Dạng 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa một đường thẳng và mặt phẳng ta làm như sau
khoảng cách từ một đường thẳng tới mặt phẳng.png
Trường hợp 1: Khi $\left[ \begin{array}{l} a \cap \left( P \right)\\ a \subset \,\left( P \right) \end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow d\left( {a\,,\,\left( P \right)} \right) = 0$
Trường hợp 2: Khi $a\,//\left( P \right) \Rightarrow d\left( {a\,,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {A\,,\,\left( P \right)} \right)$ với $A \in \left( P \right)$.

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và $\left( {SAD} \right)$.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 1.png

Chọn C
Ta có: Vì IJ// AD nên IJ// $\left( {SAD} \right)$$ \Rightarrow d\left( {IJ;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right) = IA = \frac{a}{2}$.
Câu 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở AvàD, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với $\left( {ABCD} \right)$ lấy điểm Svới $SD = a\sqrt 2 $. Tính khỏang cách giữa đường thẳng $DC$ và $\left( {SAB} \right)$.
A. $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$.
B. $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$.
C. $a\sqrt 2 $.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 2.png

Chọn A
Vì $DC$// ABnên $DC$// $\left( {SAB} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {DC;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right)$.
Kẻ $DH \bot SA$, do $AB \bot AD$, $AB \bot SA$nên $AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow DH \bot AB$ suy ra $d\left( {D;SC} \right) = DH$.
Trong tam giác vuông $SAD$ta có:
$\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}$$ \Rightarrow DH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$.
Câu 3: Cho hình chóp $O.ABC$ có đường cao $OH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$. Gọi Mvà $N$lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và $\left( {ABC} \right)$ bằng:
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{a}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 3.png

Chọn D
Vì Mvà $N$lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$nên MN// AB MN// $\left( {ABC} \right)$.
Ta có: $d\left( {MN;\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{2}OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ (vì M là trung điểm của OA).
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD{\rm{ c\'o }}AB = SA = 2a.$ Khoảng cách từ đường thẳng AB đến $\left( {SCD} \right)$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$
C. $\frac{a}{2}.$
D. a.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 4.png

Gọi $I,M$ lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD thì $CD \bot (SIM)$
Vẽ $IH \bot SM$ tại $H \in SM$thì $IH \bot (SCD)$
$ \Rightarrow d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {I,(SCD)} \right) = IH = \frac{{SO.IM}}{{SM}}$
$\Delta SAB$ đều cạnh $2a \Rightarrow SI = a\sqrt 3 \Rightarrow SM = a\sqrt 3 $
Và $OM = \frac{1}{2}IM = a \Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = a\sqrt 2 $
Cuối cùng $d\left( {AB,(SCD)} \right) = \frac{{SO.IM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 2 .2a}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}$
Chọn B
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {{\rm{ }}ABCD} \right)$, đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và$CB$. Tính khỏang cách giữa đường thẳng IJ và $\left( {{\rm{ }}SAD} \right).$
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
B. $\frac{a}{2}$
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
D. $\frac{a}{3}$
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 5.png

$\begin{array}{l}{\rm{IJ}}//AD \Rightarrow {\rm{IJ}}//(SAD)\\ \Rightarrow d\left( {{\rm{IJ,}}(SAD)} \right) = d\left( {I,(SAD)} \right) = IA = \frac{a}{2}.\end{array}$
Chọn B
Câu 6: Cho hình chóp $O.ABC$ có đường cao $OH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$. Gọi M và $N$ lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và $\left( {ABC} \right)$.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
C. $\frac{a}{2}.$
D. $\frac{a}{3}.$
Khoảng cách giữa đường thẳng MN và $\left( {ABC} \right)$:
$d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {\left( {MNP} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{OH}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
Câu 7: Cho hình chóp $O.ABC$ có đường cao $OH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$. Gọi lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB.$ Khoảng cách giữa đường thẳng MN và $\left( {ABC} \right)$ bằng
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{a}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 7.png

Do $MN{\rm{//}}\left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right)$
Lại có $\begin{array}{l}\frac{{OA}}{{MA}} = \frac{{d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right)}} = 2 \Rightarrow d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right)\\ = \frac{1}{2}d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{OH}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}$
Chọn ${\bf{D}}$.
Chọn A
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {{\rm{ }}ABCD} \right),$ mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và $CD.$ Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và $\left( {SAD} \right).$
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 8.png

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AI$.
Lại có $AI \bot AD$( hình thang vuông) suy ra $IA \bot \left( {SAD} \right)$
$IJ\parallel AD$ theo tính chất hình thang, nên
$d\left( {IJ,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SAD} \right)} \right) = IA = \frac{a}{2}$
Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở $A{\rm{ v\`a }}D,{\rm{ }}AD = 2a.$ Trên đường thẳng vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$ tại D lấy điểm S với $SD = a\sqrt 2 .$ Tính khoảng cách giữa $DC$ và $\left( {SAB} \right).$
A. $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$.
B. $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$.
C. $a\sqrt 2 $.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 9.png

*Trong tam giác $DHA$, dựng $DH \bot SA$;
*Vì $DC//AB \Rightarrow d\left( {DC;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right) = DH$
Xét tam giác vuông $SDA$có :
$\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{S{D^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow DH = \frac{{a\sqrt {12} }}{3} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$
Chọn A
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(SCD)$ bằng
A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{4}$.
C. $\frac{{2a\sqrt 6 }}{9}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 10.png

Gọi O là tâm hình vuông ABCD
Khi đó $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Kẻ $OI \bot CD,\,OH \bot SI \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)$
Ta tính được $AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},\,\,SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
$OI = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}$
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$ $ \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Chọn D.
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D') bằng
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG _ 11.png

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
$A\left( {0;0;0} \right);\,B\left( {1;0;0} \right);\,D\left( {0;1;0} \right);\,A'\left( {0;0;1} \right)$
$C\left( {1;1;0} \right);\,B'\left( {1;0;1} \right);\,D'\left( {0;1;1} \right);\,C'\left( {1;1;1} \right)$
$\overrightarrow {CB'} = \left( {0; - 1;1} \right);\,\overrightarrow {CD'} = \left( { - 1;0;1} \right)$
Viết phương trình mặt phẳng $\left( {CB'D'} \right)$
Có VTPT $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {CB'} ;\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)$
$\left( {CB'D'} \right):1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0$$d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 0 + 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Vậy $d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

✅ Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
 
Sửa lần cuối:

Chương 8: Vector trong không gian

Các dạng toán liên quan giữa hai đường thẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa hai mặt phẳng trong không gian Các dạng toán tính khoảng cách trong không gian