Dạng 3: Chu kì con lắc thay đổi theo độ cao và nhiệt độ

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Thay đổi T khi thay đổi độ cao
  • Ở mặt đất: \(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\) Với \(g = G.\frac{M}{R^2}\)
  • Ở độ cao h: \(T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}\) Với \(g' = G.\frac{M}{(R + h)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{(r + h)^2}{R^2}} = \frac{R + h}{R}\)
\(\Rightarrow \frac{T'}{T} = 1 + \frac{h}{R} \Rightarrow \frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{h}{R} > 0\)

*Thay đổi T khi chuyển đổi nhiệt độ
NHỚ: Với \(\varepsilon , \varepsilon ' > 0;\ \varepsilon , \varepsilon ' \ll 1\)
Ta có: \((1 \pm \varepsilon ) ^m \approx 1 \pm m\varepsilon\)
\((1 + \varepsilon ) ^m . (1 - \varepsilon ) ^n \approx 1 + m\varepsilon - n\varepsilon '\)
  • Ở nhiệt độ t1: \(T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_1}{g}}\) Với \(\ell_1 = \ell_0 (1 + \alpha t_1)\)
  • Ở nhiệt độ t2: \(T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_2}{g}}\)
Với \(\ell_2 = \ell_0 (1 + \alpha t_2)\)
\(\Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell _1}} = \sqrt{\frac{1 + \alpha t_2}{1 + \alpha t_1}} = \frac{(1 + \alpha t_2)^{\frac{1}{2}}}{(1 + \alpha t_1)^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = (1 + \alpha t_2)^{\frac{1}{2}}.(1 + \alpha t_1)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} \alpha t_2 - \frac{1}{2} \alpha t_1\)
\(\Rightarrow \frac{T_2}{T_1} - 1 = \frac{1}{2}\alpha (t_2 - t_1)\)
\(\Rightarrow \frac{\Delta T}{T_1} = \frac{T_2 - T_1}{T_1} = \frac{1}{2} \alpha (t_2 - t_1)\)

Thay đổi T khi thay đổi cả độ cao và nhiệt độ
\(\Rightarrow \frac{\Delta T}{T} = \frac{h}{R} + \frac{1}{2} \alpha (t_1 - t_2)\)

Sự nhanh (chậm) của đồng hồ quả lắc
  • Nếu \(\Delta T > 0 \Leftrightarrow T_2 > T_1\): chu kỳ tăng ⇒ Đồng hồ chạy chậm.
  • Nếu \(\Delta T < 0 \Leftrightarrow T_2 < T_1\): chu kỳ giảm ⇒ Đồng hồ chạy nhanh.
  • Nếu \(\Delta T = 0 \Leftrightarrow T_2 =T_1\): chu kỳ không đổi ⇒ Đồng hồ chạy đúng.
⇒ Thời gian nhanh (chậm) trong 1 ngày đêm.
\(\Rightarrow \Delta t = \left | \frac{\Delta T}{T_1} \right | \times 2,4 \times 3600\ (s)\)
Thường \(T_2 \approx T_1 \Rightarrow \Delta t = \left | \frac{\Delta T}{T_2} \right | \times 86400\ (s)\)

Câu 1: Một con lắc đơn có chu kì là 2s tại A có gia tốc trọng trường là g = 9,96m/ s$^{2}$. Đem con lắc trên đến B có g’ = 9,85m/s$^{2}$ thì con lắc sẽ dao động với chu kì bằng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết
$\frac{{\Delta T}}{T} = - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{g} \leftrightarrow \frac{{T'}}{T} = 1 - \frac{1}{2}\frac{{g' - g}}{g} = 1,0055 \to T' = 2,011\left( s \right)$

Câu 2: Một con lắc đơn có chu kì 2s khi dao động bé. Biết dây treo có hệ số nở α$_{1}$ = 2.10$^{-5}$K$^{-1}$. Vẫn ở cùng vị trí nhưng nhiệt độ tăng thêm 10$^{0}$C thì chu kì dao động bé của con lắc là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết
$\frac{{T'}}{T} = 1 - \frac{{\alpha \Delta t}}{2} \to T' = T\left( {1 + \frac{{\alpha \Delta t}}{2}} \right) = 2,0002s.$

Câu 3: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T = 2s. Đưa con lắc lên độ cao h = 1km so với mặt đất và coi như nhiệt độ ở độ cao đó không đôi so với mặt đất. Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km.
Lời giải chi tiết
$\frac{{T'}}{T} = 1 + \frac{{\Delta h}}{R} \to T' = T\left( {1 + \frac{{\Delta h}}{R}} \right) = 2,00031\left( s \right)$

Câu 4: Con lắc đơn dao động nhỏ được đưa từ Quảng Ngãi vào thành phố Hồ Chí Minh, thì chu kỳ dao động tăng 0,015%. Xác định gia tốc tại Quảng Ngãi biết gia tốc trọng trường tại Hồ Chí Minh là g = 9,787m/s$^{2}$?
Lời giải chi tiết
$\begin{array}{l} \frac{{\Delta T}}{T} = - \frac{{\Delta g}}{{2g}} = 0,015\% \to \frac{{\Delta g}}{g} = - {3.10^{ - 4}}\\ \to \frac{{9,787 - g}}{g} = - {3.10^{ - 4}} \to g = 9,79\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right) \end{array}$

Câu 5: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng ở 15$^{0}$C với chu kì 2s. Coi quả lắc như con lắc đơn có hệ số giãn nở 1,25.10$^{-5}$K$^{-1}$. Hỏi ở 25$^{0}$C đồng hồ này đã nhanh hay chậm mỗi ngày bao nhiêu giây?
Lời giải chi tiết
$\Delta {t^0} > 0 \to \frac{{T'}}{T} = 1 + \frac{1}{2}\alpha .\Delta {t^0} > 1 \to T' > T$→ Đồng hồ chạy chậm
Đồng hồ chạy chậm mỗi ngày là: $\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{1}{2}\alpha \Delta t.24.60.60 = 5,4\left( s \right)$
Câu 6: Một đồng hồ quả lắc dùng con lắc đơn làm hệ đếm giây. Dây treo vật bằng kim loại có hệ số nở dài 2.10$^{-5}$ k$^{-1}$. Biết đồng hồ chạy đúng ở một nơi trên mặt đất có nhiệt độ 25$^{0}$C. Nếu nhiệt độ môi trường giảm xuống còn 10$^{0}$C thì sau một tuần đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?
Lời giải chi tiết
Vì nhiệt độ Δt < 0 → T’ < T → đồng hộ chạy nhanh
Đồng hồ chạy nhanh trong một tuần lễ là: $\frac{{\Delta T}}{T} = - \frac{1}{2}\alpha \Delta t.7.24.60.60 = 90,72\left( s \right)$
 
Sửa lần cuối:

Chương 1: Dao động cơ

Bài 1: Dao động điều hòa Bài 2: Con lắc lò xo Bài 3: Con lắc đơn Bài 4: Dao động duy trì - dao động cưỡng bức - dao động tắt dần Bài 5: Tổng hợp dao động

Bài 6: Sơ đồ tư duy chương dao động cơ

Tài liệu: dao động cơ