Dạng 3: Giải bất phương trình tích hoặc chứa ẩn ở mẫu

Thí dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a. $\frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{x - 1}}$ < 0.
b. $\frac{{2 - x}}{{{x^3} + {x^2}}}$ > $\frac{{1 - 2x}}{{{x^3} - 3{x^2}}}$.
c. $\frac{{{x^3} - 9x}}{{2 - x}}$ > 0.
a. Ta có: x$^2$ - 6x + 8 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 4,
x - 1 = 0 ⇔ x = 1.
Từ đó ta có bảng xét dấu:
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x ∈ (-∞; 1) ∪ (2; 4).

b. Biến đổi biểu thức về dạng: B = $\frac{{x({x^2} - 9)}}{{2 - x}}$.
Ta có:
x$^2$ - 9 = 0 ⇔ x = ±3,
2 - x = 0 ⇔ x = 2.
Từ đó ta có bảng xét dấu:
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x ∈ (-3; 0) ∪ (2; 3).
Chú ý: Với các yêu cầu trên, kể từ các thí dụ sau chúng ta bỏ qua bảng xét dấu (học sinh làm ra nháp).

Thí dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a. 2x$^3$ + x$^2$ - 5x + 2 > 0.
b. $\frac{{2 - x}}{{{x^3} + {x^2}}}$ > $\frac{{1 - 2x}}{{{x^3} - 3{x^2}}}$.
a. Đặt f(x) = 2x$^3$ + x$^2$ - 5x + 2 và nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trình f(x) = 0, do đó biến đổi bất phương trình về dạng:
(x + 2)(x2 - x + 1) > 0 ⇔ x + 2 > 0 ⇔ x > -2.
b. Biến đổi bất phương trình về dạng: $\frac{{2 - x}}{{{x^2}(x + 1)}}$ > $\frac{{1 - 2x}}{{{x^2}(x - 3)}}$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne 0} $ $\frac{{2 - x}}{{x + 1}}$ > $\frac{{1 - 2x}}{{x - 3}}$ ⇔ $\frac{{(x + 7)(x - 1)}}{{(x + 1)(x - 3)}}$ > 0.
Bảng xét dấu:
Vậy, nghiệm của bất phương trình là: x ∈ (-∞; -7) ∪ (-1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (3; +∞).

Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức