Dạng 2: Phương trình tích

Thí dụ: Cho phương trình: x$^3-2mx$^2$ + m$^2$x + m-1 = 0. Xác định m để:
a. Phương trình có đúng 1 nghiệm.
b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
c. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
d. Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.
e. Phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.
Viết lại phương trình dưới dạng: (x - 1)[x$^2$-(2m - 1)x - m + 1] = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\g(x) = {x^2} - (2m - 1)x - m + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$. (I)

a. Để phương trình có đúng 1 nghiệm điều kiện là:
$\left[ \begin{array}{l} (2)\,vo\,nghiem\\ {\rm{(2)}}\,{\rm{co}}\,{\rm{nghiem}}\,{\rm{kep}}\,{\rm{bang}}\,{\rm{1}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}{\Delta _g} < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} = 0\\g(1) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left| m \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Vậy, với $\left| m \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt điều kiện là:
$\left[ \begin{array}{l} (2)\,\,co\,2\,\,nghiem\,phan\,biet\,va\,1\,nghiem\,bang\,1\\ {\rm{(2)}}\,co\,1\,\,nghiem\,kep\,khac\,1 \end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\,\,v\mu \,\,g(1) = 0\\{\Delta _g} = 0\,\,v\mu \,\,g(1) \ne 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,m = 1\,\,ho{\rm{{\AE}c}}\,\,m = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Vậy, với $m = 1\,\,ho{\rm{{\AE}c}}\,\,m = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Để phương trình có ba nghiệm phân biệt điều kiện là:
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 <=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g(1) \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\m \ne 1\end{array} \right..$
Vậy, với $m \in \left( { - \infty ;\,\, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

d. Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt điều kiện là:
(2) có 2 nghiệm âm phân biệt
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\{S_g} < 0\\{P_g} > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\2m - 1 < 0\\1 - m > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \sqrt 3 /2\\m < 1/2\\m < 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,m < - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Vậy, với $m < - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

e. Để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt điều kiện là: (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\{S_g} > 0\\{P_g} > 0\\g(1) \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\2m - 1 > 0\\1 - m > 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \sqrt 3 /2\\m > 1/2\\m < 1\\m \ne 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1.$
Vậy, với $\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Nhận xét: Lời giải của thí dụ trên đã miêu tả phương pháp cơ bản để "Giải và biện luận một phương trình bậc ba".