Toán 11 Dạng 2: Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách MA + MB ngắn nhất

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
BÀI TOÁN: TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )
Cách giải
Bước 1:
Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ).
Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất
Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi

Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d .
Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một đoạn cho trước không đổi .


Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất .
Giải​
- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow U \).
- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow U \). Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM .
- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất .
Giải​
- Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau :
- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow U = \overrightarrow {QQ'} \).Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng .
- Các bước thực hiện :
+/ Tìm Q’ sao cho : \(\overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow U = \overrightarrow {QQ'} \)
+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N
+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .[/khung]