) = d(M,\,(AC))\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(5x + 12y - 63)( - 63) > 0\\(3x - 4y)(3.3 - 4.4) > 0\\\frac{{|5x + 12y - 63|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{|3x - 4y|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 12y - 63 < 0\\3x - 4y < 0\\5(5x + 12y - 63) = 13(3x - 4y)\end{array} \right.\end{array}$
⇔ 14x - 112y + 315 = 0.
Đó chính là phương trình tổng quát của đường thẳng (d$_A$).
Tương tự: Với phương trình dường phân giác trong của góc \(\widehat B,\,\widehat C.\)

Thí dụ 7. Cho điểm M(2; 1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a; 0), B(0; b) với a, b > 0. Lập phương trình đường thẳng (d) sao cho:
a. Diện tích ΔOAB nhỏ nhất.
b. OA + OB nhỏ nhất.
c. $\frac{1}{{O{A^2}}}$ + $\frac{1}{{O{B^2}}}$ nhỏ nhất.
Từ giả thiết, ta được (d): $\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1.
Vì M∈(d) nên $\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = 1. (1)
a. Ta có, diện tích ΔOAB được cho bởi: S = $\frac{1}{2}$OA.OB = $\frac{{ab}}{2}$.
Từ (1) suy ra
1 = $\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ≥ 2$\sqrt {\frac{2}{a}.\frac{1}{b}} $ = $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {ab} }}$ ⇔ ab ≥ 2 ⇔ S ≥ 1.
Vậy S$_{Min}$ = 1, đạt được khi: $\frac{2}{a}$ = $\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.$ .
Khi đó phương trình đường thẳng (d): x + 2y - 4 = 0.

b. Từ (1), ta được : a = $\frac{{2b}}{{b - 1}}$ ⇒ điều kiện b > 1.
Khi đó: OA + OB = $\frac{{2b}}{{b - 1}}$ + b = $\frac{2}{{b - 1}}$ + b + 2 = $\frac{2}{{b - 1}}$ + b - 1 + 3 ≥ 2$\sqrt {\frac{2}{{b - 1}}.(b - 1)} $ + 3 = \(2\sqrt 2 \) + 3.
Vậy (OA + OB)Min = \(2\sqrt 2 \) + 3, đạt được khi: $\frac{2}{{b - 1}}$ = b - 1 ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \sqrt 2 \\b = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.$.
Khi đó phương trình đường thẳng
(d): (1 + \(\sqrt 2 \))x + (2 + \(\sqrt 2 \))y - 5 - \(3\sqrt 2 \) = 0.

c. Ta có: $\frac{1}{{O{A^2}}}$ + $\frac{1}{{O{B^2}}}$ = $\frac{1}{{{a^2}}}$ + $\frac{1}{{{b^2}}}$.
Nhận xét rằng: (2$^2$ + 1$^2$)( $\frac{1}{{{a^2}}}$ + $\frac{1}{{{b^2}}}$) ≥ ($\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$)2 = 1 ⇒ $\frac{1}{{{a^2}}}$ + $\frac{1}{{{b^2}}}$ ≥ $\frac{1}{5}$.
Vậy ($\frac{1}{{O{A^2}}}$ + $\frac{1}{{O{B^2}}}$)Min = $\frac{1}{5}$, đạt được khi:
$\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\\2a = b\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{2}\\b = 5\end{array} \right.$ .
Khi đó phương trình đường thẳng (d): 2x + y - 5 = 0.
 
Sửa lần cuối: